促進(jìn)數(shù)學(xué)思考積累思維經(jīng)驗(yàn)

朱向明

數(shù)學(xué)是思維的體操?；仡檾?shù)學(xué)課程目標(biāo)的變化歷程（從“雙基”到“三維目標(biāo)”，再到“核心素養(yǎng)”）可以發(fā)現(xiàn)：無(wú)論數(shù)學(xué)課程怎樣改革，數(shù)學(xué)思維始終是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的核心。因此，數(shù)學(xué)課程的重要任務(wù)就是促進(jìn)兒童的數(shù)學(xué)思考，幫助兒童積累豐富的數(shù)學(xué)思維經(jīng)驗(yàn)，讓兒童通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)思考。實(shí)際教學(xué)中，可以從優(yōu)化數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)素材、巧妙設(shè)計(jì)探究活動(dòng)、注重經(jīng)驗(yàn)內(nèi)化反思等方面促進(jìn)學(xué)生展開(kāi)數(shù)學(xué)思考，積累思維經(jīng)驗(yàn)。

[?]一、優(yōu)化數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)素材，為數(shù)學(xué)思考“加料”

數(shù)學(xué)思維是一個(gè)由數(shù)學(xué)思維材料、數(shù)學(xué)思維方法、數(shù)學(xué)思維方式、數(shù)學(xué)思維觀念組成的立體結(jié)構(gòu)。在這個(gè)結(jié)構(gòu)中，材料是思維的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)教材作為一種重要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)素材，為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)提供了學(xué)習(xí)主題、基本線(xiàn)索和知識(shí)結(jié)構(gòu)，是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)的重要資源。對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“原料”——教材的研究和使用，主要體現(xiàn)在對(duì)例題和習(xí)題的優(yōu)化處理。

1. 突出例題思維張力，促進(jìn)數(shù)學(xué)思考

例題是數(shù)學(xué)教材的主體，是幫助學(xué)生建構(gòu)新知、強(qiáng)化理解的重要載體。它既是教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，又讓學(xué)生在親身經(jīng)歷知識(shí)形成的過(guò)程中理解數(shù)學(xué)本質(zhì)。但受篇幅限制，教材不可能完全展開(kāi)數(shù)學(xué)活動(dòng)，這就需要教師充分挖掘例題蘊(yùn)含的思維訓(xùn)練點(diǎn)，精心加工例題“原材料”，促進(jìn)兒童數(shù)學(xué)思考。

例如，《三角形的認(rèn)識(shí)》一課，蘇教版教材（下文舉例均為蘇教版教材）在例1后安排了“試一試”：讓學(xué)生從方格紙上給定的4個(gè)點(diǎn)中任選3個(gè)作為頂點(diǎn)畫(huà)出一個(gè)三角形，再交流有什么發(fā)現(xiàn)。教材意在讓學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖體會(huì)“不在同一直線(xiàn)上的3個(gè)點(diǎn)才能畫(huà)出三角形”。

筆者教學(xué)“試一試”時(shí)，分了三個(gè)層次：首先，在方格紙上提供3個(gè)點(diǎn)，讓學(xué)生用這3個(gè)點(diǎn)作為頂點(diǎn)，畫(huà)一個(gè)三角形再交流發(fā)現(xiàn)。接著，出示教材的“試一試”，引導(dǎo)學(xué)生完成并交流發(fā)現(xiàn)。最后，在方格紙上呈現(xiàn)一條線(xiàn)段（突出兩個(gè)端點(diǎn)），引發(fā)學(xué)生思考：畫(huà)一個(gè)三角形需要3個(gè)頂點(diǎn)，另一個(gè)頂點(diǎn)可能在哪里。教師借助動(dòng)畫(huà)，不斷變化另一個(gè)點(diǎn)的位置，讓學(xué)生在頭腦中畫(huà)出三角形（根據(jù)第3個(gè)點(diǎn)的位置畫(huà)出不同類(lèi)型的三角形）。

上述教學(xué)就以例題為“原料”進(jìn)行了精細(xì)加工，通過(guò)層次遞進(jìn)的活動(dòng)促進(jìn)學(xué)生在“畫(huà)”中展開(kāi)積極的數(shù)學(xué)思考，讓學(xué)生在頭腦中形成“三角形”準(zhǔn)確的內(nèi)涵與豐富的外延：第一層次可以體會(huì)到“只要三個(gè)點(diǎn)的位置確定了，三角形的大小、形狀就確定了”;第二層次就是教材意圖的體現(xiàn);第三層次通過(guò)變化的第三個(gè)點(diǎn)讓學(xué)生在腦中不斷畫(huà)出形狀不同的三角形，形成不同形狀三角形的表象，豐富三角形的外延，同時(shí)發(fā)展學(xué)生的空間觀念，積累思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

