基于逐步優(yōu)化算法的隨機(jī)波浪荷載反演

葉靜嫻，呂中榮，汪利

(中山大學(xué)航空航天學(xué)院，廣東 廣州 510000)

海洋資源和能源越來(lái)越受到人們的重視[1-2]。與之相對(duì)應(yīng)的海上結(jié)構(gòu)，如海上采油平臺(tái)、風(fēng)力發(fā)電機(jī)等，因其所處的環(huán)境相當(dāng)復(fù)雜，往往同時(shí)受到波浪荷載、風(fēng)荷載、冰荷載等荷載的共同作用[3]。其中，波浪荷載是最主要的荷載[4]。考慮到波浪荷載的隨機(jī)性和結(jié)構(gòu)所處海洋環(huán)境的復(fù)雜性，波浪荷載難以直接實(shí)時(shí)測(cè)量，這將對(duì)海洋結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)和狀態(tài)評(píng)估帶來(lái)困擾。目前，結(jié)構(gòu)響應(yīng)的測(cè)量手段很成熟，如：加速度傳感器可以直接提供加速度信息，應(yīng)變片可以直接測(cè)量結(jié)構(gòu)的應(yīng)變。因此，可以海洋結(jié)構(gòu)的實(shí)測(cè)響應(yīng)為基礎(chǔ)，反演得到波浪荷載。這一工作不僅能為海上結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)提供必要的荷載信息，同時(shí)也能為海上結(jié)構(gòu)的運(yùn)行監(jiān)測(cè)和疲勞監(jiān)測(cè)等創(chuàng)造條件。

根據(jù)響應(yīng)反演結(jié)構(gòu)所受荷載，是典型的反問(wèn)題。國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了一些波浪荷載的反演方法。Maes 等[5]基于一個(gè)風(fēng)力渦輪機(jī)相似模型的加速度時(shí)程和動(dòng)態(tài)模型，以遞歸聯(lián)合輸入狀態(tài)估計(jì)算法反演了作用在其上的破波荷載、以及其他荷載，并進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。Jensen等[6]利用ARMA校正模型，針對(duì)一個(gè)墩柱系統(tǒng)，以加速度作為輸入，進(jìn)行了系統(tǒng)參數(shù)識(shí)別和隨機(jī)波浪荷載反演，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的有效性。王子健[7]第一次用全量補(bǔ)償復(fù)合反演算法進(jìn)行了橋墩的參數(shù)識(shí)別與波浪荷載反演，并結(jié)合概率論中的統(tǒng)計(jì)平均法與消去法，提出了改進(jìn)的復(fù)合反演算法。以上方法大多將波浪荷載反演問(wèn)題轉(zhuǎn)化成一個(gè)狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題，識(shí)別過(guò)程中將波浪荷載視為狀態(tài)變量，然后采用濾波類(lèi)方法進(jìn)行狀態(tài)變量估計(jì)。該類(lèi)方法對(duì)于隨時(shí)間變化緩慢的荷載識(shí)別問(wèn)題較為有效，但如果荷載隨時(shí)間變化較為劇烈，如：隨機(jī)波浪荷載，該類(lèi)方法將會(huì)產(chǎn)生較大的識(shí)別誤差。本文提出了一種基于逐步優(yōu)化算法的隨機(jī)波浪荷載反演方法，該方法針對(duì)每?jī)蓚€(gè)相鄰時(shí)間點(diǎn)建立目標(biāo)函數(shù)，以加速度時(shí)程為輸入，逐步識(shí)別一系列時(shí)間點(diǎn)上的波浪荷載，計(jì)算代價(jià)較低。該方法將荷載當(dāng)作外部輸入，而非狀態(tài)變量，因此對(duì)時(shí)間變化劇烈的荷載如波浪荷載，仍能得到滿(mǎn)意的識(shí)別結(jié)果。

1 基于波浪譜生成隨機(jī)波浪荷載

Longuet-Higgins模型是常用的描述隨機(jī)波浪的模型[8]。該模型認(rèn)為，固定點(diǎn)的波面位置η(t)可看做是由許多不同振幅、不同周期和不同隨機(jī)初位相的諧波迭加而成。

(1)

