函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題的錯(cuò)解歸類剖析

■河南省太康縣第一高級(jí)中學(xué)

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中最重要最核心的內(nèi)容之一,此部分內(nèi)容特別豐富,而且知識(shí)點(diǎn)眾多,但是由于函數(shù)的概念比較抽象,學(xué)習(xí)起來(lái)讓人十分頭疼。下面就函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題的解決方法和思路與大家分享探究。

要想解決函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題,首先,熟知函數(shù)零點(diǎn)的定義,其次,掌握求函數(shù)零點(diǎn)的常用方法:①解方程法;②零點(diǎn)存在性定理;③數(shù)形結(jié)合法。

例1 若函數(shù)y=a x2-2x+1只有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

錯(cuò)解：由題意可得,實(shí)數(shù)a滿足的條件為Δ=4-4a=0,所以a=1。

錯(cuò)因分析：忽略了對(duì)x2的系數(shù)a進(jìn)行分類討論,單從表象而誤認(rèn)為已知函數(shù)為二次函數(shù)。

正解：(1)當(dāng)a=0時(shí),y=-2x+1,易知該函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn);

(2)當(dāng)a≠0時(shí),由題意可得,Δ=4-4a=0,解得a=1。

綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|a=0或a=1}。

例2 已知函數(shù)f(x)=3m x-4,若在[-2,0]上存在x0,使得f(x0)=0,求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

錯(cuò)解：因?yàn)樵赱-2,0]上存在x0,使得f(x0)=0,則f(-2)·f(0)＜0,所以(-6m-4)·(-4)＜0,解得。故實(shí)數(shù)m的取值范圍為

錯(cuò)因分析：錯(cuò)解中只考慮到在(-2,0)內(nèi)部存在x0,使得f(x0)=0,而忽略了所給區(qū)間是閉區(qū)間,x0也可存在于區(qū)間的端點(diǎn)處,即f(-2)·f(0)≤0。

正解：依題意,由f(-2)·f(0)≤0,解得所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為

例3 若函數(shù)f(x)=x2-2a x+2在(0,4)上至少有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

錯(cuò)解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x2-2a x+2在(0,4)上至少有一個(gè)零點(diǎn),所以f(0)·f(4)＜0,即2(1 8-8a)＜0,解得所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為

錯(cuò)因分析：錯(cuò)解是因?yàn)閷?duì)至少有一個(gè)零點(diǎn)理解不透徹所致,至少有一個(gè)零點(diǎn)即有一個(gè)零點(diǎn)或兩個(gè)零點(diǎn),結(jié)合二次函數(shù)的對(duì)稱軸及判別式即可求解。也可分離參數(shù)2a=x+,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)x＜4)的值域。

正解1：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x2-2a x+2在(0,4)上至少有一個(gè)零點(diǎn),又f(0)=2＞0,所以f(4)＜0或解得或,即所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為

正解2：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x2-2a x+2在(0,4)上至少有一個(gè)零點(diǎn),等價(jià)于方程至少有一個(gè)根,令y=,根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的圖像與性質(zhì),知y≥2 2,當(dāng)且僅當(dāng)x=2∈(0,4)時(shí),取等號(hào),所以2a≥2 2,即a≥ 2。故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[2,+∞)。

例4 已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x2-3x,則函數(shù)g(x)=f(x)-x+3的零點(diǎn)的集合為( )。

錯(cuò)解：因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=f(x)-x+3的零點(diǎn)為方程f(x)=x-3的解,所以當(dāng)x≥0時(shí),x2-3x=x-3,解得x1=1,x2=3;又f(x)是定義在R上的奇函數(shù),所以當(dāng)x＜0時(shí),對(duì)應(yīng)的零點(diǎn)為-1,-3。故選B。

錯(cuò)因分析：錯(cuò)解中把f(x)是定義在R上的奇函數(shù)這一性質(zhì)用到g(x)上了,說(shuō)明審題不到位。

正解1：設(shè)x＜0,則-x＞0,所以f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-3(-x)]=-x2-3x。求函數(shù)g(x)=f(x)-x+3的零點(diǎn)等價(jià)于求方程f(x)=x-3的解。

當(dāng)x≥0時(shí),x2-3x=x-3,解得x1=1,x2=3;當(dāng)x＜0時(shí),-x2-3x=x-3,解得故選D。

正解2：數(shù)形結(jié)合,如圖1,由圖知點(diǎn)A的橫坐標(biāo)xA＜-3,只有選項(xiàng)D中-2,易知選項(xiàng)D正確。在高考中,數(shù)形結(jié)合及特殊值代入更顯簡(jiǎn)單快捷。

