隨機利率下的半連續(xù)型壽險責(zé)任準備金
——基于單因子CIR模型

黃洪瑾（安徽財經(jīng)大學(xué)，安徽蚌埠233030）

一、引言

20世紀70年代后期，利率市場化趨勢逐漸在世界范圍內(nèi)顯現(xiàn)，隨之帶來的利率風(fēng)險對世界壽險業(yè)的穩(wěn)定經(jīng)營產(chǎn)生了極大的消極影響。 許多國家的壽險業(yè)在不斷發(fā)展的同時，沒有針對利率風(fēng)險采取相應(yīng)的預(yù)防措施，使得壽險業(yè)陷入市場萎縮、巨額利差損，甚至破產(chǎn)清算等困境。

中國的壽險業(yè)也同樣面臨著利率波動帶來的巨大利率風(fēng)險。 目前，我國銀行同業(yè)拆借利率、銀行間債券回購利率已放開管制，貸款利率浮動區(qū)間多次增大，這些現(xiàn)象均體現(xiàn)出我國利率市場逐步由行政管制轉(zhuǎn)向市場化運行。 與此同時，我國壽險費率也在朝著市場化的方向發(fā)展。 1999年，保監(jiān)會規(guī)定壽險產(chǎn)品預(yù)定利率不得超過2.5%；2005年12月，中國保監(jiān)會發(fā)布了“中國人壽保險業(yè)經(jīng)驗生命表（2000-2003）”，放開了死亡率，這是我國壽險產(chǎn)品費率市場化的重要一步；2010年7月，《關(guān)于人身保險預(yù)定利率有關(guān)事項的通知（征求意見稿）》由中國保監(jiān)會發(fā)布，決定放開傳統(tǒng)人身保險預(yù)定利率；2013年8月，中國保監(jiān)會啟動了普通壽險費率政策改革，取消2.5%的預(yù)定利率上限限制，新的費率政策從8月5日起正式實施。

通常情況下，一份壽險保單的持續(xù)時間長達十幾年甚至幾十年，在這期間利率出現(xiàn)波動的可能性極大，加上保險公司的投資通常以復(fù)利計，這就導(dǎo)致即使合同開始時的預(yù)定利率與實際利率相差很小，經(jīng)過幾十年的資金使用后也會產(chǎn)生相當(dāng)大的差距。 傳統(tǒng)的壽險準備金的評估都是在固定利率下進行的，預(yù)定利率假設(shè)一般都是一個確定的值，特別是在早期的準備金評估中，預(yù)定利率甚至從始至終都保持不變，僅僅根據(jù)特定的險種和保單期限而有所不同。 這種準備金的評估方式顯然不能很好地規(guī)避利率市場化背景下的利率風(fēng)險，從而會威脅到壽險公司的經(jīng)營管理。 由此可見，研究隨機利率下的壽險責(zé)任準備金意義重大。

二、文獻綜述

國內(nèi)外學(xué)者在隨機利率下針對壽險責(zé)任準備金計算問題的研究并不是很多，F(xiàn)rees（1990）和Norberg（1991）在全離散型繳費方式的基礎(chǔ)上研究了責(zé)任準備金的問題，他們也是首次研究壽險責(zé)任準備金的學(xué)者。 隨后，一些學(xué)者開始認識到隨機利率對壽險準備金的重要影響并對此進行了相應(yīng)的研究。 Lai and Frees（1995）檢驗了隨機利率下準備金的變化，采用了ARIMA 和ARCH 模型產(chǎn)生連續(xù)型利息力δt；Whitesell（2006）對準備金制度與利率走廊進行了評價，并給出了一類隨機利率下的精算模型；Wei and Ge（2014）通過與泊松過程相關(guān)聯(lián)的反射布朗運動建立了隨機利率模型，給出了半連續(xù)準備金的一般表達式；Suk-Joong and Nguyen（2008）則研究了利率變動對準備金產(chǎn)生的影響。

國內(nèi)對于壽險責(zé)任準備金的研究開始較晚，蔣慶榮（1997）研究了在隨機利率下終身壽險的純保費和責(zé)任準備金的精算問題。 趙靜宇和李秀蕓（2008）使用Vasicek 模型和CIR 模型模擬隨機利率，得出了全離散型壽險責(zé)任準備金的評估結(jié)果；郭欣（2013）考慮對隨機利息力分別采用正態(tài)分布和布朗運動建模，在死亡服從De Moivre 假設(shè)下，得到完全離散型均衡純保費以及責(zé)任準備金的一般表達式，并對相關(guān)的風(fēng)險進行分析；鄭蘇晉等（2017）選擇Vasicek 模型，利用蒙特卡洛法模擬利率，考察了“償二代”下利率風(fēng)險最低資本的度量問題，發(fā)現(xiàn)標準法與蒙特卡洛模擬法存在較大的差異；劉凌晨等（2017）基于隨機利息力自回歸條件異方差A(yù)RCH 模型，推導(dǎo)出了n年遞減非均衡給付定期壽險的均衡保費公式、責(zé)任準備金計提公式和風(fēng)險計算公式。

