一種新型深潛器耐壓殼的非線性屈曲計算

彭 懿，韋乃琨，趙 晶，甄希金，王 浩

(1. 上海船舶工藝研究所，上海 200032；2. 上海申博信息系統(tǒng)工程有限公司，上海 200032)

0 引 言

深海潛水器是在各種復(fù)雜海域進(jìn)行水下科學(xué)考察和開發(fā)作業(yè)的必備裝備,是人類研究開發(fā)海洋的主要技術(shù)之一。耐壓殼作為深海潛水器人員和儀器搭載平臺，其可靠性、功能性至關(guān)重要。耐壓殼的可靠性表現(xiàn)為抵抗海水壓力的能力，下潛越深需要抵抗海水壓力越大。功能性表現(xiàn)為盡可能多地搭載人員和設(shè)備，盡可能低的結(jié)構(gòu)重量。李文躍等[1]對大深度載人潛水器的耐壓殼結(jié)構(gòu)形式做了較深入的研究，分析了圓柱形、球形、橢球形耐壓殼的特點。隨著潛深的增加，對耐壓殼的抗壓能力要求越來越高，張呤等[2]提出了一種新型雙層耐壓殼結(jié)構(gòu)，研究顯示其抗屈曲能力較單層耐壓殼有顯著提高。隨著下潛深度的增加，結(jié)構(gòu)重量與自浮力之間的矛盾將變得更加突出，必須采取有效措施,嚴(yán)格控制結(jié)構(gòu)重量增長幅度，以確保深潛器有效載荷不減少，保持合理的容重比以滿足功能需求。張乃樑[3]對比了圓柱、橢球、球球、球柱球3 種形式耐壓殼的容重比，得出橢球的容重比最高。圓柱形耐壓殼盡管在抗壓能力上不及球形和橢球形，但在制造工藝難度、水動力特性、成本、空間利用率等方面有明顯的優(yōu)勢，因此本文選擇圓柱形耐壓殼為研究對象。

由于深潛器耐壓殼是受外部水壓力，所以屈曲是耐壓殼破壞的主要原因。受各種不同力和邊界條件約束的圓柱殼屈曲問題，國內(nèi)外已有大量研究。L.H.Donnell[4]引入缺陷因子的概念討論了缺陷對軸壓薄壁圓柱殼屈曲的影響；Izhak Sheinman[5]給出了幾何缺陷縱環(huán)加筋圓柱殼在軸壓作用下的屈曲數(shù)值解；周承倜[6]和陳鐵云[7]等研究了具有初始缺陷的環(huán)肋圓柱殼在均勻靜水壓力作用下的彈塑性屈曲；Yamaki[8]系統(tǒng)地研究了受各種不同力和邊界條件約束的圓柱殼的彈性屈曲。為了提高抗壓能力，控制結(jié)構(gòu)重量，提高容重比，本文參考了王林等[9]的研究，將圓柱形耐壓殼設(shè)計成縱環(huán)加筋圓柱形耐壓殼。耐壓殼在制造過程中外形難免有缺陷，在學(xué)術(shù)界將此種缺陷稱為初始缺陷，并用初始缺陷撓度來描述。因此問題實質(zhì)上是有初始缺陷縱環(huán)加筋圓柱殼的受壓屈曲問題。彭懿[10]對具有初始缺陷的縱環(huán)加筋圓柱殼在均勻靜水壓力作用下的彈性屈曲做了較深入研究，給出了特定條件下的幾何非線性解析解。本文在上述研究的基礎(chǔ)上，同時考慮幾何非線性和材料非線性，用專業(yè)計算軟件對彭懿[10]的研究做了進(jìn)一步探討。

1 非線性屈曲的有限元解法

由于非線性問題的復(fù)雜性，往往嚴(yán)格的數(shù)學(xué)求解是十分困難的，而有限元方法為非線性問題的數(shù)值求解提供了有效的工具。有限元方法求解非線性問題是將非線性問題轉(zhuǎn)化為一序列線性問題求解。

目前專業(yè)計算軟件對結(jié)構(gòu)進(jìn)行非線性屈曲計算是通過非線性靜力分析實現(xiàn)的。利用線性加載方法逐步施加載荷，直至結(jié)構(gòu)的切向剛度矩陣變成奇異陣，可以認(rèn)為結(jié)構(gòu)此時屈曲，即可終止計算，并認(rèn)為此時的載荷即為屈曲臨界載荷。

為了幫助理解非線性屈曲的有限元計算，下面簡單介紹基本思想[11]。

非線性計算，不能直接由線性方程組求得響應(yīng)，需要將載荷分割成若干增量求解，每一增量內(nèi)將非線性變量線性化，然后由線性方程組求得這一增量內(nèi)的響應(yīng)。但純增量法沒有考慮由線性化導(dǎo)致的誤差，前一增量步的誤差會累積到后一步，誤差的累積會使解明顯偏移。

