微積分易錯題歸類剖析

■河南省太康縣第一高級中學

本文通過對幾個易錯題型的分析,強調(diào)說明在利用微積分基本定理求定積分的問題上應注意的事項,以及運用牛頓—萊布尼茨公式和做變換時應注意哪些問題。

在一元函數(shù)的微積分學中,微積分基本定理是一個非常重要的定理,一般地,如果f(x)是區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù),并且F(a)這個結(jié)論叫作微積分基本定理,又叫作牛頓—萊布尼茨公式。它的主要意義在于描述了定積分與原函數(shù)即不定積分之間的聯(lián)系,給出了計算定積分的一種統(tǒng)一的、簡便的方法,極大地簡化了定積分的計算過程。

微積分基本定理指出了求連續(xù)函數(shù)定積分的一般方法,把定積分的問題,轉(zhuǎn)化成求原函數(shù)的問題,是微分學與積分學之間聯(lián)系的橋梁,揭示了導數(shù)和定積分的內(nèi)在聯(lián)系,同時也提供計算定積分的一種有效方法。

教材中微積分的課時少,同學們學習時如果對其重視不夠,對微積分基本定理及其運用的理解不夠透徹,對微積分定理的應用不夠熟練,對公式的記憶不準確、不熟練,就會導致在解題中出現(xiàn)一些錯誤。下面通過具體例題,對微積分中的易錯題型作些分析。

易錯題型一：忽視公式成立的條件

例1 求

錯解：

錯因分析：本題解法的錯因是忽略了牛頓—萊布尼茨公式成立的條件,因為在區(qū)間[- 1,1]上,函數(shù)在點x=0處沒有定義,不滿足可積條件,因此不能使用牛頓—萊布尼茨公式。

正解：

例2 求

錯解：因為為奇函數(shù),積分區(qū)間(-∞,+∞)是關(guān)于原點對稱的區(qū)間,所以

錯因分析：這里的積分區(qū)間(-∞,+∞)是關(guān)于原點對稱的區(qū)間,積分區(qū)間是無窮區(qū)間,它的性質(zhì)與定積分不同,做法不能按照微積分基本定理和定積分的性質(zhì)來進行做題。

正解：,因 為,所以是發(fā)散的。

點評：很多學生把公式、法則都記住了,錯題集也看了,但是往往做題時還是會出錯,且不知道自己錯在哪了,為什么錯,所以僅僅死記公式、法則是不行的,錯解中忽略了公式、法則的意義和成立的條件。

易錯題型二：忽視被積函數(shù)的化簡

例3 求

錯解：

錯因分析：其一是絕對值在沒有去掉的前提下就開始求解,其二是三角函數(shù)的導數(shù)公式記得不準確;使用微積分基本定理需要注意:(1)對于含有絕對值符號的被積函數(shù),要根據(jù)定義域先去掉絕對值再求積分;(2)對被積函數(shù)要先化簡,再求積分;(3)當被積函數(shù)是分段函數(shù)時,利用定積分的性質(zhì)先分段,轉(zhuǎn)化為各區(qū)間上定積分的和。

正解：

易錯題型三：對于原函數(shù)的理解不清晰

例4 定義在R上的函數(shù)f(x)過點(0,2),且f'(x)=4x,求

錯解：因為f'(x)=4x,所以f(x)=2x2,所以

錯因分析：對原函數(shù)的理解不透徹,誤認為f(x)=2x2,在運用微積分基本定理求解定積分時經(jīng)常會把原函數(shù)的常數(shù)項忽略掉,從而錯誤地認為一個函數(shù)的原函數(shù)只有一個,實際上,一個函數(shù)的原函數(shù)有無數(shù)多個。

正解：因為f'(x)=4x,所以f(x)=2x2+c。

因為函數(shù)f(x)過點(0,2),則f(0)=2·02+c=2,c=2,所以f(x)=2x2+2。

易錯題型四：利用微積分計算含有參數(shù)的定積分問題時易混淆概念

例5 已知,求函數(shù)F(a)的最小值。

錯解

錯因分析：積分變量與被積函數(shù)f(x)、積分上限與積分下限、積分區(qū)間與函數(shù)F(x)這些概念混淆一起,弄不清楚誰是被積函數(shù),誰是積分變量。

正解：

所以F(a)min=1。

點評：含有參數(shù)的定積分問題應注意以下兩點：(1)含有參數(shù)的定積分可以與方程、函數(shù)或不等式綜合起來考查,利用微積分基本定理計算定積分是解決此類問題的前提;(2)計算含有參數(shù)的定積分,必須分清積分變量與被積函數(shù)f(x)、積分上限與積分下限、積分區(qū)間與函數(shù)F(x)等概念。

跟蹤練習：

1.若f(x)在R上可導,f(x)=x2+2f'(2)x+3,求

答案：1.-1 8