改進(jìn)FBM湍流模型在離心泵空化流計(jì)算中的應(yīng)用

王 勇，蔣玲林，金 雷，羅凱凱

(1.江蘇大學(xué)鎮(zhèn)江流體工程裝備技術(shù)研究院，江蘇 鎮(zhèn)江 212009；2.江蘇大學(xué)國(guó)家水泵及系統(tǒng)工程技術(shù)研究中心，江蘇 鎮(zhèn)江 212013；3.合肥恒大江海泵業(yè)股份有限公司，合肥 231131)

0 引 言

空化現(xiàn)象經(jīng)常發(fā)生在高速旋轉(zhuǎn)的水力機(jī)械中，如泵和螺旋槳等，不僅會(huì)導(dǎo)致水力機(jī)械性能和效率下降，還會(huì)產(chǎn)生振動(dòng)、噪聲和空蝕等一系列有害現(xiàn)象[1-4]。近年來，隨著計(jì)算流體力學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展，空化的數(shù)值計(jì)算已成為研究空化流動(dòng)現(xiàn)象的重要手段，受到越來越多的關(guān)注[5-9]。由于空化是一種包含汽、液相間質(zhì)量傳輸?shù)姆嵌ǔ？蓧嚎s多相湍流流動(dòng)現(xiàn)象，因此，湍流模型的選擇對(duì)數(shù)值模擬的結(jié)果有很大影響[10-12]。

目前用于工程中的湍流模擬方法有大渦模擬(Large Eddy Simulation,LES)和雷諾平均法(Reynolds-Averaged Navier-Stokes equations,RANS)[13-15]，在水力機(jī)械內(nèi)部空化流的數(shù)值模擬中，RANS方法處理湍流最為常見[16-19]。然而，Okabayashi[20]指出RANS方法普遍采用的兩方程湍流模型，最初都是基于單相非空化流場(chǎng)提出的，不能充分考慮空化流場(chǎng)中的大尺度非定常特性。Johansen等[21]提出了基于濾波修正的標(biāo)準(zhǔn)k-ε模型(filter-based model，F(xiàn)BM模型)，由于結(jié)合了RANS和LES的優(yōu)點(diǎn)，近年來已被應(yīng)用于水翼和離心泵空化繞流的數(shù)值預(yù)測(cè)，它不僅能顯著提高非空化條件下泵揚(yáng)程系數(shù)的預(yù)測(cè)精度，在很多工況下還能更好地捕捉到臨界空化數(shù)；為了更充分考慮因空化現(xiàn)象引起的流場(chǎng)密度的巨大變化，Coutier-Delgosha[22]提出了基于密度修正的方法(Density Correction Based Model ，DCM)來改進(jìn)標(biāo)準(zhǔn)的RNG k-ε模型?；诖?，本文以FBM模型為基礎(chǔ)，把DCM模型的密度修正思想引入其中，發(fā)展了一種基于密度修正的FBM模型。

通過二次開發(fā)技術(shù)把FBM模型(方案一)和改進(jìn)的FBM模型(方案二)分別添加到CFX中，在多個(gè)流量系數(shù)下對(duì)比轉(zhuǎn)數(shù)為95的離心泵進(jìn)行空化流的數(shù)值計(jì)算，并與試驗(yàn)所得到的空化性能曲線進(jìn)行對(duì)比。最后基于新發(fā)展的FBM模型在設(shè)計(jì)工況下的計(jì)算結(jié)果，對(duì)模型泵內(nèi)葉片間空泡體積分?jǐn)?shù)分布、葉輪流道總壓系數(shù)分布和葉片載荷分布進(jìn)行了分析。

1 數(shù)學(xué)模型和數(shù)值計(jì)算方法

1.1 控制方程

基于汽液兩相為均相流動(dòng)，組分之間無滑移，汽液兩相的連續(xù)性方程、動(dòng)量方程和汽/液兩相的體積分?jǐn)?shù)輸運(yùn)方程依次如下所示：

(1)

(2)

(3)

(4)