與線性問題不同，無論是材料非線性還是幾何非線性，單元剛度矩陣 [ke] 與單元節(jié)點位移 j5i0abt0be相關(guān)。假設(shè)結(jié)構(gòu)體的剛度矩陣 [Kj5i0abt0b] ，節(jié)點位移為 j5i0abt0b，外力為{R}，非線性有限元方程為：

式（1）可以寫成下面的形式：

則方程 {fj5i0abt0b}=0的根即是式（1）的解。式（2）中[Kj5i0abt0b]j5i0abt0b 是 內(nèi) 力， {R} 是 外 力， {fj5i0abt0b}是 內(nèi) 力 與 外 力的不平衡力，只有 j5i0abt0b 為精確值時 {fj5i0abt0b}=0才成立。求解式（2）一般都采用線性化方法，把非線性問題轉(zhuǎn)化為一系列線性問題求解。即把整個載荷分為若干個子步（增量）加載，每個子步內(nèi)都進(jìn)行線性迭代運算。具體做法是在每個子步內(nèi)用切向剛度矩陣 [KT]代替剛度矩陣 [Kj5i0abt0b]，這樣非線性方程式（2）就變?yōu)槿缦戮€性方程：

式中切向剛度矩陣 [KT]可根據(jù)應(yīng)力應(yīng)變曲線求得。

顯 然 將 變量 [Kj5i0abt0b]用 常量 [KT]代 替 會產(chǎn)生誤差，導(dǎo)致{fj5i0abt0b}≠0。為了消除誤差需要通過迭代運算，通常使用的迭代算法有Newton-Raphson 法和Risk 法。高良田等[12]采用Risk 法對球形耐壓殼的非線性屈曲做了計算，取得較好的結(jié)果。Risk 法被認(rèn)為是目前結(jié)構(gòu)非線性屈曲計算中數(shù)值計算最穩(wěn)定、收斂性最好的迭代計算方法之一，本文采用Risk 法計算耐壓殼的非線性屈曲。

2 計算模型創(chuàng)建

2.1 物理模型簡介

物理模型數(shù)據(jù)來自于王林等所做的實驗[9]，本文只將縱筋的位置調(diào)整為內(nèi)加筋，使模型的結(jié)構(gòu)形式與耐壓殼的結(jié)構(gòu)形式一致。模型為縱環(huán)加筋圓柱殼，模型兩端用厚鋼制法蘭密封固定。殼體半徑R=850 mm，殼體長度L=500 mm，殼體厚度t=4 mm；肋骨共有11 根，間距l(xiāng) =46 mm，肋骨尺寸： S1=δ ×h =6 mm×21 mm=126 mm2， δ為環(huán)筋的厚度， h為環(huán)筋的高度；縱筋位于圓柱殼內(nèi)側(cè)，共24 根，沿圓周均布，間距b=222.5 mm，縱 筋 尺 寸： S2=δ ×h =4 mm ×15 mm=60 mm2， δ為縱筋的厚度， h為縱筋的高度；殼體、環(huán)筋、縱筋是同樣的材料。材料屈服極限是 σs=784 MPa，材料的彈性模量是 E =2.0 ×105MPa，材料的泊松比是 μ=0.3。

2.2 單元選取與材料模型

圓柱殼體使用殼單元，法蘭采用殼單元，縱向和橫向加強筋均采用梁單元。

由于王林等所做的實驗[9]中只給出了材料常數(shù)，沒有給出材料的應(yīng)力應(yīng)變曲線。在此假定材料為理想彈塑性且各向同性硬化材料，材料應(yīng)力應(yīng)變曲線采用雙線形。材料應(yīng)力應(yīng)變曲線如圖1 所示。

圖1 材料應(yīng)力應(yīng)變曲線Fig. 1 Material stress-strain curve

2.3 有限元模型

整個模型劃分為3726 個單元。法蘭用三角形網(wǎng)格自由劃分為678 個殼單元，圓柱面用四邊形網(wǎng)格劃分為1 440 個殼單元，縱向和橫向加筋共劃分為1 608 個梁單元，如圖2 所示。

圖2 非線性屈曲計算有限元模型Fig. 2 FEM for nonlinear buckling calculation

2.4 載荷和邊界條件

如圖3 所示，耐壓殼內(nèi)部被剛度遠(yuǎn)大于耐壓殼的艙壁分隔，因此可以認(rèn)為耐壓殼的端面是被剛性固定的。耐壓殼外部加靜水壓力，加載方式采用分步加載，直至耐壓殼發(fā)生屈曲破環(huán)，載荷的上界取線性屈曲分析的結(jié)果6.61 MPa[10]。

