從參考系變換的角度討論摩擦力的功

喬國(guó)健 劉鑫巖 戴 瑞 于海波

(東北師范大學(xué)物理學(xué)院,吉林 長(zhǎng)春 130024)

1 引言

摩擦力做功和人們的生活密切相關(guān),也是中學(xué)物理教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)以及難點(diǎn),學(xué)生在分析一個(gè)摩擦力做功時(shí)存在很多困惑,有時(shí)不能準(zhǔn)確的分析出一個(gè)摩擦力是做正功、負(fù)功還是不做功. 針對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)摩擦力做功遇到的困難,本文從功的定義出發(fā)探討一對(duì)摩擦力做功的和,使學(xué)生清楚一對(duì)摩擦力做功之和與能量轉(zhuǎn)換相關(guān)聯(lián),希望學(xué)生不但會(huì)做題更要清楚摩擦力做功的物理本質(zhì),其有助于學(xué)生物理觀念的培養(yǎng),并結(jié)合生活中常見實(shí)例,從參考系變換的角度討論一個(gè)摩擦力做功. 雖然對(duì)于基礎(chǔ)教育和高考而言,一般中學(xué)教學(xué)均默認(rèn)地面參考系,不會(huì)涉及其它參考系及參考系變換問題,但其它參考系和參考系變換在日常生活中是真實(shí)存在的,中學(xué)生對(duì)其也存在一定的感知,讓學(xué)生了解從參考系變換的角度分析摩擦力的功,可以拓展學(xué)生分析問題的思路,培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維. 最后通過一道典型例題分析,進(jìn)一步闡明本文的觀點(diǎn).

2 一個(gè)力做功與一對(duì)相互作用力做功之和在參考系變換下的討論

2.1 一個(gè)力做功在參考系變換下是非協(xié)變的

如圖1所示,用r表示質(zhì)點(diǎn)i在參考系O-xyz(O系)中的位置矢量,r0表示參考系O′-x′y′z′(O′系)的坐標(biāo)原點(diǎn)O′在O系中的位置矢量(t=0時(shí)兩坐標(biāo)原點(diǎn)O′與O重合),r′表示質(zhì)點(diǎn)i在O′系中的位置矢量,則r=r′+r0.若質(zhì)點(diǎn)i在力f的作用下在O系中發(fā)生的小位移為dr,則力f在O系和O′系中對(duì)質(zhì)點(diǎn)i做的元功可分別表示為

δw=f·dr.

(1)

δw′=f·dr′=f·dr-f·dr0=δw-f·dr0.

(2)

由(1) 式和(2) 式積分可得,一個(gè)力的功在兩個(gè)參考系中的表達(dá)式不同,所以一個(gè)力的功在參考系變換下是非協(xié)變的,即,一個(gè)力的功與參考系的選擇有關(guān).

圖1 參考系變換

2.2 一對(duì)相互作用力做功之和在參考系變換下是協(xié)變的,與能量轉(zhuǎn)換相關(guān)聯(lián)

如圖2所示,質(zhì)點(diǎn)i和質(zhì)點(diǎn)j在O系(O′系)中的位置矢量分別為ri(ri′)和rj(rj′),用fij(fij′)和fji(fji′)分別表示質(zhì)點(diǎn)i對(duì)j和質(zhì)點(diǎn)j對(duì)i的作用力,這對(duì)相互作用力在O系和O′系中的元功之和分別表示為:

δwij=fij·drj+fji·dri=fij·d(rj-ri)=fij·drij.

(3)

(4)

由(3)式和(4)式積分可得,一對(duì)相互作用力做功之和在兩個(gè)參考系中的表達(dá)式相同,即一對(duì)相互作用力做功之和在參考系變換下是協(xié)變的. 與此同時(shí),一對(duì)相互作用力做功之和與不同形式的能量轉(zhuǎn)換相關(guān)聯(lián),由動(dòng)能定理推導(dǎo)可知,一對(duì)保守內(nèi)力做功之和改變體系的勢(shì)能,一對(duì)非保守內(nèi)力做功之和改變體系的動(dòng)能. 所以討論一對(duì)相互作用力做功之和與能量轉(zhuǎn)換相關(guān)聯(lián),用一對(duì)相互作用力做功之和討論問題更接近物理的本質(zhì).

圖2

2.2.1 一對(duì)靜摩擦力做功之和

若在摩擦力的作用下兩質(zhì)點(diǎn)間未發(fā)生相對(duì)位移,兩質(zhì)點(diǎn)間的摩擦力為靜摩擦力,這對(duì)靜摩擦力做功之和為0. 盡管這對(duì)靜摩擦力不做功,不改變體系的機(jī)械能,但由于這對(duì)相互作用的靜摩擦力分別作用在兩個(gè)物體上,所以這對(duì)靜摩擦力做功之和使體系的動(dòng)能和勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化.

