解三角形問題的三部曲

■河南省鄭州市四中 李 亞

三角形是由三條邊和三個(gè)角構(gòu)成,反映三條邊和三角關(guān)系的有正弦定理和余弦定理,因此,解三角形問題通常要完成下面三部曲：一找、二選、三轉(zhuǎn)化。

一找：就是通過對已知條件和所求問題的觀察,找出它們之間的差異,為解決問題指明入手的方向；

二選：就是根據(jù)已知條件和所求問題之間的差異,優(yōu)先選準(zhǔn)正弦定理或余弦定理,哪個(gè)先用與后用或者不用的問題,避免解題過程中走彎路；

三轉(zhuǎn)化：就是將已知條件按照“邊化角”或者“角化邊”的方向轉(zhuǎn)化,從而達(dá)到解決問題的目的。

下面以2019年高考試題為例,幫助同學(xué)們提高分析和解決三角形問題的能力。

例1(全國卷Ⅰ卷理科第17 題)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,設(shè)(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC。

(1)求A的值；

分析：已知條件是角的關(guān)系式,第一問是求角,直接轉(zhuǎn)化有困難,不妨按照常規(guī)思路,先用正弦定理進(jìn)行“角化邊”,之后再用余弦定理。第二問,增加了邊的關(guān)系式,自然會想到“邊化角”。

解：(1)由已知條件及正弦定理,得(bc)2=a2-bc,整理得b2+c2-a2=bc。

因?yàn)锳為三角形內(nèi)角,所以A=。

點(diǎn)評：已知條件和第一問雖然都只涉及角,但僅靠變形走捷徑就會思維受阻。對第二問,參考答案先利用正弦定理得到,然后求出最后利用角的變形以及兩角和的正弦公式獲得了結(jié)果,這樣解題技巧性較強(qiáng)。事實(shí)上,不少同學(xué)往往會得到cosC,接下來自然想到取平方后,用方程求解,但仍需要注意的取舍。

例2(全國卷Ⅰ卷文科第11 題)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知asinA-bsinB=4csinC,cosA==( )。

A.6 B.5 C.4 D.3

分析：已知條件給出了邊和角的關(guān)系式,根據(jù)所求問題,先要用正弦定理進(jìn)行“角化邊”,最后再利用已知條件和余弦定理求解。

解：由已知條件及正弦定理,得a2-b2=4c2,則a2=b2+4c2。又由已知條件及余弦定理,得cosA=

點(diǎn)評：如果對已知條件進(jìn)行“邊化角”,那么就會得到sin2A-sin2B=4sin2C,接下來容易迷失解題方向。

例3(全國卷Ⅱ卷理科第15 題)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若b=6,a=2c,B=,則△ABC的面積為_____。

分析：已知條件給出了一邊、一角以及另兩邊之間的等量關(guān)系,需要用余弦定理求出另兩邊,最后再用邊和角的面積公式求解。

解：由已知條件和余弦定理,得：

例4(全國卷Ⅱ卷文科第15 題)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知bsinA+acosB=0,則B=____。

分析：已知條件是邊和角的關(guān)系式,題目要求角,自然要用正弦定理進(jìn)行“邊化角”。

解：由已知條件及正弦定理,得sinBsinA+sinAcosB=0。因?yàn)閟inA≠0,所以sinB+cosB=0。又由已知條件易知cosB≠0,所以tanB=-1,B=

點(diǎn)評：如果由sinB+cosB=0 得,,那么由B=-B,同樣可以求解。

例5(2019 年高考全國Ⅲ卷理科第18題)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知=bsinA。

(1)求B的值；

(2)若△ABC為銳角三角形,且c=1,求△ABC面積的取值范圍。

分析：已知條件是邊角關(guān)系式,第一問是求角,需要用正弦定理進(jìn)行“邊化角”。第二問給出了一條邊,結(jié)合(1),可用邊和角的面積公式,將問題轉(zhuǎn)化為求某條邊的取值范圍。

解：(1)因?yàn)?所以由已知條件得

于是由正弦定理,得asinB=bsinA。

(2)根據(jù)已知條件并結(jié)合(1),則由面積公式,得：

由正弦定理及正弦函數(shù)的單調(diào)性,得：

點(diǎn)評：對第二問,參考答案是利用正弦定理及三角公式,先得到,然后由角C的范圍得到邊a的范圍,最后再進(jìn)行求解,過程要復(fù)雜一些。此解利用正弦函數(shù)的單調(diào)性,直接得到邊a的范圍卻要簡便很多。

例6(北京卷理科第15題)在△ABC中,a=3,b-c=2,

(1)求b,c的值；

(2)求sin(B-C)的值。

分析：已知條件給出了一條邊和另兩條邊差的值以及角B的余弦值,由此可知利用余弦定理可解第一問。對于第二問,根據(jù)兩角差的正弦公式,必須求出角C的正弦值和余弦值,這又要用到余弦定理。

解：(1)由已知條件及余弦定理,得：

整理得c=5,由此得b=7。

點(diǎn)評：此題將sin (B-C)變?yōu)閟in (B+C),即為文科試題,雖然只是一個(gè)符號的改變,但求解卻容易多了。由sin (B+C)=sinA及即可求解。

例7(浙江卷第14 題)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,點(diǎn)D在線段AC上,若∠BDC=45°,則BD=_____,cos ∠ABD=_____。

分析：依題意可求AC,由此可求sin ∠BCD,從而在△BCD中,由正弦定理可 求BD。又 因 為∠ABD+∠DBC=∠ABC=90°,所 以 cos∠ABD=sin ∠DBC,用三角公式可解。

解：由已知條件易知,AC=5。

點(diǎn)評：如果在△ABD中,用余弦定理求解cos ∠ABD,需要先求出AD,因AD=5-DC,則需要求出DC,又要用到正弦定理,這樣做比較麻煩,而通過角的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化,則十分簡便。