不同慣性參考系中系統(tǒng)機(jī)械能是否守恒的再討論
——兼談機(jī)械能守恒定律滿足伽利略力學(xué)相對(duì)性原理

王志成 康旭紅 王增發(fā)

(1. 甘肅省臨夏市臨夏中學(xué)，甘肅 臨夏 731100; 2. 甘肅省積石山縣民族中學(xué)，甘肅 積石山 731700)

1 一個(gè)爭(zhēng)論已久的問題

近日閱讀的多篇文章,[1-8]圍繞一個(gè)中學(xué)物理中的典型例題,展開了機(jī)械能守恒定律與慣性參考系的選擇有沒有關(guān)系的大討論,而且所持觀點(diǎn)不同,結(jié)論也各異．文獻(xiàn)[1-5]認(rèn)為滑塊的機(jī)械能在一個(gè)慣性參考系中守恒,另一個(gè)慣性系中可能不守恒,機(jī)械能守恒定律不滿足伽利略力學(xué)相對(duì)性原理;文獻(xiàn)[6-8]認(rèn)為滑塊的機(jī)械能在不同慣性系中都守恒,機(jī)械能守恒定律滿足伽利略力學(xué)相對(duì)性原理．

筆者覺得,要討論這個(gè)問題,首先要統(tǒng)一討論的問題標(biāo)準(zhǔn),即重力勢(shì)能是屬于系統(tǒng)還是屬于滑塊．只有討論的問題的標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一(否則有偷換概念之嫌),才有討論的意義．

1.1 爭(zhēng)論已久的問題

如圖1所示,水平地面上固定一個(gè)高為h、傾角為θ的光滑斜面．有一質(zhì)量為m的小滑塊(可視為質(zhì)點(diǎn)),從斜面頂端由靜止沿斜面自由下滑,同時(shí)有一小車相對(duì)于地面以速度u向右勻速運(yùn)動(dòng)．試討論地面參考系和小車參考系中,滑塊機(jī)械能是否守恒．

圖1

(有些文章的例題跟上述問題一樣,也有些文章只是把地面固定斜面改為小車中的固定斜面．不影響問題的討論)

1.2 典型分析

分析1：以地面為參考系,由于斜面支持力不做功,只有重力做功,機(jī)械能顯然守恒．設(shè)滑塊到達(dá)斜面低端時(shí)速度為v,有

(1)

所以

(2)

分析2：以小車為參考系,滑塊初速度為-u,方向向左．設(shè)滑塊到達(dá)低端時(shí)相對(duì)小車的速度大小為v′,由圖2知

v′2=v2+u2-2vucosθ.

(3)

取地面為零勢(shì)能面．滑塊在斜面頂端的機(jī)械能為

(4)

滑塊在斜面低端的機(jī)械能為

(5)

比較(1)、(4)、(5)式可知

Ek1+Ep1>Ek2+Ep2.

(6)

可見,以小車為參考系,滑塊的機(jī)械能不守恒．

對(duì)這個(gè)結(jié)論,許多作者的解釋是:在小車參考系中,斜面支持力與滑塊的的速度v′不垂直,做了負(fù)功,所以滑塊機(jī)械能減少了．(筆者注:后面分析中可以看出,滑塊壓力也對(duì)地球做了功,地球機(jī)械能有微小的增加,通常被忽略了)

對(duì)比分析1、分析2后,文獻(xiàn)[1]產(chǎn)生了困惑:根據(jù)力學(xué)相對(duì)性原理,任何力學(xué)規(guī)律在任一慣性系內(nèi)具有相同的形式．機(jī)械能守恒定律作為重要的力學(xué)規(guī)律,理應(yīng)滿足力學(xué)相對(duì)性原理．

2 定性論證不同慣性參考系中系統(tǒng)機(jī)械能守恒

首先,應(yīng)統(tǒng)一討論的問題標(biāo)準(zhǔn),明確勢(shì)能是系統(tǒng)共有的．普通高中課程實(shí)驗(yàn)教科書《物理》必修2第66頁:必須指出的是,重力勢(shì)能跟重力做功密切相關(guān),而重力是地球與物體之間的相互作用．也就是說,倘若沒有地球,就談不上重力．所以,嚴(yán)格說來,重力勢(shì)能是地球與物體所組成的物體“系統(tǒng)”所共有的,而不是地球上的物體單獨(dú)具有的．