綜上所述，多數(shù)學(xué)者在研究隨機利率下的壽險準備金時都是對利息累計函數(shù)進行聯(lián)合建模，這種方法無法直接反映利率的波動對壽險公司帶來的影響，本文將直接以利率為研究對象，這樣有利于壽險公司預(yù)定利率的設(shè)定以及對責(zé)任準備金的提取。

三、壽險責(zé)任準備金基本理論

壽險公司在經(jīng)營過程中面臨的一個重要問題就是公司的資產(chǎn)能否滿足屬于保單所有者的負債額，人壽保險的保障功能也是通過足夠的資產(chǎn)來實現(xiàn)的。 在一般壽險公司的負債項目中，85%以上都是責(zé)任準備金負債，準備金在數(shù)額上的輕微變化都會影響到壽險公司在某個時期的經(jīng)營。 因此，如何對責(zé)任準備金進行準確計算對于壽險公司而言是一個十分重要的問題。

壽險責(zé)任準備金的計算方法主要有Fackler 逐年累積法、 過去法（Retrospective Method）以及未來法（Prospective Method）。 Fackler 逐年累積法指的是任何一年的準備金都是存在于上一年準備金的基礎(chǔ)之上，計算較為煩瑣；過去法的基本原理是在計算準備金的時刻，準備金等于保險人所收的純保費積存值與已經(jīng)支付的保險利益的積存值之差；未來法的計算原理是：未給付的保險利益在t 時刻的現(xiàn)值等于t 時刻的期末準備金加未收純保費在t 時刻的現(xiàn)值。這三種計算準備金方法各有利弊，在現(xiàn)實情況中，計算責(zé)任準備金時使用的方法通常是未來法。

壽險責(zé)任準備金按照投保人繳費以及保險人賠付的方式可以分為以下三種，見表1。

表1 壽險責(zé)任準備金類型

顯然，在現(xiàn)實生活中，生存期初繳費、死亡即刻賠付的半連續(xù)型責(zé)任準備金更為合理。 因此，本文主要討論半連續(xù)型責(zé)任準備金的計算方法。 下面給出了固定利率下，使用未來法計算半連續(xù)型壽險（h年繳費終身壽險）的純保費責(zé)任準備金的常用計算公式：

四、利率變動對壽險責(zé)任準備金的影響分析

影響壽險公司責(zé)任準備金計提的因素主要有死亡率、 利率以及不同的保險計劃。 其中，利率對于準備金的計提有著顯著的影響，從理論上來說，市場利率越低，準備金就越高。 造成市場利率與準備金之間反向變動的原因主要有兩點：第一，當(dāng)市場利率下降時，壽險公司的預(yù)期收益也會隨之降低，較低的預(yù)期收益需要較高的準備金來彌補；第二，在未來法下，利息率越低，用來計算準備金的貼現(xiàn)因子就越大，由此計算出的準備金的數(shù)額也就隨之上升。 下面將通過我國壽險業(yè)近些年的實際數(shù)據(jù)分析利率變動對準備金的影響。

（一）樣本數(shù)據(jù)選取

本文根據(jù)銀保監(jiān)會公布的2018年人身保險公司原保險保費收入情況，選取了原保險費收入靠前的五家保險公司作為研究的樣本，這五家保險公司分別是中國人壽保險股份有限公司、中國太平洋人壽保險股份有限公司、中國平安人壽保險股份有限公司、泰康人壽保險股份有限公司以及新華人壽保險股份有限公司，樣本數(shù)據(jù)來源于EPS 數(shù)據(jù)平臺①，整理后的數(shù)據(jù)見表2。