式中：t為時(shí)間，s；下標(biāo)i，j為坐標(biāo)方向；ui、uj為速度分量；ρm、ρv分別為混合介質(zhì)密度、汽相密度，kg/m3；μ、μt分別為混合介質(zhì)動(dòng)力黏度、湍流黏度，kg/(m·s)；p為混合介質(zhì)壓力，Pa；δij為克羅內(nèi)克數(shù)；αv為汽相體積分?jǐn)?shù)；αm為混合介質(zhì)體積分?jǐn)?shù)；Re、Rc為空化發(fā)生過程中汽相、液相之間的質(zhì)量傳輸率，kg/(m3·s)。

1.2 湍流模型

將Coutier-Delgosha提出的密度修正方法引入FBM湍流模型，該方法只對(duì)湍流黏度進(jìn)行修正，而原FBM湍流模型的k和ε方程的表達(dá)式和模型常數(shù)保持不變，修正后的湍流黏度為

(5)

(6)

(7)

其中C3=1。

1.3 空化模型

本文選用Kunz空化模型，該模型是Kunz等在Merkle工作基礎(chǔ)上提出的[24-26]。與其他輸運(yùn)方程類空化模型相比，該模型最大的特點(diǎn)在于采用兩種不同的方法推導(dǎo)得出質(zhì)量傳輸率的表達(dá)式。對(duì)于液相到汽相的傳輸，質(zhì)量傳輸率正比于汽化壓力和流場(chǎng)壓力之間的差值；而對(duì)于汽相到液相的傳輸，則是借用了Ginzburg-Landau勢(shì)函數(shù)的簡(jiǎn)化形式，質(zhì)量傳輸率基于汽相體積分?jǐn)?shù)的三次多項(xiàng)式。模型形式如下

(8)

(9)

式中：p為混合介質(zhì)壓力；ρl為液相密度；pv為飽和蒸氣壓；U∞為自由流速度；L為特征長(zhǎng)度；t∞=L/U∞為特征時(shí)間尺度；Cdest=9×105，Cprod=3×104。

2 計(jì)算模型及參數(shù)設(shè)置

2.1 研究對(duì)象

計(jì)算模型為一臺(tái)中比轉(zhuǎn)數(shù)單級(jí)單吸離心泵，其基本參數(shù)如下：設(shè)計(jì)流量Q=50 m3/h，揚(yáng)程H=31.4 m，轉(zhuǎn)速n=2 900 r/min，比轉(zhuǎn)數(shù)ns=95，葉輪進(jìn)口直徑D1=81 mm，葉輪外徑D2=168 mm，葉輪出口寬度b2=10 mm，葉片出口安放角β2=31°，蝸殼基圓直徑D3=180 mm，蝸殼進(jìn)口寬度b3=22 mm，扭曲葉片數(shù)z=5。用Pro/E5.0對(duì)計(jì)算區(qū)域進(jìn)行三維建模。計(jì)算區(qū)域由進(jìn)口延長(zhǎng)段、葉輪、蝸殼、出口延長(zhǎng)段4部分組成，增加進(jìn)、出口延長(zhǎng)段是為了減小較大的進(jìn)、出口速度梯度對(duì)計(jì)算結(jié)果精度的影響。

使用ICEM CFD軟件對(duì)該離心泵計(jì)算區(qū)域進(jìn)行六面體結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格劃分。為了保證數(shù)值模擬結(jié)果的準(zhǔn)確性，進(jìn)行網(wǎng)格無關(guān)性檢驗(yàn)，結(jié)果如表1所示。

表1 網(wǎng)格無關(guān)性分析Tab.1 Inspection of grid independence

結(jié)果表明：三組網(wǎng)格數(shù)雖然相差較大，但計(jì)算揚(yáng)程誤差在0.5%內(nèi)，故數(shù)值計(jì)算結(jié)果是可靠的。綜合考慮計(jì)算資源與計(jì)算的準(zhǔn)確性，選取網(wǎng)格單元總數(shù)為139.5萬的結(jié)構(gòu)網(wǎng)格進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。計(jì)算區(qū)域網(wǎng)格劃分如圖1所示。

圖1 計(jì)算區(qū)域網(wǎng)格劃分Fig.1 Grid of computational domain

2.2 數(shù)值計(jì)算方法

利用ANSYS CFX 12.1全隱式耦合多網(wǎng)格線性求解，避免了反復(fù)迭代的過程，可以同時(shí)求解動(dòng)量方程和連續(xù)方程，并且可以有效地模擬漩渦流。

