基于Copula函數(shù)的日含沙量隨機模擬

張繼鵬，彭 楊，時玉龍，趙曉東，丁夢霞

(1.華北電力大學 可再生能源學院，北京 102206；2.華北水利水電大學 水利學院，鄭州 450045)

0 引 言

含沙量是一個主要的河流特征變量，綜合反映河流的徑流與輸沙特性。含沙量變化直接影響水庫泥沙淤積、河道沖淤、水質(zhì)及水生環(huán)境，因此含沙量隨機模擬對流域水沙調(diào)控、水質(zhì)與水環(huán)境管理等方面具有重要意義。

自回歸模型和解集模型是目前常用的水文隨機模型[1,2]，但這兩類模型的共同點是采用線性函數(shù)關(guān)系描述水文現(xiàn)象[3]，難以反映水文時間序列復雜的非線性特征。近年來非線性、非參數(shù)隨機模型成為水文隨機模擬研究的熱點，提出了非線性自回歸模型[4,5]、人工神經(jīng)網(wǎng)絡模型[6,7]、基于核密度估計的非參數(shù)隨機模型[3,8]以及非參數(shù)解集模型[9,10]等，為水文非線性時間序列模擬提供了多種途徑。水文非線性時間序列模擬的核心問題是描述時間序列相鄰時段的非線性關(guān)系。Copula函數(shù)是一種描述變量相關(guān)關(guān)系的有效方法，由于其對變量的邊緣分布沒有限制，構(gòu)造聯(lián)合分布較為靈活，目前已廣泛應用于水文多變量分析中，如洪水頻率[11,12]、降雨頻率[13,14]、干旱特征分析[15,16]、洪水遭遇[17-19]等。相比較而言，Copula函數(shù)在水文隨機模擬的應用成果不多，且主要集中在降雨[20]、徑流[21,22]和洪水[23]等方面。迄今為止，還未見到Copula函數(shù)應用于日含沙量時間序列的隨機模擬。因此，本文將采用Copula函數(shù)來描述相鄰兩日含沙量之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)，在此基礎(chǔ)上建立了日含沙量隨機模擬模型，并將該模型應用于長江屏山水文站日含沙量過程的隨機模擬中。

1 基于Copula函數(shù)的日含沙量隨機模擬模型

1.1 Copula函數(shù)

Copula函數(shù)是定義域為[0,1]的多維聯(lián)合分布函數(shù)。依據(jù)Sklar定理[24]，一個二維聯(lián)合分布函數(shù)可以由兩個獨立的邊緣分布函數(shù)和一個Copula連接函數(shù)組成，即

F(x,y)=Cθ[FX(x),FY(y)]=Cθ(u,v)

(1)

式中：Cθ為Copula函數(shù)；θ為Copula函數(shù)的參數(shù)，u=FX(x)，v=FY(y)分別為隨機變量X和Y的邊緣分布。

Copula函數(shù)分為橢圓型、二次型和Archimedean型三大類，其中Archimedean Copula函數(shù)結(jié)構(gòu)相對簡單，計算方便，可以構(gòu)造出多種形式、適應性強的組合變量聯(lián)合分布函數(shù)，在水文領(lǐng)域中應用最多。常見的二維Archimedean Copula主要有[24,25]：

(1)Gumbel-Hougaard (GH)Copula函數(shù)。

(2)

(2)Clayton Copula函數(shù)。

C(u,v)=(u-θ+v-θ-1)-1/θ,θ∈(0,∞)

(3)

(3)Frank Copula函數(shù)。

(4)

(4)Ali-Mikhail-Haq (AMH)Copula函數(shù)。

(5)

1.2 相鄰兩日含沙量聯(lián)合分布

根據(jù)式(1)，相鄰兩日含沙量的聯(lián)合分布可表示為：

FS(st,st-1)=Cθt[Fst(st),FSt-1(st-1)]=Cθt(ut,ut-1)

(6)

式中：st-1和st分別為第t-1日和第t日的含沙量；FS(st,st-1)為st-1和st的聯(lián)合分布；ut-1=FSt-1(st-1)和ut=FSt(st)分別為st-1和st的邊緣分布；θt為第t日的Copula函數(shù)的參數(shù)，根據(jù)相關(guān)性指標法[25]，可利用其與Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ之間的關(guān)系求出；第t日的Kendall秩相關(guān)系數(shù)τt采用下式計算：

(7)

1.3 基于條件分布的隨機模擬模型

根據(jù)式(1)，第t日的含沙量st的條件分布可表示為：

(8)

式中：Gθt(ut,ut-1)為條件Copula函數(shù)。由此可得到基于Copula函數(shù)的日含沙量隨機模擬模型，即：

(9)

根據(jù)式(9)就可以實現(xiàn)對 的隨機模擬，具體步驟如下：

(1)采用正態(tài)分位數(shù)變換法對實測含沙量數(shù)據(jù)進行標準正態(tài)化；

2 實例應用

選取金沙江下游屏山站1955-2010年共56年的實測日含沙量資料作為建模的基本資料，采用所建模型對屏山站日含沙量進行隨機模擬。屏山站是金沙江干流出口控制站，流域控制面積458 592 km2，多年平均徑流量1 460 億m3，多年平均輸沙量2.39 億t，多年平均含沙量1.66 kg/m3。為簡化計算，模擬時每年2月份均取28 d。

