高中數(shù)學(xué)解題中向量的有效運(yùn)用淺析

■龔 斌

向量,是高中數(shù)學(xué)課程中比較有難度的一類知識(shí)內(nèi)容。從具體應(yīng)用的角度分析,可知向量的思想方法在高中數(shù)學(xué)解題中是應(yīng)用率較高的一種方法。從數(shù)學(xué)概念的角度分析,向量是一種大小和方向都能夠確定下來(lái)的特殊量。

一、向量的概念簡(jiǎn)述

從性質(zhì)上來(lái)講,向量屬于一種數(shù)學(xué)專屬概念,向量,就是指一種在大小和方向上都能夠確定的量,在具體的表示方法方面,向量的方向一般用箭頭標(biāo)明,且通常箭頭的長(zhǎng)短代表著向量的大小。由此可見,向量是在數(shù)學(xué)概念中內(nèi)容和形式都比較明確的一個(gè)概念。

二、向量的概念和應(yīng)用類型

向量的概念在有關(guān)解題過(guò)程中的應(yīng)用,通常都不是以獨(dú)立的數(shù)學(xué)題目解析的形式出現(xiàn)的。在數(shù)學(xué)題的解析中,對(duì)向量的公式和方法的應(yīng)用,主要體現(xiàn)在以下三個(gè)公式中:(1)a+b=b+a,(2)a·b=b·a,(3)λa·b=λ(a·b)。在實(shí)際應(yīng)用中只要把握好這三個(gè)基本公式,并結(jié)合向量的其他知識(shí)點(diǎn),即可解決實(shí)際的數(shù)學(xué)問(wèn)題。從數(shù)學(xué)問(wèn)題的類型上分析,主要可以分為以下三種類型:(1)與平面向量的數(shù)量積有關(guān)的問(wèn)題,(2)通過(guò)平面向量解決三角函數(shù)的問(wèn)題,(3)通過(guò)平面向量解決幾何問(wèn)題。

三、平面向量在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用分析

例1向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x),滿足條件(8a-b)·c=30,那么x=____。

分析：本題考查的是平面向量的運(yùn)算方法。按照具體的計(jì)算類型分,可知計(jì)算中還包括了對(duì)向量坐標(biāo)運(yùn)算的考查。另外,還包括了一部分與數(shù)量積有關(guān)的考查項(xiàng)目。在具體解題時(shí),需要我們按照既定的解題步驟,將相應(yīng)的向量知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行分析。

解題步驟:

第一步,計(jì)算括號(hào)內(nèi)的坐標(biāo),得8a-b=8(1,1)-(2,5)=(6,3)。

第二步,通過(guò)對(duì)解題條件的拆分,可進(jìn)一步進(jìn)入到數(shù)量積的運(yùn)算中,即得到等式(8ab)·c=(6,3)·(3,x)。

第三步,需要對(duì)得到的等式進(jìn)行整理,得到一個(gè)一元一次方程,即18+3x=30。

最后一步,解方程得x=4。

分析：本題是將三角函數(shù)與向量融為一體,因此,解題時(shí)應(yīng)先從平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算入手,達(dá)到解題的目的。

解題步驟:

最后一步,解二元一次方程組,得到最終的題目答案。

注意：當(dāng)向量與函數(shù)結(jié)合時(shí),應(yīng)當(dāng)注意問(wèn)題的轉(zhuǎn)化,因?yàn)橹苯訉?duì)題目進(jìn)行觀察,不易得到解題的直接辦法,只有通過(guò)轉(zhuǎn)換,將這類問(wèn)題變換成為常見的代數(shù)問(wèn)題,才能更好更快地得到最終的題目答案。

四、向量在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的意義和作用

由于向量是可以通過(guò)方向和大小的判斷同步判斷出向量的值的一種數(shù)值類型,因此,在高中數(shù)學(xué)中對(duì)于向量的應(yīng)用,同學(xué)們只要掌握其基本公式的應(yīng)用原理和方法,就能夠以此為基礎(chǔ)獲得相應(yīng)的計(jì)算方法。

五、結(jié)束語(yǔ)

向量是高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中非常重要的一部分課程內(nèi)容,同學(xué)們應(yīng)當(dāng)從向量的概念、變化和應(yīng)用幾個(gè)方面面向這部分內(nèi)容開展學(xué)習(xí),在具體的解題中,也應(yīng)當(dāng)把握從其基本公式出發(fā)的原則,通過(guò)這部分知識(shí)與其他知識(shí)的有機(jī)結(jié)合,切實(shí)解決與向量應(yīng)用有關(guān)的數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題。