表2 2006-2017年樣本公司統(tǒng)計數(shù)據(jù)（單位：百萬元）

2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017總資產(chǎn) 1226257 309641 596568.52 201418.5 206560.6準備金 802895 201249 293515.2 160580.2 153122.9保費收入 295049 61998 132298 67010.8 65040.22總資產(chǎn) 1410579 378949 761662.52 293482 304452.4準備金 1000483 258797 348081.6 124577 220497.8保費收入 318228 87873.33 92645.01 65459.7 91679.08總資產(chǎn) 1583907 460629 849781.62 351074.1 386595.3準備金 1179257 314707 408665.6 172695.4 277352.6保費收入 318252 93203.1 118967.4 67937.39 94796.67總資產(chǎn) 1898916 558077 1036993.4 414187.9 493559.6準備金 1359894 372730 472455.7 213092.9 342789.9保費收入 322739 93460.8 128771.2 61577.64 97718.52總資產(chǎn) 1972941 588381 1164266.5 441502.7 565787準備金 1461267 426736.4 554008 246784.2 403348保費收入 326283 95101.22 146090.4 61123.88 103639.8總資產(chǎn) 2246567 673894 1378694.9 527396.5 643609準備金 1558970 476575.1 654422.8 261786.1 452805保費收入 531003 98691.73 173994.8 67904.39 109868.3總資產(chǎn) 2448315 760066.8 1648210 569883 659360準備金 1652763 523361.6 768283.5 284746 491441保費收入 363969 108589.3 208447.6 76029.36 111858.6總資產(chǎn) 2696951 850195.1 1858617.9 566042 699181準備金 1762932 589799.2 895047.2 292166 502493保費收入 430495 137362.3 275181.5 89840.74 112559.8總資產(chǎn) 2897591 977185.9 2254007.8 640567 710275準備金 1915324 681766.3 1080246 324661 523016保費收入 511963 173982 368934.3 115372 109293.5

（二）權(quán)重分配與準備金率計算

本文所選取的五家樣本公司的總資產(chǎn)、 準備金以及保費收入的數(shù)額相差較大，若將五家公司的年度數(shù)據(jù)直接加總顯然不合理，因此，本文以所選取的五家公司的保費收入為依據(jù)，對各公司進行權(quán)重分配。 定義準備金率為各年度的責(zé)任準備金與總資產(chǎn)之比，計算出各個公司各年度的準備金率之后進行加權(quán)相加，得到各個年度準備金率的加權(quán)和，準備金率的計算結(jié)果見表3。

表3 各年度準備金率的計算結(jié)果（單位：%）

（三）利率波動對準備金的影響

為了定量分析利率波動對準備金的影響，表4給出了一些統(tǒng)計數(shù)據(jù)，其中it代表第t年的利率水平，it的取值來自一年期Shibor 利率的算數(shù)平均。 rt表示第t年的準備金率，Δrt/Δit表示利率變動一個百分點時準備金率的相應(yīng)變化情況。

表4 利率波動與準備金率變動情況

從表4中的數(shù)據(jù)可以看出，利率與準備金率在總體上呈現(xiàn)出反向變動且變動逐漸減小的趨勢，但是2011、2012、2015 和2016年4年的Δrt/Δit的值為正，這與理論不符，出現(xiàn)這種現(xiàn)象可能與2012年開始我國進入了利率市場化改革的加速階段，2013年壽險費率市場化正式開始，以及放開保險資金的投資范圍等原因有關(guān)。 Δrt/Δit的絕對值從2013年開始逐漸減小，說明壽險公司正在通過不斷開發(fā)新型壽險產(chǎn)品以及拓寬投資渠道等方法積極應(yīng)對利率市場化給壽險公司帶來的影響，這也進一步說明在利率隨機波動的情況下如何計提責(zé)任準備金對壽險公司的風(fēng)險管理具有重要意義。

五、CIR 模型及其參數(shù)估計

（一）CIR 模型簡介

Cox-Ingersoll-Ross 模型（簡稱CIR 模型）是Cox、Ingersoll 和Ross 在20世紀80年代中期提出的一個廣義均衡單因子模型。 CIR 模型將利率的期限結(jié)構(gòu)看作一種隨機過程，假設(shè)瞬時利率符合平方根過程，利率的變動服從非中心卡方分布，在這種條件下，得出利率的隨機微分方程為：

其中，rt代表t 時刻的利率，k、μ 和σ 均為常數(shù)。 k 是一個正值，表示利率回復(fù)到長期均值的速度，k 越大說明利率的調(diào)整速度越快。μ 表示利率的長期均值，rt圍繞著長期均值μ 上下波動，當(dāng)μ＜rt時，方程的飄移項為負，利率有下行趨勢；當(dāng)μ=rt時，方程的飄移項為0，利率保持不變；當(dāng)μ＞rt時，方程的飄移項為正，利率有上行趨勢。 σ表示利率的波動率。 Wt表示布朗運動。

由于CIR 模型是一個連續(xù)時間模型，所以要對模型進行離散化以估計模型的參數(shù)。 本文采用的是Chan（1992）等人所使用的離散化模型，離散過程推導(dǎo)如下：