2.1 日含沙量聯(lián)合分布建立

圖1 各日與的秩相關(guān)系數(shù)Fig.1 Daily rank correlation coefficients of

(10)

式中：Pei，Pi分別為經(jīng)驗聯(lián)合頻率和理論聯(lián)合頻率；i和n分別為樣本序號和樣本容量。

各日的OLS值與對應的最優(yōu)Copula函數(shù)分別如圖2和圖3所示。由圖2可見，在一年內(nèi)，OLS值的最大值為0.025 1，最小值為0.008 1，平均值為0.013 7，說明所選定的二維Copula聯(lián)合分布計算出的理論聯(lián)合分布概率與經(jīng)驗頻率擬合較好。圖4給出了屏山站日OLS值接近平均值時聯(lián)合分布的經(jīng)驗概率與理論概率的擬合情況，從圖4中可以看出，二者擬合情況較為理想。

2.2 日含沙量的模擬及檢驗

采用上述模型對屏山站日含沙量過程進行了長序列模擬，模擬了100組與實測樣本容量(56 a)相等的日含沙量序列，并對模擬結(jié)果進行檢驗。

圖2 各日OLS值Fig.2 Daily OLS values

圖3 各日最優(yōu)Copula函數(shù)Fig.3 Daily best-fit copula functions

圖4 經(jīng)驗與理論聯(lián)合概率對比Fig.4 Comparison of empirical and theoretical joint probabilities

圖5 屏山站模擬與實測序列各日統(tǒng)計參數(shù)Fig.5 Simulated and measured statistics of daily sediment concentrations in the Pingshan station

圖5給出了屏山站實測和模擬含沙量序列各日統(tǒng)計參數(shù)，即均值、標準差Sd、變差系數(shù)Cv、偏態(tài)系數(shù)Cs以及滯時為1的秩相關(guān)系數(shù)τ。表1統(tǒng)計了屏山站日含沙量模擬序列各日統(tǒng)計參數(shù)絕對誤差和相對誤差的平均值以及相對誤差≤10%的通過率。由圖5和表1可見，模擬序列各日的統(tǒng)計參數(shù)與實測序列吻合較好，各統(tǒng)計參數(shù)的通過率均在98%以上，最大平均相對誤差4.22%，其中均值和秩相關(guān)系數(shù)τ的通過率均達到100%，最大相對誤差分別為0.83%和0.49%。因此，基于二維Copula函數(shù)的屏山站日含沙量過程隨機模擬結(jié)果能夠反映實測日含沙量序列的統(tǒng)計特征，模擬精度也較高。

表1 各統(tǒng)計參數(shù)通過率及平均相對誤差Tab.1 Passing rate and average relative error of statistical parameters

2.3 與其他模型比較

為進一步說明本文所建模型的模擬效果，本文還將模擬結(jié)果與分期平穩(wěn)AR模型的模擬結(jié)果進行比較。表2給出這兩種模型的日含沙量模擬序列各統(tǒng)計參數(shù)與實測序列的相對均方根誤差RMSE[27,28]，其中RMSE采用下式計算：

(11)

式中：δo,j為實測序列第j日的統(tǒng)計參數(shù)；δs,j為模擬序列第j日的統(tǒng)計參數(shù)；m為總?cè)諗?shù)。式(11)表明，RMSE值越小，模擬序列與實測序列之間的擬合程度越好。

由表2可見，基于Copula函數(shù)的日含沙量模擬的均值和Cv值對應的RMSE值與分期平穩(wěn)AR模型的基本一致，但Sd、Cs和τ值對應的RMSE值明顯小于分期平穩(wěn)AR模型，表示基于Copula函數(shù)的日含沙量模擬序列在偏態(tài)性和非線性相關(guān)關(guān)系方面明顯優(yōu)于分期平穩(wěn)AR模型。因此，與分期平穩(wěn)AR模型相比，基于Copula函數(shù)的日含沙量模擬序列的擬合結(jié)果基本一致，但在偏態(tài)性和非線性相關(guān)關(guān)系方面具有明顯的優(yōu)勢。

表2 兩種模型統(tǒng)計參數(shù)RMSE值比較Tab.2 Comparison of RMSE values of statistical parameters in two models

3 結(jié) 論

本文考慮相鄰兩日含沙量之間的相關(guān)性，建立了基于Copula函數(shù)的日含沙量隨機模擬模型。針對日含沙量模擬時段較多，日含沙量邊緣分布難以統(tǒng)一確定的特點，采用正態(tài)分位數(shù)變換對實測含沙量資料進行了標準正態(tài)化處理。將該模型應用到金沙江下游屏山站日含沙量隨機模擬，并將計算結(jié)果與分期平穩(wěn)AR模型計算結(jié)果進行比較，結(jié)果表明，本文所建模型能較好地保持實測日含沙量資料的統(tǒng)計特性，模擬精度較高，模擬序列的均值，標準差，變差系數(shù)，偏態(tài)系數(shù)以及秩相關(guān)系數(shù)τ的通過率均在98%以上，平均相對誤差最大不超過4.5%，且在偏態(tài)性和非線性相關(guān)關(guān)系方面優(yōu)于分期平穩(wěn)AR模型，說明本文所建模型可用于隨機模擬長序列日含沙量過程，并能為其他水文資料的長序列模擬方法提供參考。