其中，t為時(shí)間；an為各組成波的振幅；ωn為圓頻率；εn為隨機(jī)初相位，它是均布于[0,2π]的隨機(jī)變量?？紤]到波面位置的隨機(jī)性，通常使用功率譜密度函數(shù)Sηη(ω)描述波面位置的統(tǒng)計(jì)信息，即稱(chēng)為波面譜。本文考慮一種常用的P-M不規(guī)則波面譜[9]，其表達(dá)式為：

(2)

其中，HS為有義波高?；诓ɡ撕奢d與波面位置的相關(guān)性，推導(dǎo)波浪荷載與波面譜的關(guān)系。考慮如圖1所示小尺寸樁柱所受的波浪荷載，以海底為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下所示坐標(biāo)系，根據(jù)Morison方程，z處的波浪荷載為：

f(z,t)=fD(z,t)+fM(z,t)

(3)

圖1 圓管柱所受隨機(jī)波浪荷載Fig.1 Random wave load on small pile column

根據(jù)波面函數(shù)(1)，由線(xiàn)性波浪理論可得水質(zhì)點(diǎn)速度和加速度的表達(dá)式如下：

(4)

其中，Tn為周期，滿(mǎn)足Tn=2π/ωn，d為水深，kn為波數(shù)，滿(mǎn)足以下色散關(guān)系：

ωn=gkntanhknd

(5)

進(jìn)一步把Morison方程中的阻力項(xiàng)線(xiàn)性化處理，可得：

(6)

其中，σu(z)為速度的均方差，表達(dá)式如下：

(7)

由于k是ω的函數(shù)，它們滿(mǎn)足式(5)中的關(guān)系，故式(7)不能通過(guò)直接積分求得。為簡(jiǎn)化起見(jiàn)，僅對(duì)上式波譜部分做積分，結(jié)合P-M譜，可得：

(8)

波浪荷載在柱高方向呈現(xiàn)出空間相關(guān)性，由式(3)和(4)可求得t時(shí)刻波浪荷載沿水深方向的分布，故可定出相應(yīng)的空間分布系數(shù)?？紤]水面下z1至z2處所受的合力，將波浪荷載沿著結(jié)構(gòu)方向積分即可，再乘上相應(yīng)的空間分布系數(shù)矩陣，即可得到各個(gè)自由度上的波浪荷載。通過(guò)積分得到總速度合力FD(t)和總慣性合力FM(t)如下：

(9)

以z1=0和z2=d代入上式進(jìn)行積分, 并考慮色散關(guān)系以及σu的近似計(jì)算，由譜分析可得總速度力譜SFD(ω)和總慣性力譜SFM(ω)[10]。

(10)

相加即得總波浪荷載譜：

SFF(ω)=SFD(ω)+SFM(ω)

(11)

根據(jù)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的諧波合成法，波浪荷載F(t)可按如下方式生成[11]：

(12)

(1)劃分頻率區(qū)間的方法有等分能量法和等分頻率法。在多數(shù)情況下宜采用前者，但對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力分析宜用后者。則上式中，Δω=(ωm+1-ω1)/m，m一般可取50～100，本文取50。

(3)頻率范圍ω1～ωm+1的選取, 在高頻率和低頻率段各舍去總能量的μ部分，這里μ取0.002。對(duì)于P-M譜有：

(13)

2 時(shí)程分析

多自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為：

(14)

(15)

其中， Δt是時(shí)間步長(zhǎng)，參數(shù)γ和β在本文中分別取0.50和0.25。將式(15)代入(14)可得：

(16)

通過(guò)式(16)，可由ti時(shí)刻的響應(yīng)求得ti+1時(shí)刻的位移，將位移解代入(15)可求得ti+1時(shí)刻的加速度和速度如下：

(17)

循環(huán)以上步驟，可以求得所有離散時(shí)間點(diǎn)的位移、速度和加速度。

3 基于逐步優(yōu)化算法的荷載反演方法

重新整合公式(16)和(17)，可得狀態(tài)方程如下：

xi+1=Hxi+G1Pi+1+G2Pi

(18)

(19)

其中，I為相應(yīng)維度的單位矩陣。系統(tǒng)的觀(guān)測(cè)方程如下：

yi+1=Lxi+1+M-1Pi+1

(20)