模型（4）即為需要估計參數(shù)的模型，α、β 和σ 為待估計參數(shù)。

（二）數(shù)據(jù)選擇與處理

在隨機利率模型中，滿足隨機微分方程的是瞬時利率rt，但是在現(xiàn)實的金融市場中不存在瞬時利率rt，所以也就無法直接得到估計隨機利率模型參數(shù)的數(shù)據(jù)。 學(xué)者們在估計隨機利率模型時，一般采用短期利率作為瞬時利率的近似替代以估計模型的參數(shù)，使用最多的數(shù)據(jù)是銀行同業(yè)回購利率與銀行同業(yè)拆借利率。 時光和高珂（2012），項衛(wèi)星和李宏瑾（2014）對我國貨幣市場和上海銀行同業(yè)拆借利率（Shibor）的實證分析表明，Shibor 在市場代表性、穩(wěn)定性和基準性方面有著良好的表現(xiàn)，所以本文采用Shibor 利率作為估計CIR 模型參數(shù)的數(shù)據(jù)。

本文選用Shibor 中1 周的拆放利率（1W）來替代瞬時利率rt作為估計利率模型參數(shù)的樣本數(shù)據(jù)，樣本數(shù)據(jù)的時間跨度為2014年1月2日至2018年12月29日，共1248 個觀測值，數(shù)據(jù)來源于上海銀行同業(yè)拆借利率官網(wǎng)②。 由于所選取的Shibor 利率是一個單利利率，所以需要將其轉(zhuǎn)換為連續(xù)的復(fù)利數(shù)據(jù)，轉(zhuǎn)換公式為：

其中，r（t，T）為連續(xù)復(fù)利利率，R（t，T）為所選取的樣本中的單利數(shù)據(jù)，T-t 為利率的期限，本文中T-t=7/365。

（三）CIR 模型的參數(shù)估計

本文估計單因子CIR 模型參數(shù)的方法是馬爾科夫鏈蒙特卡洛法（MCMC），由于無法對單因子CIR 模型求解微分方程，所以本文對待估參數(shù)設(shè)置了先驗分布為：α～N（0，0.01），β～N（0，0.01），τ～Gamma（2.5，0.025），其中，τ=1/σ2。

本文使用MCMC 方法對CIR 模型進行參數(shù)估計時所使用的軟件為OpenBUGS。由于待估參數(shù)的分布是預(yù)先設(shè)定的，在使用OpenBUGS 估計參數(shù)時還需剔除前面一定次數(shù)的結(jié)果以克服初始值的設(shè)定對參數(shù)估計結(jié)果的影響，即進行“退火”處理。 “退火”處理后的參數(shù)估計結(jié)果見表5。 為了檢驗估計參數(shù)的收斂性，圖1和圖2給出了模型的核密度圖以及迭代軌跡圖。

表5 CIR 模型參數(shù)估計結(jié)果

圖1 估計參數(shù)的核密度圖

圖2 估計參數(shù)的迭代軌跡圖

從表5的參數(shù)估計結(jié)果中可以看出，α=0.06294，β=-0.0231，0.1153，三個參數(shù)的標準差、MC 誤差的值較小，說明參數(shù)估計的結(jié)果較為集中。 從圖1及圖2可以看出，參數(shù)估計的核密度曲線較為光滑，迭代軌跡的變動較為穩(wěn)定，可以認為參數(shù)估計的結(jié)果是收斂的。 由此可得估計出的CIR 模型為：

六、隨機利率下的半連續(xù)型壽險責(zé)任準備金計算

本部分將給出一個具體實例對固定利率下和隨機利率下的半連續(xù)壽險責(zé)任準備金進行模擬仿真計算，并對兩種方法計算出的責(zé)任準備金的數(shù)額進行比較分析。

（一）實例假設(shè)

本部分對模型中所需參數(shù)做出合理假定，具體假設(shè)條件如表6所示。

表6 相關(guān)參數(shù)假設(shè)

（二）固定利率下的壽險責(zé)任準備金計算

結(jié)合公式（1）與精算中的換算函數(shù)，在假設(shè)實例中，可以得到固定利率下的壽險責(zé)任準備金的簡約公式：

其中，s 為保單年度，M、N、D 為分別為轉(zhuǎn)換函數(shù)，D 表示對某年齡存活者單位給付的精算現(xiàn)值；N 表示從某年齡到生命表最大年齡上對函數(shù)D 的總和；C 表示對某年齡死亡者單位給付的精算現(xiàn)值；N 表示從某年齡到生命表最大年齡上對函數(shù)C 的總和。根據(jù)以上公式，可以計算得出不同保單年度下的壽險責(zé)任準備金，計算結(jié)果見表7。