進(jìn)口邊界設(shè)置在進(jìn)口法蘭處，采用總壓進(jìn)口，出口邊界設(shè)置在出口法蘭處，采用質(zhì)量流量出口，假設(shè)壁面為絕熱、光滑的水力壁面，設(shè)置無滑移的壁面邊界條件，即時(shí)均速度和脈動(dòng)速度的各個(gè)分量均為零，近壁區(qū)采用標(biāo)準(zhǔn)壁面函數(shù)法處理。進(jìn)口處的液相和汽相體積分?jǐn)?shù)分別設(shè)置為1和0。通過逐步減小泵進(jìn)口總壓的方式使泵內(nèi)部發(fā)生空化。

本研究根據(jù)感知價(jià)值理論的相關(guān)文獻(xiàn)，在以前研究者采用的調(diào)查問卷基礎(chǔ)上結(jié)合無現(xiàn)金支付自身的特征，歸納消費(fèi)者使用無現(xiàn)金支付的影響因素，選擇合適的變量作為問卷設(shè)計(jì)的依據(jù)，最后形成了消費(fèi)者無現(xiàn)金支付使用意愿影響因素量表。量表的所有題項(xiàng)均采用Likert 5級(jí)量表，用1-5表示不同意到非常同意5個(gè)選項(xiàng)。

為便于處理數(shù)值計(jì)算和試驗(yàn)數(shù)據(jù)，定義以下四個(gè)無量綱數(shù)：

(10)

(11)

(12)

(13)

式中：φ為流量系數(shù)；ψ為揚(yáng)程系數(shù)；σ為空化數(shù)；Cpt為壓力系數(shù)；u2為葉輪出口圓周速度，m/s；H為泵揚(yáng)程，m；ρl為液相密度，kg/m3；g為重力加速度，m/s2；pin為泵進(jìn)口靜壓，Pa；Pt、Ptin分別為葉輪流道總壓和泵進(jìn)口總壓，Pa。

3 空化試驗(yàn)

為驗(yàn)證數(shù)值計(jì)算的有效性，對(duì)該泵進(jìn)行了空化試驗(yàn)。該試驗(yàn)在江蘇大學(xué)國(guó)家水泵及系統(tǒng)工程中心閉式試驗(yàn)臺(tái)上進(jìn)行，試驗(yàn)裝置由汽蝕筒、真空泵、閥門、渦輪流量計(jì)、穩(wěn)壓罐、進(jìn)出水管路和試驗(yàn)段等部分組成，如圖2所示。通過真空泵調(diào)節(jié)進(jìn)口的真空度，使泵發(fā)生空化，同時(shí)記錄進(jìn)出口壓力、軸功率、轉(zhuǎn)速等試驗(yàn)數(shù)據(jù)。

1-真空泵；2-球閥；3-汽蝕筒；4-進(jìn)水管；5-渦輪流量計(jì)；6-出水管；7-蝶閥；8-穩(wěn)壓罐 圖2 離心泵閉式試驗(yàn)裝置示意圖Fig.2 Schematic diagram of closed centrifugal pump experimental set-up

4 計(jì)算結(jié)果及分析

4.1 空化性能曲線

圖3為3種不同流量系數(shù)不同湍流模型數(shù)值計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的ψ-σ曲線，其中φ=0.103為設(shè)計(jì)工況。

圖3 不同湍流模型數(shù)值計(jì)算值與實(shí)測(cè)值的對(duì)比Fig.3 Comparison between calculated value and measured value by different cavitation models

從圖3可以看出，在各個(gè)流量系數(shù)下，每個(gè)湍流模型都能預(yù)測(cè)到空化數(shù)減小到一定程度時(shí)泵揚(yáng)程系數(shù)急劇下降的現(xiàn)象，并且變化趨勢(shì)和實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致。在小流量和設(shè)計(jì)工況時(shí)，改進(jìn)的FBM模型(方案二)比FBM模型(方案一)的模擬結(jié)果和試驗(yàn)值更為接近；而在大流量工況時(shí)，改進(jìn)的FBM模型(方案二)和FBM模型(方案一)的模擬結(jié)果差別不大。這是因?yàn)楦倪M(jìn)的FBM模型考慮了汽/液混合相的可壓縮性并且有效減小了湍流黏度，更符合離心泵內(nèi)存在汽體的空化流計(jì)算；而大流量情況時(shí)，汽體的相對(duì)影響減小，所以得到的計(jì)算結(jié)果與為改進(jìn)的FBM模型(方案一)相差不大。