2. 突出習(xí)題思維張力，促進(jìn)數(shù)學(xué)思考

習(xí)題作為數(shù)學(xué)教材的重要組成部分，不僅可以幫助學(xué)生鞏固新知、形成技能，還可以發(fā)展數(shù)學(xué)思維，促進(jìn)學(xué)生會(huì)想問(wèn)題。但教材在編排習(xí)題時(shí)，往往受教材篇幅、習(xí)題數(shù)量、難度及梯度等影響，習(xí)題內(nèi)在的“思維張力”很難體現(xiàn)。為此，教師在教學(xué)時(shí)，應(yīng)準(zhǔn)確把握習(xí)題意圖，合理二次加工，變“教材”為“學(xué)材”，變“原料”為“猛料”。

例如，認(rèn)識(shí)11～20各數(shù)，教材提供了一道習(xí)題：讓學(xué)生看著一把0～20數(shù)尺圖，從0讀到20。筆者分四個(gè)層次教學(xué)這一題：第一層次——填。將習(xí)題中給出的11～20各數(shù)變?yōu)椤?，讓學(xué)生填數(shù)。第二層次——讀?？粗暾臄?shù)尺，先從左到右讀和從右到左讀;再2個(gè)2個(gè)跳著讀、3個(gè)3個(gè)跳著讀、5個(gè)5個(gè)跳著讀。第三層次——比。先找出比10小的數(shù)，再找出比10大的數(shù)。第四層次——數(shù)。從15開(kāi)始向右數(shù)3個(gè)數(shù)，數(shù)到幾;向左數(shù)3個(gè)數(shù)呢？如果從15開(kāi)始向右數(shù)6個(gè)數(shù)，數(shù)到幾？

杜威指出：思維只是隨心所欲、毫不連貫地東想西想是不夠的。有意義的思維應(yīng)是不斷的、一系列的思量，連貫有序，因果分明，前后呼應(yīng)。上述的教學(xué)，教師以教材上的一道習(xí)題為原料充分彰顯“數(shù)尺”中蘊(yùn)含的思維內(nèi)核，精心組織一系列連貫有序的思維活動(dòng)，既幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，又發(fā)展了數(shù)感，也為數(shù)的運(yùn)算積累了思維經(jīng)驗(yàn)：第一層次打破完整的“數(shù)尺”，學(xué)生在自主填寫(xiě)中將新知納入原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。第二層次既強(qiáng)化了20以?xún)?nèi)數(shù)的順序，又豐富了“單數(shù)”“雙數(shù)”的概念。幾次跳著讀，為2、3、5的乘法口訣積累了思維經(jīng)驗(yàn)。第三層次的比，讓學(xué)生體會(huì)到“在數(shù)尺上，越往右，數(shù)越大，越向左，數(shù)越小”，進(jìn)而建立“數(shù)序”。第四層次的數(shù)，不僅凸顯了加法和減法的本質(zhì)：加法是向后數(shù)的策略，減法是向前數(shù)的策略;而且擴(kuò)展了認(rèn)數(shù)的范圍，為后續(xù)學(xué)習(xí)百以?xún)?nèi)的數(shù)積累了經(jīng)驗(yàn)。

[?]二、巧妙設(shè)計(jì)探究活動(dòng)，為數(shù)學(xué)思考“上色”

數(shù)學(xué)思維是人腦對(duì)外部的數(shù)學(xué)信息的接收、分析、選擇、加工和整合的過(guò)程。“素材”只是外在的信息，由外在信息成為思維結(jié)果，還需要經(jīng)過(guò)一系列的從外感到內(nèi)化的交互作用過(guò)程。要實(shí)現(xiàn)這樣的交互作用，教師需要跳出知識(shí)的層面，從促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)思考的高度巧妙設(shè)計(jì)探究活動(dòng)，為學(xué)生展開(kāi)數(shù)學(xué)思考不斷“上色”。