2.5 初始缺陷引入

圖3 非線性屈曲計算的載荷和邊界條件Fig. 3 Load and boundary conditions for nonlinear buckling calculation

在耐壓殼或?qū)嶒災(zāi)Ｐ蛯嶋H的加工、裝配、焊接過程中，產(chǎn)生變形是不可避免的，這使結(jié)構(gòu)偏離正確的形狀，產(chǎn)生所謂的非圓度。在學(xué)術(shù)界將這種非圓度稱為初始缺陷。無論是實際使用的深潛器還是用于實驗的模型，由于加工工藝的限制，都無法避免初始缺陷的存在。初始缺陷對屈曲的影響也發(fā)表了大量研究結(jié)果[4-7]。研究結(jié)論表明初始缺陷對耐壓殼的屈曲有明顯影響，顯著降低了耐壓殼的臨界屈曲載荷。因此，在耐壓殼的屈曲計算中必須考慮初始缺陷。張菊等[13]對耐壓殼初始缺陷的檢驗方法、檢測原理、偏差計算做了探討，但對耐壓殼的初始缺陷的精確數(shù)學(xué)描述是很困難的。為此國內(nèi)外研究者[14]在研究耐壓殼的非線性屈曲時的一致做法是將1 階模態(tài)通過適當(dāng)變換作為初始缺陷。本文也使用此方法。初始缺陷引入分為2 步：第1 步進(jìn)行線性屈曲計算，得到1 階模態(tài)（見圖4）并將1 階模態(tài)的節(jié)點位移導(dǎo)出；第2 步將節(jié)點位移做適當(dāng)變換引入有限元模型得到具有初始缺陷的有限元模型。至此就得到用于非線性屈曲計算的有限元模型。

圖4 一階屈曲模態(tài)節(jié)點位移圖Fig. 4 Displacements of nodes under first order buckling mode

3 計算結(jié)果

將節(jié)點位移做適當(dāng)變換引入有限元模型，分析了初撓度幅值分別為：0.8 mm，1.0 mm，1.5 mm，2.0 mm的縱橫加筋圓柱殼的非線性屈曲臨界載荷。分析結(jié)果如圖5～圖8 所示，并將各初撓度下的臨界載荷用表1列出。圖5～圖8 中的縱橫加筋圓柱殼軸向半波數(shù)為1，周向整波數(shù)為7。這與王林等所做的實驗[9]結(jié)果一致，說明邊界條件和加載方式是合理的。王林等[9]給出基于線彈性理論的完美耐壓殼臨界載荷解析解是6.56 MPa，實驗得出的臨界載荷是4.61 MPa，顯然基于線彈性理論的解析解要高于實驗值。非線性屈曲計算考慮了模型實際存在的缺陷，因此所得的結(jié)果小于解析解，而更接近實驗值。

圖5 初撓度幅值為0.8 mm 的非線性計算結(jié)果Fig. 5 Nonlinear calculation results under initial imperfections amplitude 0.8 mm

圖6 初撓度幅值為1.0 mm 的非線性計算結(jié)果Fig. 6 Nonlinear calculation results under initial imperfections amplitude 1.0 mm

圖7 初撓度幅值為1.5 mm 的非線性計算結(jié)果Fig. 7 Nonlinear calculation results under initial imperfections amplitude 1.5 mm

圖8 初撓度幅值為2.0 mm 的非線性計算結(jié)果Fig. 8 Nonlinear calculation results under initial imperfections amplitude 2.0 mm

表1 不同初撓度下非線性計算所得臨界載荷Tab. 1 Critical loads obtained by nonlinear calculation under different initial imperfections

4 結(jié) 語

1）Risk 法計算耐壓殼的非線性屈曲收斂性好，計算結(jié)果與實驗值較接近，具有一定的工程價值和指導(dǎo)意義；

2）將耐壓殼的1 階屈曲模態(tài)作為初始缺陷波型引入是合理的；

3）外形有初始缺陷的耐壓殼臨界載荷遠(yuǎn)小于外形完美的耐壓殼，初始缺陷撓度幅值越大，耐壓殼的承載能力越差，為了保證耐壓殼的安全可靠，必須嚴(yán)格控制加工工藝誤差；

4）本文采用的材料應(yīng)力應(yīng)變曲線是理想化的，與真實曲線存在差異，這種差異對非線性分析結(jié)果有影響。為了使計算更加準(zhǔn)確，有必要通過材料力學(xué)實驗得到準(zhǔn)確的應(yīng)力應(yīng)變曲線。