微積分創(chuàng)新題例析

■河南省太康縣第一高級(jí)中學(xué)

本專(zhuān)題在近五年的全國(guó)卷中未考查,但卻是自主命題地區(qū)的命題熱點(diǎn),?？疾槎ǚe分的求解及定積分的應(yīng)用,多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),屬于中低檔題,其試題難度相對(duì)較小,重點(diǎn)考查定積分的幾何意義、基本性質(zhì)和微積分基本定理。

類(lèi)型一、利用微積分基本定理求定積分

例1

考點(diǎn)：定積分的應(yīng)用。

解析：由題意得故選A。

點(diǎn)評(píng)：一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是唯一的,而其原函數(shù)則有無(wú)窮多個(gè),這些原函數(shù)之間都相差一個(gè)常數(shù),在利用微積分基本定理求定積分時(shí),只要找到被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)即可,并且一般使用不含常數(shù)的原函數(shù),這樣有利于計(jì)算,微積分基本定理也是求定積分最基本的方法。

類(lèi)型二、巧選積分變量求定積分

例2求拋物線y2=2x與直線y=x-4圍成的平面圖形的面積。

圖1

解析：如圖1,解方程組得直線與拋物線的交點(diǎn)為(2,-2),(8,4)。

方法一:選取橫坐標(biāo)x為積分變量,則圖中陰影部分的面積應(yīng)該是兩部分之和,即S

方法二:選取縱坐標(biāo)y為積分變量,則圖中陰影部分的面積可按公式求得,即S

點(diǎn)評(píng)：從上述兩種解法可以看出,對(duì)y積分比對(duì)x積分計(jì)算要簡(jiǎn)捷。因此,應(yīng)用定積分求平面圖形面積時(shí),積分變量的選取是至關(guān)重要的。但同時(shí)也要注意對(duì)y積分時(shí),積分函數(shù)應(yīng)是x=φ(y),本題需將條件中的曲線方程、直線方程化為和x=y+4的形式,然后求得積分。另外還要注意的是對(duì)面積而言,不管選用哪種積分變量去積分,面積是不會(huì)變的,即定積分的值不會(huì)改變。

類(lèi)型三、巧用對(duì)稱(chēng)性求定積分

例3 求由三條曲線y=x2,4y=x2,y=1所圍圖形的面積。

圖2

解析：如圖2,因?yàn)閥=x2,4y=x2是偶函數(shù),根據(jù)對(duì)稱(chēng)性,只算出y軸右邊的圖形的面積再兩倍即可。

方法一:選擇x為積分變量,則S=2·

方法二:可以選擇y為積分變量,則

點(diǎn)評(píng)：利用函數(shù)的奇偶性及所對(duì)應(yīng)曲線的對(duì)稱(chēng)性解題,也是簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程的常用手段,對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用和積分變量的選取都影響著計(jì)算過(guò)程的繁簡(jiǎn)程度。

類(lèi)型四、分割計(jì)算求定積分

例4 求由拋物線y=-x2+4x-3及其在點(diǎn)M(0,-3)和N(3,0)處的兩條切線所圍成的圖形的面積。

解析：由y=-x2+4x-3,得y'=-2x+4,所以y'|x=0=4,過(guò)M點(diǎn)的切線方程為y=4x-3;y'|x=3=-2,過(guò)N點(diǎn)的切線方程為y=-2x+6。

又可求得兩切線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=,故所求面積

點(diǎn)評(píng)：本題求圖形的面積,適當(dāng)?shù)姆指钍顷P(guān)鍵,求出兩切線交點(diǎn),過(guò)交點(diǎn)作x軸垂線,將圖形分割成兩部分,分別用定積分求解。同學(xué)們應(yīng)注意掌握這種分割的處理方法。

跟蹤訓(xùn)練：

解析：因?yàn)?所以,所以a=1。

2.在同一坐標(biāo)系中作出曲線x y=1、直線y=x及直線y=3的圖像,如圖3所示,則曲線x y=1與直線y=x和y=3所圍成的平面圖形的面積為_(kāi)___。

圖3

解法一：選取橫坐標(biāo)x為積分變量,則圖中陰影部分的面積應(yīng)該是兩部分之和,即所求區(qū)域面積

解法二：選取縱坐標(biāo)y為積分變量,則圖中陰影部分的面積可按公式求得,即所求區(qū)域面積

解析：根據(jù)題意,設(shè)函數(shù)f(x)=,則f(-x)=),故函數(shù)f(x)為奇函數(shù),g(x)為偶函數(shù),則有的幾何意義為圓x2+y2=4的上半部分與x=±1、x軸所圍成區(qū)域的面積,易得

解析：故選D。

解析：令