同時(shí)從圖3可以看出，不同流量系數(shù)下模擬計(jì)算得到的揚(yáng)程系數(shù)均比試驗(yàn)值高，這可能與離心泵的鑄造工藝、CFD計(jì)算軟件的不完善以及計(jì)算模型不能和實(shí)際的離心泵完全一致等原因有關(guān)。

根據(jù)定義，揚(yáng)程系數(shù)下降3%時(shí)對(duì)應(yīng)的空化數(shù)為臨界空化數(shù)，不同流量系數(shù)、不同湍流模型的臨界空化數(shù)與試驗(yàn)值對(duì)比如表2所示。

表2 臨界空化數(shù)數(shù)值計(jì)算值與試驗(yàn)值對(duì)比Tab.2 Comparision between critical cavitation values with different model and measured values

從表2可以看出，基于DCM模型密度修正的FBM模型(方案二)比FBM模型(方案一)計(jì)算得到的臨界空化數(shù)更接近試驗(yàn)結(jié)果?？梢哉f明基于DCM模型密度修正的FBM模型(方案二)能更較準(zhǔn)確地模擬離心泵內(nèi)的空化流動(dòng)。因此，基于該模型的計(jì)算結(jié)果對(duì)離心泵內(nèi)空化流場(chǎng)進(jìn)行分析。

4.2 離心泵內(nèi)流場(chǎng)分析

4.2.1 葉片間氣相體積分?jǐn)?shù)分布

當(dāng)離心泵內(nèi)局部壓力低于輸送液體工作溫度下的汽化壓力就會(huì)產(chǎn)生空泡。圖4為設(shè)計(jì)工況下不同空化數(shù)時(shí)，span=0.8切面上葉片間空泡體積分?jǐn)?shù)分布。其中span定義為葉輪后蓋板到前蓋板的無量綱距離，取值為0～1。

從圖4可以明顯看出，當(dāng)σ=0.17時(shí)，空泡開始在葉片吸力面生成，并且附著在葉片進(jìn)口邊，隨著空化數(shù)σ的逐漸減小，吸力面空泡體積分?jǐn)?shù)開始迅速增大。當(dāng)σ=0.056時(shí)，葉片壓力面開始有少量空泡生成；當(dāng)σ=0.045時(shí)，葉片壓力面生成的空泡和吸力面的相接；當(dāng)σ=0.036時(shí)，空泡幾乎完全充滿葉片間的流道，這直接影響到液流的正常流動(dòng)，引起流體和葉片分離，從而直接導(dǎo)致離心泵的性能下降。同時(shí)可以明顯看到，隨著空化數(shù)σ的減小，空泡體積分?jǐn)?shù)的最大值從葉片進(jìn)口邊向葉片出口邊移動(dòng)。此外，還可以明顯看出，葉片間流道內(nèi)的空泡體積分?jǐn)?shù)分布并不對(duì)稱，這主要是由于葉輪和蝸殼之間耦合作用造成的。

圖4 不同空化數(shù)時(shí)切面上葉片間空泡體積分?jǐn)?shù)分布Fig.4 Vapor volume fraction distribution among blades section under different cavitation number

4.2.2 葉輪流道總壓系數(shù)分布

為研究離心泵內(nèi)能量的傳輸過程，在葉輪流道內(nèi)劃分出9個(gè)斷面，從接近葉片進(jìn)口的斷面0到接近出口的斷面Ⅷ，劃分出8個(gè)不同的區(qū)域，如圖5所示，從這8個(gè)區(qū)域來分析葉輪內(nèi)部的空化流場(chǎng)。