五年級(jí)下冊(cè)教材在《解決問(wèn)題的策略——轉(zhuǎn)化》單元中安排的一道練習(xí)（如圖1，求這個(gè)圖形的周長(zhǎng)），此題有三種常見(jiàn)解法：把三個(gè)半圓分別相加;把兩個(gè)小半圓合起來(lái)看作一個(gè)圓的周長(zhǎng)，再加大半圓的周長(zhǎng);直接算一個(gè)大圓的周長(zhǎng)。后面兩種方法都運(yùn)用了轉(zhuǎn)化的策略。筆者教學(xué)此題時(shí)，并沒(méi)有止步于圖形周長(zhǎng)的計(jì)算和轉(zhuǎn)化策略的運(yùn)用，而是立足發(fā)展數(shù)學(xué)思考、積累思維經(jīng)驗(yàn)，精心設(shè)計(jì)了四個(gè)層次的活動(dòng)。

第一層次：解決問(wèn)題，初步探究。課件出示此題，學(xué)生獨(dú)立思考后小組交流自己的算法，教師組織學(xué)生比較：這三種方法，你喜歡哪一種方法？進(jìn)而明確：求三個(gè)半圓的周長(zhǎng)和可以轉(zhuǎn)化為求一個(gè)圓的周長(zhǎng)。

第二層次：變化數(shù)據(jù)，二次探究。課件出示兩個(gè)圖（與原圖一樣，變化圖中數(shù)據(jù)，大圓半徑變?yōu)?厘米和20厘米）先引發(fā)學(xué)生猜測(cè)：每個(gè)圖形的周長(zhǎng)可以怎樣算？再組織學(xué)生計(jì)算驗(yàn)證猜測(cè)，進(jìn)而組織比較：所給的數(shù)據(jù)不同，在計(jì)算的方法上為什么相同，如果所給的大圓半徑為R，可以怎樣計(jì)算這個(gè)圖形的周長(zhǎng)？

第三層次：變化圖形，三次探究。課件出示圖2（單位：厘米）引發(fā)學(xué)生猜測(cè)：這個(gè)圖形的周長(zhǎng)可以怎樣算？學(xué)生計(jì)算驗(yàn)證猜測(cè)的基礎(chǔ)上組織比較：在計(jì)算周長(zhǎng)的方法上和前面的圖相同嗎？

第四個(gè)層次：自變圖形，四次探究。教師引發(fā)學(xué)生想象：如果還是用這種方法求這樣的圖形周長(zhǎng)，那么像這樣的圖形還可以怎樣變？自己嘗試設(shè)計(jì)出一個(gè)圖形后計(jì)算，再和小組同學(xué)交流。

教育心理學(xué)家加涅把“教”定義為“用來(lái)激活和支持內(nèi)部學(xué)習(xí)過(guò)程的外部事件的安排”，把“學(xué)”定義為“由于經(jīng)驗(yàn)而引起的學(xué)習(xí)者的知識(shí)變化”。數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程即學(xué)生思維活動(dòng)過(guò)程的優(yōu)化，既要注意學(xué)習(xí)的外部材料的組織，使其體現(xiàn)過(guò)程性和探索性，更要重視學(xué)習(xí)的內(nèi)部條件即思維內(nèi)部材料的表征，使其體現(xiàn)條件化、結(jié)構(gòu)化、策略化。在上面四個(gè)層次遞進(jìn)的探究活動(dòng)中，學(xué)生不僅體會(huì)了轉(zhuǎn)化策略對(duì)于解決圖形問(wèn)題的價(jià)值，而且有效發(fā)展了形象思維、邏輯思維、直覺(jué)思維、發(fā)散思維和創(chuàng)造性思維。正是思維的培養(yǎng)，才為這樣一道普通的習(xí)題“上色”，使其變?yōu)橐淮斡幸饬x的探究之旅，學(xué)生也在不斷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題，在發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的逐次“探險(xiǎn)”中，品嘗“上色”數(shù)學(xué)的“美味”！

三、強(qiáng)化活動(dòng)體驗(yàn)反思，為數(shù)學(xué)思考“提味”

在數(shù)學(xué)教學(xué)中存在著三種思維活動(dòng)：數(shù)學(xué)家的思維活動(dòng)（一般存在于教材之中）、數(shù)學(xué)教師的思維活動(dòng)和學(xué)生的思維活動(dòng)。數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程就是學(xué)生在教師指導(dǎo)下，通過(guò)數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，掌握數(shù)學(xué)家思維活動(dòng)的成果，并發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力的過(guò)程。因此，學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的主體，學(xué)生必須通過(guò)積極的實(shí)踐體驗(yàn)和思維活動(dòng)把數(shù)學(xué)家的思維結(jié)果通過(guò)“再創(chuàng)造”轉(zhuǎn)化為自己的思維結(jié)果。教學(xué)中，教師既要“選料”——選擇好實(shí)踐探究的素材，又要“上色”——安排合理的探究活動(dòng)，更要“提味”——組織活動(dòng)體驗(yàn)后的反思，活動(dòng)不等于經(jīng)歷，經(jīng)歷不等于經(jīng)驗(yàn)。思維的過(guò)程和思維的結(jié)果只有經(jīng)過(guò)反芻和回味，才能積淀為數(shù)學(xué)思維經(jīng)驗(yàn)，才能提升思維品質(zhì)。