圖1

知識(shí)點(diǎn)撥：

(1)判斷函數(shù)在某區(qū)間(a,b)上是否有零點(diǎn)。

①判斷函數(shù)在某區(qū)間(a,b)上是否有零點(diǎn),關(guān)鍵有兩點(diǎn):一是曲線是否是連續(xù)不斷的;二是f(a)與f(b)是否異號(hào)。

②當(dāng)函數(shù)y=f(x)的圖像在閉區(qū)間[a,b]上不是連續(xù)曲線或不滿足f(a)·f(b)＜0時(shí),函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可能存在零點(diǎn),也可能不存在零點(diǎn)。

③當(dāng)f(a)·f(b)＜0時(shí),f(x)在(a,b)上一定有零點(diǎn),反之不一定成立。當(dāng)f(a)·f(b)＞0時(shí),f(x)在(a,b)上不一定沒(méi)有零點(diǎn)。(請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真思考)

(2)判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的常用方法。

①解方程f(x)=0,則方程f(x)=0的解的個(gè)數(shù)就是函數(shù)f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

②數(shù)形結(jié)合,直接作出函數(shù)f(x)的圖像,圖像與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

③化函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題為方程g(x)=h(x)的解的個(gè)數(shù)問(wèn)題,在同一坐標(biāo)系下作出函數(shù)y=g(x)和y=h(x)的圖像,利用圖像交點(diǎn)判定方程根的個(gè)數(shù)。

④若證明一個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)唯一,首先證明函數(shù)在所給區(qū)間上單調(diào),再由零點(diǎn)存在性定理判斷函數(shù)有零點(diǎn)。

跟蹤訓(xùn)練：

1.已知函數(shù)f(x)=2a x-a+3,若?x0∈(-1,1),有f(x0)=0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )。

解析：當(dāng)a=0時(shí),顯然不成立;當(dāng)a≠0時(shí),依題意知f(-1)·f(1)＜0,即(-3a+3)·(a+3)＜0,解得a＜-3或a＞1。故選A。

解析：因?yàn)樗匀魓≠3,由,解得或;若x=3,則a-4=0,即a=4。所以當(dāng)a=4時(shí)滿足函數(shù)y=f(x)-4有三個(gè)零點(diǎn)。故選D。

3.已知函數(shù)f(x)=x(lnx-a x)有兩個(gè)極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )。

解析：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),已知函數(shù)f(x)=有兩個(gè)極值點(diǎn),等價(jià)于lnx+1-2a x=0在(0,+∞)上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,等價(jià)于函數(shù)h(x)=lnx的圖像與函數(shù)g(x)=2a x-1的圖像在(0,+∞)上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。設(shè)函數(shù)h(x)=lnx與函數(shù)g(x)=2a x-1的圖像相切于點(diǎn)A(m,lnm),其中m＞0,函數(shù)g(x)的圖像在點(diǎn)A處的切線的斜率為k1=2a,函數(shù)h(x)的圖像在點(diǎn)A處的切線的斜率為,所以。又直線g(x)=2a x-1過(guò)點(diǎn)(0,-1),所以k=,所以,解得m=1。所以當(dāng)函數(shù)h(x)與g(x)的圖像相切時(shí)故所求a的取值范圍為故選B。

4.已知函數(shù)f(x)=|x2+3x|,x∈R。若方程f(x)-a|x-1|=0恰有四個(gè)互異的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解析：令g(x)=a|x-1|,則方程f(x)-a|x-1|=0恰有四個(gè)互異的實(shí)數(shù)根等價(jià)于f(x)與g(x)的圖像有四個(gè)不同的交點(diǎn),故a＞0。分以下三種情況:

②三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于1,一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于1。則直線y=a(1-x)與曲線y=-x2-3x(-3＜x＜0)相切,且直線y=a(x-1)與曲線y=x2+3x(x＞1)也相切,解得a=1且a=9,顯然不可能。

綜上所述,所求a的取值范圍為(0,1)∪(9,+∞)。

總之,新課標(biāo)下的高考越來(lái)越注重對(duì)學(xué)生的綜合素質(zhì)的考查,函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題便是一個(gè)考查學(xué)生綜合素質(zhì)的很好途徑,它主要涉及基本初等函數(shù)的圖像,滲透著轉(zhuǎn)化、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法,在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用。近幾年的數(shù)學(xué)高考中頻頻出現(xiàn)函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題,既有小題又有大題,其形式也越來(lái)越多樣化,但與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)知識(shí)密不可分。