圖5 葉輪流道切割斷面Fig.5 Flow sections in impellers

首先求出設(shè)計(jì)工況時(shí)各個(gè)斷面總壓系數(shù)的平均值，然后求出相鄰斷面間流道的總壓系數(shù)增量。從圖6可以明顯看到，發(fā)生在上游斷面0～Ⅲ的壓力下降是造成凈總壓系數(shù)驟降的主要原因。最后五個(gè)空化數(shù)雖然減小的幅度很小，但下游凈總壓系數(shù)出現(xiàn)了明顯的下降。仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)，在當(dāng)空化數(shù)σ=0.04時(shí)，斷面Ⅲ～Ⅳ的流道內(nèi)局部總壓系數(shù)的升高量與其他空化數(shù)時(shí)的相比出現(xiàn)了增長(zhǎng)，該現(xiàn)象可能和生成的空泡有關(guān)，空化導(dǎo)致的堵塞效應(yīng)引發(fā)了有效沖角的局部增長(zhǎng),從而導(dǎo)致徑向流速的增加，局部總壓增大，局部總壓系數(shù)增加。但由于此時(shí)空化程度高，并沒有引起下游凈總壓系數(shù)的增長(zhǎng)。

圖6 總壓系數(shù)分布Fig.6 Distribution of total pressure coefficient

4.2.3 葉片表面中間流線載荷分布

選取接近隔舌處的葉片(如圖1)來分析設(shè)計(jì)工況下，離心泵在不同空化數(shù)下葉片表面中間流線上的載荷分布。橫坐標(biāo)表示葉片上某點(diǎn)在中間流線方向上的相對(duì)位置。其中0表示葉片進(jìn)口處，1表示葉片出口處。

圖7 葉片中間流線上載荷分布Fig.7 Load distribution on middle streamline of blade

葉片載荷為葉片壓力面和吸力面所受壓力之差，從圖7可以看出，葉片表面中間流線載荷整體呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢(shì)。當(dāng)空化數(shù)較大時(shí)，葉片表面中間流線載荷變化較小；空化數(shù)較小時(shí)，葉片表面中間流線載荷最大值較大，并且此時(shí)空泡開始在葉片進(jìn)口處逐漸形成，在葉片進(jìn)口處的表面中間流線載荷幾乎為零。當(dāng)空化數(shù)減小到0.036時(shí)，葉片吸力面在Streamwise=0到Streamwise=0.5附近的表面壓力幾乎保持不變，接近0。在Streamwise=0到Streamwise=0.2附近，葉片所受載荷隨著空化數(shù)的減小而減小，而在葉片其他位置所受載荷的變化趨勢(shì)在空化數(shù)變化時(shí)幾乎不變。這說明空化的發(fā)展對(duì)葉片前緣所受載荷的影響較大。

5 結(jié) 論

(1)為了更全面的考慮因空化引起流場(chǎng)密度的變化，將基于密度修正的方法引進(jìn)到基于濾波修正的RNGk-ε模型中，發(fā)展了一種基于密度修正的FBM湍流模型。

(2)應(yīng)用兩種不同湍流模型對(duì)離心泵空化流進(jìn)行數(shù)值模擬，發(fā)現(xiàn)兩種湍流模型均能準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)到空化數(shù)減小到一定程度后揚(yáng)程系數(shù)的陡降，但基于改進(jìn)FBM模型(方案二)預(yù)測(cè)出的臨界空化數(shù)和試驗(yàn)值更為接近，說明了改進(jìn)空化模型的適用性更強(qiáng),預(yù)測(cè)更為準(zhǔn)確。

(3)基于改進(jìn)的FBM模型，分析了設(shè)計(jì)工況下模型泵葉片間空泡體積分?jǐn)?shù)分布、葉輪流道總壓系數(shù)分布和葉片載荷分布，研究發(fā)現(xiàn)空化的發(fā)展是離心泵性能下降的主要原因。當(dāng)葉輪流道被空泡阻塞時(shí)，引起流動(dòng)分離，從而揚(yáng)程顯著下降。空化的發(fā)展對(duì)葉片進(jìn)口邊附近所受載荷影響較大，對(duì)葉片其他區(qū)域所受載荷幾乎沒有影響。另外，隨著空化的發(fā)展，葉片表面載荷的最大值增大。