其次,明確運(yùn)用機(jī)械能守恒定律的研究對(duì)象一定是系統(tǒng),而不是單個(gè)的物體．普通高中課程實(shí)驗(yàn)教科書《物理》必修2教師教學(xué)用書第123頁:要向?qū)W生指出,重力勢(shì)能是由地球與物體所組成的系統(tǒng)所共有的,彈性勢(shì)能是由因彈力的相互作用而組成的系統(tǒng)所共有的．因此,運(yùn)用機(jī)械能守恒定律求解的對(duì)象是由相互作用的物體所組成的系統(tǒng)．

再次,明確參考系是指我們假設(shè)不動(dòng)的物體．因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)是絕對(duì)的,靜止是相對(duì)的,所以選定某個(gè)物體為參考系,其含義是假定該物體不動(dòng)．

2.1 地面慣性參考系中定性論證

以地面為參考系,滑塊和地球(地球包括斜面,以后簡稱“滑塊和地球?yàn)橄到y(tǒng)”)為系統(tǒng)．滑塊沿斜面下滑的過程中,支持力和壓力對(duì)滑塊和地球不做功,只有重力做功,根據(jù)機(jī)械能守恒的條件[9]“在外力不做功和非保守內(nèi)力不做功”可知,滑塊和地球系統(tǒng)的機(jī)械能守恒．

2.2 小車慣性參考系中定性論證

分析2中的根本錯(cuò)誤是:分析機(jī)械能是否守恒時(shí),只考慮了滑塊的機(jī)械能,而遺漏了另一個(gè)重要對(duì)象——地球的初、末狀態(tài)的動(dòng)能．因此,得出了小車參考系中機(jī)械能不守恒的錯(cuò)誤結(jié)論．

以滑塊和地球?yàn)橄到y(tǒng),在小車參考系中,地球不再是靜止的．系統(tǒng)保守內(nèi)力重力做正功．斜面對(duì)物體的支持力和物體對(duì)斜面的壓力也是系統(tǒng)的一對(duì)內(nèi)力,它們分別對(duì)滑塊和地球做了功．眾所周知,以地面為參考系時(shí)支持力和壓力這一對(duì)內(nèi)力的總功為0,根據(jù)“一對(duì)內(nèi)力的總功與參考系無關(guān)”可知,在小車參考系中,雖支持力和壓力分別對(duì)滑塊和斜面做了功,但支持力和壓力的總功仍為0,對(duì)系統(tǒng)不做功．

根據(jù)系統(tǒng)機(jī)械能守恒的條件“在外力不做功和非保守內(nèi)力不做功”的條件下,小車參考系中,滑塊和地球(包括斜面)系統(tǒng)的機(jī)械能一定守恒．

根據(jù)以上兩個(gè)慣性參考系的定性分析,筆者的結(jié)論是:不同慣性參考系中,滑塊和地球系統(tǒng)的機(jī)械能都守恒,機(jī)械能守恒定律滿足力學(xué)相對(duì)性原理．

3 定量論證不同慣性參考系中系統(tǒng)機(jī)械能守恒

假設(shè)法是科學(xué)探究中的重要思想方法,大量應(yīng)用于數(shù)學(xué)、物理研究中,是一種創(chuàng)造性的思維活動(dòng)(百度語)．

對(duì)于滑塊和地球系統(tǒng)的機(jī)械能是否守恒,可以用假設(shè)法定量論證．論證的邏輯思路如下.

由于這兩式是經(jīng)過大量實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)并確認(rèn)的、也是眾所周知的正確的物理規(guī)律和結(jié)論．因此,只要假設(shè)不同慣性參考系中滑塊和地球系統(tǒng)的機(jī)械能守恒,并由假設(shè)推導(dǎo)出與這兩式相同的結(jié)果,就說明假設(shè)是正確的．

3.1 質(zhì)心慣性參考系中定量論證

以滑塊和地球?yàn)檠芯肯到y(tǒng)時(shí),滑塊沿斜面下滑的過程中,由于滑塊有動(dòng)量的變化,且滑塊和地球(斜面)相互作用是內(nèi)力,根據(jù)動(dòng)量守恒定律可知地球也有動(dòng)量的變化．由于地球質(zhì)量很大,地球只是有微小的速度變化(通常忽略不計(jì)),但是嚴(yán)格的說,此時(shí)地面參考系(假定地面不動(dòng))不是嚴(yán)格的慣性系．所以,分析(1)中的(1)式和(2)式是近似式．

根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理,滑塊和地球之間的支持力、壓力、萬有引力都是內(nèi)力,內(nèi)力不會(huì)產(chǎn)生系統(tǒng)質(zhì)心加速度,所以系統(tǒng)質(zhì)心不動(dòng)．因此,地球和滑塊系統(tǒng)的質(zhì)心參考系是一個(gè)很好的慣性系．