表7 分年度準備金

（三）隨機利率下的壽險責(zé)任準備金計算

結(jié)合公式（1），可以推導(dǎo)出隨機利率下的壽險責(zé)任準備金的計算公式，推導(dǎo)過程如下：

其中，rt表示t 時刻的利率，其變動服從CIR 利率模型，迭代公式為公式（9），vt=（1+rt）-1，表示t 時刻的貼現(xiàn)因子。

利用蒙特卡洛方法，結(jié)合CIR 模型，計算第30年年末的責(zé)任準備金，使用的計量軟件為MATLAB，具體的計算步驟如下：

第一步，使用MATLAB 中的randn（）函數(shù)生成10000 個dW_t 序列，t=1，2，3，…，n，dWt服從標準維納過程；

第二步，將生成的dWt序列代入公式（7）中，生成10000 條利率路徑rt，t=1，2，3，…，n；

第三步，將生成的利率路徑rt代入公式（8）中，生成10000 個責(zé)任準備金的模擬值；

第四步，根據(jù)生成的模擬值得出準備金的經(jīng)驗分布函數(shù)以及相關(guān)統(tǒng)計數(shù)據(jù)。

圖3給出了按照以上步驟模擬出的利率路徑圖以及準備金的數(shù)值分布圖。

從圖3中可以看出，準備金的數(shù)值十分接近于正態(tài)分布，當(dāng)計算的次數(shù)足夠多的時候，準備金的分布將不會產(chǎn)生較大的波動，圖3中出現(xiàn)頻次最多的數(shù)值接近于7950元。 為了更加清楚地了解準備金的取值情況，本文還計算了相關(guān)的統(tǒng)計量，具體計算結(jié)果見表8。

圖3 準備金數(shù)值分布

表8 相關(guān)統(tǒng)計量

由表8可知，隨機利率下計算出的責(zé)任準備金的最大值為8186 元，最小值為7788 元，最小值比固定利率下計算出的責(zé)任準備金多了1622 元，這說明固定利率下的責(zé)任準備金很可能存在著被低估的可能性。 偏度為0.394389＞0，峰度為3.089999，十分接近于3，可以看出準備金的數(shù)值在分布上十分接近于正態(tài)分布，這一點在圖3中也得到了驗證，也進一步說明了定價的合理性。 標準差約為58.4，說明組內(nèi)數(shù)據(jù)間的離散程度較小，模擬出的數(shù)值變化較為穩(wěn)定，因此本文建議可以采用均值或者中位數(shù)作為責(zé)任準備金的定價依據(jù)。

七、結(jié)論

在利率市場化背景下，壽險公司面臨著巨大的利率風(fēng)險，同時，壽險責(zé)任準備金是壽險公司一個重要的負債項，準備金的合理計提對壽險公司的穩(wěn)定經(jīng)營十分重要，傳統(tǒng)的固定利率下的準備金計提的方式顯然不能幫助保險公司應(yīng)對日益嚴峻的利率風(fēng)險。

本文通過我國壽險業(yè)近些年的實際數(shù)據(jù)分析了利率變動對準備金的影響，發(fā)現(xiàn)壽險公司正在通過不斷開發(fā)新型壽險產(chǎn)品以及拓寬投資渠道等方法積極應(yīng)對利率市場化給壽險公司帶來的影響。 在利率隨機波動的情況下計提責(zé)任準備金對壽險公司的風(fēng)險管理具有重要意義，為了解決這一問題，本文在傳統(tǒng)的壽險精算的基礎(chǔ)上，引入CIR 模型，將利率隨機化，使用MCMC 方法得出CIR 模型的合理參數(shù)，并給出隨機利率下半連續(xù)型壽險準備金的定價公式。 隨后給出一個實例，采用蒙特卡洛模擬法對準備金進行數(shù)值模擬。 結(jié)果表明，使用隨機利率方法計算出的準備金的數(shù)值分布十分接近于正態(tài)分布，且數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性較高，這說明文中的定價方式具有一定的合理性。 同時，結(jié)合模擬數(shù)值的相關(guān)統(tǒng)計量，進一步提出了可以采用均值或者中位數(shù)作為責(zé)任準備金的定價依據(jù)的建議，旨在為壽險公司準備金的提取以及監(jiān)管部門對保險公司準備金的評估提供新的思路和方法。

注釋：

①http：//olap.epsnet.com.cn/。

②http：//www.shibor.org/。