由反對稱化操作探究Levi-Civita與Kronecker符號的性質(zhì)

彭俊金,雷良建

(1.貴州師范大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院，貴州 貴陽 550001；2. 貴州省射電天文數(shù)據(jù)處理重點實驗室，貴州 貴陽 550001)

Levi-Civita(簡稱L-C)符號(張量)是以著名的意大利籍?dāng)?shù)學(xué)與物理學(xué)家Tullio Levi-Civita的姓氏命名的一個量。當(dāng)時空或空間的維度為n時，L-C符號定義為一個含n個逆變或協(xié)變指標(biāo)的完全反對稱量[1-6]，并約定所有非零分量的取值為1或-1，而L-C張量由L-C符號乘上一個僅與度規(guī)張量行列式有關(guān)的因子得到。它們在微分幾何、群論、經(jīng)典力學(xué)、電磁理論、量子力學(xué)、量子場論與廣義相對論[1-6]等中有著非常廣泛且重要的應(yīng)用。特別地，借助三維L-C符號可以很方便地描述經(jīng)典力學(xué)、電動力學(xué)與量子力學(xué)等中的一些物理量與規(guī)律[7]。而在L-C符號(張量)的眾多應(yīng)用中，時常會涉及到Kronecker delta符號(簡稱為Kronecker 符號)這一個數(shù)學(xué)與物理學(xué)中常見的重要量。因此，掌握它們各自的性質(zhì)與應(yīng)用以及建立二者之間的聯(lián)系都是值得關(guān)注的問題。

本文直接由度規(guī)行列式基于各分量的定義出發(fā)，借助于由Kronecker符號與L-C符號之間取反對稱化操作而得到的恒等式，推導(dǎo)得出L-C符號(張量)與Kronecker符號之間的一個重要表達(dá)式。為了深入理解重要表達(dá)式的意義，進(jìn)一步探討了如何由它導(dǎo)出文獻(xiàn)中常見的兩個重要推論；并在此基礎(chǔ)上，分析了二者的性質(zhì)并嘗試給出其它證明方法。本文結(jié)果有利于物理，特別是廣義相對論學(xué)習(xí)者系統(tǒng)、全面地理解L-C符號(張量)與Kronecker符號的性質(zhì)。

1 重要表達(dá)式

下文中，基于n維時空中度規(guī)張量gμν的行列式定義為

g=det(gμν)

(1)

將證明在理論物理，如廣義相對論、弦論以及修正引力理論中常用的由兩個L-C張量的(n-m) (0≤m≤n)個指標(biāo)縮并而得到的一個重要表達(dá)式[1-6]：

(2)

或由L-C符號等價表示為

εμ1···μn-mα1···αmεμ1···μn-mβ1···βm

(3)

采用數(shù)學(xué)歸納法證明(3)式，提供一個便于物理，尤其是廣義相對論學(xué)習(xí)者易于理解的詳細(xì)證明，并剖析其一些重要性質(zhì)。具體步驟為：首先由n維時空的度規(guī)張量行列式，得到m=0情形的結(jié)果；在此基礎(chǔ)上，再次驗證m=1,2這兩種特殊情形；最后證明它們在一般情形下仍然成立。證明過程的核心是：對Kronecker符號的上指標(biāo)與逆變L-C張量的所有指標(biāo)進(jìn)行反對稱化操作，由此得到一個零值恒等式，然后展開該式來實現(xiàn)指標(biāo)輪換。

2 m=1情形

首先，令度規(guī)行列式的定義式(1)兩邊同時除以g并乘上n!即可得到兩個L-C符號所有指標(biāo)縮并后的結(jié)果：

εμ1μ2···μnεμ1μ2···μn=n!

(4)

(5)

對上式進(jìn)行展開，進(jìn)一步得到

(6)

讓協(xié)變L-C符號εμ1···μn與上式進(jìn)行所有指標(biāo)縮并，有

=nεμ1···μn-1α1εμ1···μn-1β1

(7)

最后，代入(4)式化簡上式，可以得到(3)式在m=1情形的結(jié)果：

(8)

此外，(8)式也可直接由度規(guī)張量分量的代數(shù)余子式導(dǎo)出[8]。

3 m=2情形

(9)

展開(9)式，有

(10)

對上式與εμ1···μn-1β1的指標(biāo)μ1,μ2,···μn-1進(jìn)行縮并，得到

=(n-1)εμ1···μn-2α1α2εμ1···μn-2β1β2

(11)