2.2.2 一對(duì)滑動(dòng)摩擦力做功之和

若在摩擦力的作用下兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間發(fā)生了相對(duì)位移(位移與力不垂直)時(shí),兩質(zhì)點(diǎn)間的摩擦力為滑動(dòng)摩擦力,由于摩擦力的方向總是與相對(duì)運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)相反,所以這對(duì)滑動(dòng)摩擦力做功之和為小于0,做負(fù)功. 一對(duì)摩擦力又為非保守內(nèi)力,其做功改變體系的動(dòng)能,將動(dòng)能轉(zhuǎn)換為熱能(摩擦生熱),體系的機(jī)械能減小,而這種摩擦生熱的過程是不可逆的,生成熱量的多少也與參考系的選擇無關(guān).

3 從參考系變換角度討論一個(gè)摩擦力的功

由前面討論可知,一個(gè)力做功和參考系的選取有關(guān),在不限定參考系的前提下討論一個(gè)力的功是沒有意義的,下面結(jié)合生活中實(shí)例,從參考系變換的角度討論不同參考系中一個(gè)摩擦力的功.

3.1 一個(gè)靜摩擦力的功

例1.如圖3所示,手握著瓶子或向下運(yùn)動(dòng)(圖3a),或向上運(yùn)動(dòng)(圖3b),或沿水平方向向右運(yùn)動(dòng)(圖3c),瓶子與手之間不發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng),瓶子與手之間的摩擦力為靜摩擦力,瓶子受到的靜摩擦力f的方向是豎直向上的. 試討論上述3種運(yùn)動(dòng)情況下靜摩擦力對(duì)瓶子做的功.

(1) 以瓶子為參考系(O系,豎直方向?yàn)閥軸,水平方向?yàn)閤軸)

在O系中,因?yàn)槠孔拥奈灰茷?,所以3種運(yùn)動(dòng)情況下靜摩擦力對(duì)瓶子做功都為0,即W=0.

(2) 以地面為參考系(O′系,豎直方向?yàn)閥′軸,水平方向?yàn)閤′軸)

從參考系變換的角度討論上述3種運(yùn)動(dòng)情況下在地面參考系(O′系)中靜摩擦力對(duì)瓶子做的功. 對(duì)(2) 式求積分,W′=W-fy0,因?yàn)閃=0,所以W′=-(fy0).

① 當(dāng)手握著瓶子向下運(yùn)動(dòng)時(shí)(圖3a),O′系相對(duì)于O系的運(yùn)動(dòng)方向向上,位移y0與f方向相同,所以W′<0,靜摩擦力對(duì)瓶子做負(fù)功.

② 當(dāng)手握著瓶子向上運(yùn)動(dòng)時(shí)(圖3b),O′系相對(duì)于O系的運(yùn)動(dòng)方向向下,位移y0與f方向相反,所以W′>0,靜摩擦力對(duì)瓶子做正功.

③ 當(dāng)手握著瓶子沿水平方向向右動(dòng)時(shí)(圖3c),O′系相對(duì)于O系的運(yùn)動(dòng)方向沿水平方向向左,位移x0與f方向垂直,W′=0,靜摩擦力對(duì)瓶子不做功.

(a)

(b)

(c)

3.2 一個(gè)滑動(dòng)摩擦力的功

例2.汽車剎車時(shí),如果車輪抱死,不能滾動(dòng),此時(shí)車輪與地面之間為滑動(dòng)摩擦力,車輪所受滑動(dòng)摩擦力f方向沿剎車時(shí)汽車運(yùn)動(dòng)的反方向. 試討論滑動(dòng)摩擦力對(duì)汽車車輪做的功.

(1) 以車輪為參考系(O系,汽車運(yùn)動(dòng)方向?yàn)閤軸)

在O系中,因?yàn)檐囕喌奈灰茷?,所以滑動(dòng)摩擦力對(duì)汽車車輪不做功W=0.

(2) 以地面為參考系(O′系,汽車運(yùn)動(dòng)方向?yàn)閤′軸)

從參考系變換的角度討論在地面參考系(O′系)中滑動(dòng)摩擦力對(duì)汽車車輪做的功. 對(duì)(2)式求積分,W′=W-fx0=-fx0.O′系相對(duì)于O系的運(yùn)動(dòng)方向沿剎車時(shí)汽車運(yùn)動(dòng)的反方向,x0與f方向相同,所以W′<0,此時(shí)在地面參考系(O′系)中滑動(dòng)摩擦力對(duì)汽車車輪做負(fù)功.