1. 反思解決問(wèn)題的過(guò)程是否簡(jiǎn)潔

波利亞在《怎樣解題》中，特別強(qiáng)調(diào)將回顧反思作為解題的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，意在通過(guò)反思不斷調(diào)整思維結(jié)構(gòu)、深化思維層次、提高思維水平，同時(shí)在反思中再發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造。例如，學(xué)生在解決“圖3是一個(gè)梯形。那么三角形甲的面積是三角形乙的” 時(shí)，多數(shù)學(xué)生都是按照分別求出甲、乙的面積再用除法計(jì)算的思路來(lái)解決的。教師引導(dǎo)學(xué)生反思：如果梯形的高是22.63厘米，你還能解決嗎？從而組織學(xué)生反思剛才解決問(wèn)題的過(guò)程，進(jìn)而尋找更簡(jiǎn)潔的思路和方法：直接求甲的底是乙的底的就可以了。通過(guò)對(duì)比反思兩次解決問(wèn)題的過(guò)程，可以有新的發(fā)現(xiàn)：圖中高的長(zhǎng)度，對(duì)解決本題沒(méi)有影響，如果把高也參與計(jì)算，反而使問(wèn)題解決變得麻煩。

2. 反思結(jié)果是否正確

學(xué)生已掌握的知識(shí)狀況和已有的思維方式，將影響著新的學(xué)習(xí)和解題思維的展開(kāi)。在剛開(kāi)始學(xué)習(xí)某一數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，一定要準(zhǔn)確、全面把握其數(shù)學(xué)本質(zhì)，否則，將影響后續(xù)的知識(shí)應(yīng)用和思維提升。鄭毓信教授也指出：“通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)思維，促進(jìn)學(xué)生積極思考，逐步學(xué)會(huì)想得更清晰、更深入、更全面、更合理?！?/p>

例如，“列舉”所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)本質(zhì)是有序思考和分類(lèi)思想。只有在分類(lèi)和有序的基礎(chǔ)上才能做到列舉的結(jié)果不重復(fù)、不遺漏。教學(xué)中，教師往往關(guān)注的是列舉過(guò)程的不重復(fù)不遺漏，卻忽視了列舉出每種情況后需要對(duì)結(jié)果進(jìn)行反思調(diào)整。為此，在本課的練習(xí)環(huán)節(jié)，教師提供了一個(gè)問(wèn)題：小芳有50幣、30幣和20幣三種不同幣值的樂(lè)學(xué)幣各1枚，用這些樂(lè)學(xué)幣能換多少種不同幣值的獎(jiǎng)品？

多數(shù)學(xué)生是把每類(lèi)付幣方法相加，都認(rèn)為能換7種不同幣值的獎(jiǎng)品時(shí)，教師及時(shí)追問(wèn)：“果真是這樣嗎？”引發(fā)學(xué)生對(duì)結(jié)果進(jìn)行反思，從而回顧列舉過(guò)程，發(fā)現(xiàn)不能簡(jiǎn)單把每類(lèi)結(jié)果相加，而應(yīng)對(duì)各類(lèi)結(jié)果進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)盡管分類(lèi)合理，列舉有序，但是每一類(lèi)的結(jié)果之間會(huì)有重復(fù)，以此培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和批判性。

思維主要是靠啟迪內(nèi)省，而不是傳授，越是傳授得一清二楚，學(xué)習(xí)者就越不需要思維。教師的任務(wù)就是適時(shí)提示學(xué)生回顧反思，內(nèi)化活動(dòng)體驗(yàn)，在“有味道”的反思中體會(huì)隱藏在數(shù)學(xué)知識(shí)背后的數(shù)學(xué)思想和方法，感受數(shù)學(xué)思維方式的力量，以此積累數(shù)學(xué)思維經(jīng)驗(yàn)，優(yōu)化思維方式，提升思維品質(zhì)，真正實(shí)現(xiàn)學(xué)會(huì)思考。