在質(zhì)心慣性參考系中,由于滑塊下落的時(shí)間(與地球自轉(zhuǎn)周期24h相比較)內(nèi)可忽略地球的自轉(zhuǎn)．滑塊在斜面頂端時(shí),滑塊和地球相對(duì)質(zhì)心的速度均為0．設(shè)滑塊從斜面頂端下滑到斜面低端時(shí),相對(duì)質(zhì)心的速度大小為v,此時(shí)地球相對(duì)質(zhì)心的速度大小為V．并設(shè)地球質(zhì)量為M、半徑為R．

假設(shè)法：假設(shè)滑塊和地球系統(tǒng)的機(jī)械能守恒,則有

(7)

根據(jù)動(dòng)量守恒定律有

MV=mv.

(8)

由(7)、(8)式得

(9)

(10)

(11)

對(duì)質(zhì)心慣性參考系中的結(jié)果,我們還可以做進(jìn)一步討論后,推廣到地面慣性參考系.

(12)

由于M?m,忽略二階小量m2,所以(11)式中的

(13)

由(11)-(13)式得

(14)

考慮到M?m和R?h,由(9)、(10)式易得

(15)

V≈0.

(16)

上述3個(gè)近似式是精度極高的近似式,可以寫成等式．(14)式、(15)式分別與地面參考系得出的(1)式、(2)式相同,說明假設(shè)正確．

即運(yùn)用假設(shè)法證明了質(zhì)心慣性參考系中,滑塊和地球系統(tǒng)的機(jī)械能也守恒．

(16)式說明滑塊下滑過程中,地球速度近似為0(精度極高的近似)．這就是我們通?？梢园训孛鎱⒖枷悼醋鰬T性系的理由．

通過上述進(jìn)一步討論和推廣,不僅加深了對(duì)地面參考系不是嚴(yán)格的慣性系的理解,同時(shí)也認(rèn)識(shí)到地面參考系中的結(jié)論是精確度極高的近似結(jié)論．即質(zhì)心慣性系和地面慣性系是近似(精度極高的近似)等價(jià)的．

3.2 小車慣性參考系中定量論證

在小車慣性參考系中,滑塊在斜面頂端為初狀態(tài),滑塊在斜面低端為末狀態(tài)．則易得滑塊和地球系統(tǒng)初狀態(tài)的總動(dòng)能為

(17)

滑塊和地球系統(tǒng)末狀態(tài)的總動(dòng)能,如何簡潔的求得呢?

以小車慣性參考系為固定系,那么質(zhì)心慣性參考系是相對(duì)于小車慣性參考的平動(dòng)慣性系．因此,可以根據(jù)柯尼希定理[10-11]求得滑塊和地球系統(tǒng)在小車慣性系中末狀態(tài)的總動(dòng)能.(筆者注:考慮地球在質(zhì)心系的速度后,也可以根據(jù)類似于圖2的速度矢量關(guān)系求得地球相對(duì)于小車的速度,進(jìn)而求得系統(tǒng)總動(dòng)能,在此不再贅述,讀者自己證明.)

根據(jù)柯尼希定理,質(zhì)點(diǎn)組各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能為質(zhì)點(diǎn)組全部質(zhì)量集中在質(zhì)心并隨質(zhì)心平動(dòng)的動(dòng)能及各質(zhì)點(diǎn)相對(duì)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能之和．所以,滑塊在斜面低端時(shí),滑塊和地球系統(tǒng)的末總動(dòng)能為

(18)

式中V、v分別是地球和滑塊相對(duì)于系統(tǒng)質(zhì)心的速度.

結(jié)合(8)式、(18)式得

(19)

所以,系統(tǒng)初狀態(tài)總機(jī)械能為

(20)

系統(tǒng)末狀態(tài)總機(jī)械能為

(21)

假設(shè)法:假設(shè)在小車慣性參考系中,滑塊和地球系統(tǒng)的機(jī)械能守恒,即E1=E2．由(20)、(21)式得

(22)

結(jié)合(8)式、(22)式易得

(23)

(24)

(25)

(23)-(25)式與質(zhì)心慣性參考系計(jì)算出的結(jié)果(9)-(11)式一致．用不同的參考系分析出相同的結(jié)果,其實(shí)印證了同一客觀事實(shí)的結(jié)論與選擇的慣性系無關(guān)．

即運(yùn)用假設(shè)法證明了小車慣性參考系中,滑塊和地球系統(tǒng)的機(jī)械能也守恒．

4 結(jié)束語