4 典型例題分析

圖4 木塊有傳送帶上滑動(dòng)的示意圖

如圖4所示,傳送帶AB的長(zhǎng)為L(zhǎng)=2 m,皮帶沿圖示方向以v=2 m/s的速率運(yùn)動(dòng),現(xiàn)將一質(zhì)量為m=1 kg的小木塊輕放在傳送帶的A點(diǎn)處,物塊與傳送帶間的摩擦系數(shù)μ=0.25,g=10 m/s2.求小木塊由靜止達(dá)到與傳送帶共速時(shí)摩擦力對(duì)小木塊所做的功、摩擦力對(duì)傳送帶所做的功,以及摩擦力所產(chǎn)生的熱量.

解析:達(dá)到共速前小木塊與傳送帶間的摩擦力為滑動(dòng)摩擦力,其大小為

f=μmg=0.25×1 kg×10 m/s2=2.5 N.

木塊的加速度為

達(dá)到共速的時(shí)間為

分別以傳送帶為參考系(O系)和以地面為參考系(O′系)討論摩擦力對(duì)小木塊做的功、摩擦力對(duì)傳送帶做的功,以及摩擦力產(chǎn)生的熱量.

(1) 以傳送帶為參考系(O系,水平方向?yàn)檩Sx)

木塊的位移為

2.5 m/s2×(0.8 s)2=-0.8 m.

傳送帶的位移為

x2=0.

小木塊所受的滑動(dòng)摩擦力方向與其運(yùn)動(dòng)方向相反,滑動(dòng)摩擦力對(duì)小木塊做的功為

W1=fx1=(2.5 N)×(-0.8 m)=-2 J.

傳送帶所受的滑動(dòng)摩擦力對(duì)傳送帶做的功為

W2=0

摩擦力產(chǎn)生的熱量為

Q=W1+W2=-2 J.

(2) 以地面為參考系(O′系,水平方向?yàn)閤′軸)

從參考系變換的角度討論在地面參考系(O′系)中滑動(dòng)摩擦力對(duì)小木塊和對(duì)傳送帶的功.O′相對(duì)于O系的運(yùn)動(dòng)方向沿水平方向向左(x0=-v0t=-1.6 m),小木塊所受滑動(dòng)摩擦力方向向右,所以小木塊所受滑動(dòng)摩擦力方向與x0方向相反.

滑動(dòng)摩擦力對(duì)小木塊做的功為

W1′=W1-fx0=-2 J-(2.5 N)×

(-1.6 m)=2 J.

傳送帶所受滑動(dòng)摩擦力方向與x0方向相同,滑動(dòng)摩擦力對(duì)傳送帶做的功為

W2′=W2-fx0=0-(2.5 N)×(-1.6 m)=-4 J.

摩擦力產(chǎn)生的熱量為

Q′=W1′+W2′=-2 J.

顯然在不同參考系O系和O′系中,小木塊所受滑動(dòng)摩擦力對(duì)其做的功不同(W1≠W1′),傳送帶所受滑動(dòng)摩擦力對(duì)其做的功也不同(W2≠W2′),但在O系和O′系中一對(duì)摩擦力產(chǎn)生的熱量是相同的(Q=Q′),從機(jī)械能增量ΔE=Q<0角度分析,摩擦力為耗散力,即一對(duì)摩擦力做功之和與能量轉(zhuǎn)換相關(guān)聯(lián),所以分析一對(duì)摩擦力做功更有意義,更接近物理的本質(zhì).

5 結(jié)論

由上述討論可知,一個(gè)摩擦力的功與參考系的選擇有關(guān),在討論一個(gè)摩擦力做功時(shí),首先要明確在哪個(gè)參考系中討論. 在某些情況下可以從參考系變換角度討論在不同參考系中一個(gè)摩擦力的功,例如,通常會(huì)選取運(yùn)動(dòng)物體本身為一個(gè)參考系(O系)分析一個(gè)摩擦力的功(有可能為0),再選擇地面為另外一個(gè)參考系(O′系)分析這個(gè)摩擦力的功,拓展學(xué)生思考問題的思路,培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維. 而一對(duì)摩擦力做功之和與參考系的選擇無關(guān),與能量轉(zhuǎn)換相關(guān)聯(lián),用一對(duì)摩擦力做功之和分析問題更接近物理的本質(zhì),其研究更有物理意義,有助于學(xué)生物理觀念的形成,更應(yīng)受到教師和學(xué)生的關(guān)注.