利用(8)式化簡，整理可得m=2時的結(jié)果，即

(12)

也就是說，當(dāng)m=2時(3)式仍然成立。

4 一般情形

重復(fù)上述m=1,2時的操作，不難驗證m=3,4,5,6等時(3)式仍然成立。在此基礎(chǔ)上，不妨假設(shè)(3)式在(m-1)時成立，即

εμ1···μn-m+1α1···αm-1εμ1···μn-m+1β1···βm-1

(13)

這里以及下文中，系數(shù)λ=(m-1)!(n-m+1)!。

根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的要求，基于(13)式，如果能夠證明m情形仍然成立，則(3)式在一般情形下亦成立。

同理，由反對稱化Kronecker符號與指標(biāo)在上的L-C符號的乘積即可得到恒等式

(14)

對其進(jìn)行展開，有

(15)

同樣，讓(15)式與εμ1···μn-m+1β1···βm-1之間進(jìn)行μ1,···,μn-m+1等指標(biāo)縮并，得到

=(n-m+1)εμ1···μn-mα1···αmεμ1···μn-mβ1···βm

(16)

(17)

對(16)式化簡，我們最終得到與(3)式完全一樣的結(jié)果或等價表示為含L-C符號與度規(guī)張量分量的表達(dá)式

gg[α1|β1|···gαm]βm

·εμ1···μn-mα1···αmεν1···νn-mβ1···βmgμ1ν1

···gμn-mνn-m

(18)

當(dāng)m=1時，(18)式正好是文獻(xiàn)[8]中給出的基于度規(guī)張量各分量的代數(shù)余子式。因此，從某種意義上來說，(18)式可看作代數(shù)余子式的一般推廣。

作為(2)或(3)式的一個簡單應(yīng)用，可以考慮兩個三維的L-C符號之間的乘積，有這樣一些具體結(jié)果：

(19)

為了得到(6)、(10)、(15)與(17)式，必須對反對稱指標(biāo)進(jìn)行降階處理。其實質(zhì)是對完全反對稱量V[σTα1···αm](Tα1···αm完全反對稱)按Vσ進(jìn)行展開。為此，定義一個新的量

(20)

不難證明，Yσα1···αm的指標(biāo)σ與任意αi交換順序后其取值反號。因此，Yσα1···αm=Y[σα1···αm]完全反對稱。反對稱化(20)式可得Y[σα1···αm]=V[σTα1···αm]，由此可導(dǎo)出V[σTα1···αm]的展開式，展開式恰好為(20)式的右邊部分。(17)式可應(yīng)用于Gauss-Bonnet引力模型的場運動方程的化簡[9]以及Lanczos-Lovelock引力[4]性質(zhì)的探討，如：守恒量與全息對偶等等。因其重要性，我們會在第6節(jié)進(jìn)一步論述(17)式的推導(dǎo)與應(yīng)用。

(21)

5 兩個推論與推廣的Kronecker符號的性質(zhì)

在本節(jié)中，我們討論由(2)式延伸出來的兩個重要推論，并深入挖掘L-C符號(張量)與Kronecker符號的性質(zhì)。為方便起見，引入文獻(xiàn)中常見的符號約定，即推廣的Kronecker delta符號[6]

(22)

(a)它的值域為{-1,0,1}；

(f)完全反對稱化任意兩個推廣的Kronecker符號的乘積可得

(23)

不難驗證，由(23)式也可導(dǎo)出(22)式，因此，二者彼此等價。也就是說，(23)式也可用來定義推廣的Kronecker符號；

可表示為

(24)

上式中f為時空坐標(biāo)的任意標(biāo)量函數(shù)；

(h) 當(dāng)兩個推廣的Kronecker符號的指標(biāo)之間存在如下縮并關(guān)系時，有

(25)

當(dāng)m=n時，利用(22)式中的符號約定，由(2)式直接可給出如下推論一：

(26)

特別地，當(dāng)(26)式中有(n-m)個指標(biāo)縮并時，可得

(27)

比較(2)與(27)兩式，又導(dǎo)出本文推論二，即一個有關(guān)推廣的Kronecker符號的重要關(guān)系式：

(28)

下面，我們舉例說明(26)和(28)式的三個重要應(yīng)用。首先，在推廣的Kronecker符號的性質(zhì)(e)的幫助下，利用(26)和(28)式、或直接應(yīng)用推廣的Kronecker符號的性質(zhì)(h)，將(21)式表述成如下的等價形式：