其中，yi+1表示ti+1時(shí)刻的測(cè)量數(shù)據(jù)，L為與實(shí)測(cè)結(jié)構(gòu)響應(yīng)相關(guān)的矩陣。本文主要考慮加速度測(cè)量數(shù)據(jù)，由式(14)可得L=[-M-1Κ,-M-1C]。

(21)

其中，λ是權(quán)值，其取值與測(cè)量誤差水平有關(guān)。一般地，測(cè)量數(shù)據(jù)的誤差越小，λ應(yīng)越大；反之，λ則應(yīng)越小。目標(biāo)函數(shù)(21)是一個(gè)二次函數(shù)，其優(yōu)化問(wèn)題可直接求解，可得如下結(jié)果：

(22)

其中，矩陣A、b的表達(dá)式如下：

(23)

根據(jù)迭代式(23)，最終可以逐個(gè)時(shí)間點(diǎn)識(shí)別波浪荷載。考慮波浪荷載具有一定的空間分布規(guī)律，將波浪荷載向量Pi用總波浪荷載Fi與空間分布系數(shù)矩陣Q的乘積來(lái)表示，即Pi=QFi。此時(shí)，迭代計(jì)算須用如式(24)-(25)替代。

(24)

(25)

在波浪荷載反演過(guò)程中，考慮波浪荷載的空間分布，能有效地縮減識(shí)別參數(shù)的個(gè)數(shù)，從而提高識(shí)別的精度。

4 算例驗(yàn)證

由于測(cè)量不可避免地存在誤差，為了考察誤差對(duì)反演算法的影響，在用Newmark-β法求得結(jié)構(gòu)加速度時(shí)程后，添加一定水平的高斯白噪聲，如下所示。

(26)

將含有不同程度噪聲干擾的加速度時(shí)程作為輸入，采用本文提出的荷載反演算法進(jìn)行反演，識(shí)別出了兩個(gè)自由度的荷載時(shí)程、速度時(shí)程以及位移時(shí)程，并進(jìn)行誤差分析。圖3給出了無(wú)噪聲情況下的反演結(jié)果?？梢钥闯觯寒?dāng)無(wú)噪聲干擾時(shí)，波浪荷載的測(cè)量值與識(shí)別值幾乎完全重合，這說(shuō)明該反演算法在無(wú)噪聲情況下是切實(shí)可行的。

圖2 固定式海洋平臺(tái)及其簡(jiǎn)化模型Fig.2 Fixed offshore platform and its’ simplified model

圖4-5分別是噪聲水平為5%和10%情況下的識(shí)別結(jié)果。由圖4可見(jiàn)，在5%的噪聲水平下，波浪荷載的識(shí)別值與測(cè)量值吻合很好，剔除幾個(gè)極值點(diǎn)，其余點(diǎn)的識(shí)別結(jié)果的相對(duì)誤差均小于1%。 由圖5可見(jiàn)，在10% 的噪聲水平下，剔除幾個(gè)極值點(diǎn)，其余點(diǎn)的識(shí)別結(jié)果的相對(duì)誤差均小于5%，滿(mǎn)足工程需要。因此，該反演算法具有較強(qiáng)的抗噪聲能力。

圖3 無(wú)噪聲情況下第二個(gè)自由度波浪荷載識(shí)別結(jié)果Fig.3 Wave force identified results of the second degree of freedom in the case of no noise interference

圖4 噪聲水平為5%時(shí)第二個(gè)自由度波浪荷載識(shí)別結(jié)果Fig.4 Wave force identified results of the second degree of freedom in the case of 5% noise level

圖5 噪聲水平為10%時(shí)第二個(gè)自由度波浪荷載識(shí)別結(jié)果Fig.5 Wave force identified results of the second degree of freedom in the case of 10% noise level

5 結(jié) 論

本文提出了一種波浪荷載反演的逐步優(yōu)化算法，該算法通過(guò)Newmark-β數(shù)值積分法將動(dòng)力問(wèn)題表達(dá)成狀態(tài)方程，然后再基于每一個(gè)時(shí)間點(diǎn)建立目標(biāo)函數(shù)，逐步識(shí)別波浪荷載。數(shù)值算例表明，即使在10%的噪聲水平下，反演得到的波浪荷載仍具有很高的精度。