(29)

當(dāng)(26)式中所有逆變指標(biāo)α1···αn或協(xié)變指標(biāo)β1···βn取值為1···n時，我們可以得到上與下指標(biāo)的L-C符號由推廣的Kronecker符號表示的結(jié)果：

(30)

由此可見，這兩類符號具有天然的聯(lián)系性。當(dāng)然，上式也可直接由(22)式給出。有了(30)式，可以更方便地理解n維方矩陣M的行列式定義，這是因為

|M|=n!M[1|1|M2|2|···Mn]n

=εμ1···μnMμ11···Mμnn

(31)

式中，第二個等式的導(dǎo)出是基于上述推廣的Kronecker符號的性質(zhì)(e)完成的，最后一個等式是行列式最為常用形式之一。在(31)式的基礎(chǔ)上，再次進(jìn)行同樣操作，可得

|M|=εμ1μ2···μnMμ1[1M|μ2|2···M|μn|n]

=(n!)-1εμ1···μnεν1···νnMμ1ν1···Mμnνn

(32)

(32)式正好是本文證明(3)式的出發(fā)點。最后，(30)式還可用來推導(dǎo)對偶坐標(biāo)基底{dxμ}的楔形積(wedge product)的變換關(guān)系，即

=εμ1···μndx1···dxn

(33)

上式中dxμ1···μn是dxμ1∧···∧dxμn的簡寫，類似結(jié)果可參考文獻(xiàn)[10]。

6 (26)與(28)兩式的又一證明

本節(jié)中，我們將通過行列式與矩陣的形式給出(26)和(28)式的又一更為直觀的證明。首先，考慮(26)式的證明。定義一個j×j的方矩陣M為

(34)

(35)

(36)

因此，det(C)=det(A)det(B)，也就是

(37)

進(jìn)一步利用L-C張量的定義，即可得到(26)式。

接下來，證明(28)式。同樣，引入一個n×n方矩陣Z，其分塊矩陣表示為

(38)

式中，對角元方矩陣U與X分別定義為

(39)

(a) 所有αi與βk各自取值互不相同，同時還需滿足全部αi的取值集合Sα與所有βk的取值集合Sβ完全一致，即Sα=S0=Sβ。S0記為{1≤s1≠s2≠···≠sm≤n}。

det(Z)=det(U)det(X-WU-1V)

(40)

因需det(U)≠0，可得det(Z)=det(U)det(X)，即

(41)

(b) 其余αi與βk的取值。

基于對Kronecker符號與L-C張量的反對稱化操作、或借助矩陣與行列式的性質(zhì)，本文分別給出了三種推導(dǎo)(26)與(28)式的方法。很顯然，本節(jié)中給出的證明最為直觀、簡單。

最后，我們將推導(dǎo)(28)式的推廣形式。如果對(34)式中矩陣M的行列式按第j列執(zhí)行拉普拉斯展開，我們又可得到(17)式由推廣的Kronecker符號表示的結(jié)果：

(42)

(43)

(44)

7 結(jié) 論

本文直接由n維時空或空間中度規(guī)張量的行列式的基本定義(1)式出發(fā)，得到了恒等式(14)式，并分別在m=1,2以及一般情形下證明了Levi-Civita符號(張量)與Kronecker符號之間的具體聯(lián)系，即二者滿足(2)或(3)式。在此基礎(chǔ)上，引入推廣的Kronecker符號，給出了兩個重要推論(26)與(28)式。需要注意的是，僅利用(42)式或矩陣的性質(zhì)，還可以導(dǎo)出一個比(28)式更具一般性的表達(dá)式，即(44)式。因此，本文的結(jié)果不僅涵蓋了Levi-Civita符號(張量)主要性質(zhì)，而且?guī)缀跄依?推廣的)Kronecker符號的所有經(jīng)常用到的重要性質(zhì)。

通過多次應(yīng)用反對稱化操作來獲取n維時空或空間中含(n+1)個完全反對稱指標(biāo)的零值量，可從而借此以實現(xiàn)指標(biāo)的輪換。這一操作技巧在廣義相對論及其相關(guān)擴(kuò)展理論，如超引力與弦理論等中有極其廣泛的應(yīng)用空間。因此，期望本文的反對稱化操作能為這些領(lǐng)域的應(yīng)用提供一些啟示。