一種適用于多普勒高階變化率的載波跟蹤算法

宋青平1，余 躍1，齊建中，王 樂(lè)

(1.北京控制與電子技術(shù)研究所 信息系統(tǒng)工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100038；2.北方工業(yè)大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，北京 100144)

0 引言

在無(wú)線通信系統(tǒng)中，當(dāng)通信發(fā)射端和接收端存在速度、加速度、加加速度時(shí)，會(huì)導(dǎo)致接收端本振與接收信號(hào)之間出現(xiàn)多普勒頻偏、多普勒一、二階變化率[1](通常最高只考慮二階變化率)，從而影響信號(hào)的載波跟蹤性能?，F(xiàn)有的載波跟蹤算法通常采用二階鎖頻環(huán)輔助三階鎖相環(huán)[2-4]，可以無(wú)誤差地跟蹤含有多普勒一階變化率的信號(hào)。但是當(dāng)接收信號(hào)由于加加速度而存在多普勒二階變化率成分時(shí)，三階鎖相環(huán)會(huì)存在一個(gè)固有相差，無(wú)法保證對(duì)此種信號(hào)的無(wú)誤差跟蹤。也有文獻(xiàn)采用了單一四階鎖相環(huán)的方式，但是能夠跟蹤的頻率范圍有限，而且缺乏對(duì)環(huán)路相位誤差和環(huán)路濾波器參數(shù)的系統(tǒng)性分析和計(jì)算。

本文提出了一種三階鎖頻環(huán)輔助四階鎖相環(huán)的載波跟蹤算法，分析了環(huán)路結(jié)構(gòu)，根據(jù)環(huán)路傳遞函數(shù)和環(huán)路帶寬，從理論上推導(dǎo)出了環(huán)路所有參數(shù)的計(jì)算方法，以及環(huán)路的穩(wěn)態(tài)相位誤差。該環(huán)路可以對(duì)含有多普勒二階變化率成分的信號(hào)進(jìn)行無(wú)誤差跟蹤。最后采用環(huán)路模式切換策略及環(huán)路帶寬設(shè)置策略，進(jìn)一步提高了頻率精度，保證了跟蹤的穩(wěn)定性。仿真結(jié)果表明，當(dāng)存在多普勒頻偏、多普勒一、二階變化率時(shí)，本文載波跟蹤算法依然能夠正常跟蹤和解調(diào)。

1 頻率動(dòng)態(tài)特性

當(dāng)發(fā)射源與接收體之間存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，接收體接收的發(fā)射源發(fā)射信息的頻率與發(fā)射源發(fā)射信息頻率不相同，這種現(xiàn)象稱為多普勒效應(yīng)[5-6]，接收頻率與發(fā)射頻率之差稱為多普勒頻移或頻偏。無(wú)線電波的傳播也存在多普勒效應(yīng)，當(dāng)發(fā)射源與接收體之間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，接收體接收的載波頻率f′與發(fā)射端載波頻率f存在多普勒頻移Δf(doppler shift)，即:

Δf=f′-f

(1)

可以證明若接收體與聲源相互靠近或相互遠(yuǎn)離的速度為v，光速為c，則接收體接收信息的多普勒頻率為：

(2)

其中:f為發(fā)射頻率，f′為接收頻率。

若物體相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，還存在加速度，加加速度等分量，則相應(yīng)會(huì)產(chǎn)生多普勒變化率等變化量。

接收機(jī)接收到信號(hào)的頻偏可表示為[7]:

(3)

其中:fi表示信號(hào)的第i階變換，例如f0表示多普勒頻偏，f1表示多普勒一階變化率，f2表示多普勒二階變化率。通常最高只考慮運(yùn)動(dòng)的加加速度分量，則可將頻偏模型建為:

(4)

對(duì)應(yīng)相位的變化為:

(5)

2 載波跟蹤

當(dāng)數(shù)字通信接收機(jī)采用相干解調(diào)時(shí)，接收機(jī)首先需要提供一個(gè)與發(fā)射機(jī)載波同頻同相的相干載波，這個(gè)相干載波的獲取就是載波同步，因此載波同步是實(shí)現(xiàn)相干解調(diào)的前提條件。載波同步首先要生成一個(gè)本地振蕩信號(hào)，本地振蕩信號(hào)是一個(gè)固定頻率的自由振蕩信號(hào)，它往往和輸入信號(hào)的載波頻率不相同，會(huì)產(chǎn)生一個(gè)頻偏；相位噪聲也會(huì)引起載波相位和頻率偏差；同時(shí)第1節(jié)所述的多普勒效應(yīng)也會(huì)對(duì)通信系統(tǒng)產(chǎn)生惡劣影響，使接收系統(tǒng)性能下降。因此，如何抵御噪聲的干擾，從噪聲中高質(zhì)量提取相干載波，是載波同步的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問(wèn)題。

載波同步過(guò)程通常包括載波捕獲和載波跟蹤兩個(gè)階段[8]。經(jīng)過(guò)載波捕獲后，本振與接收信號(hào)依然存在一定多普勒頻偏、多普勒一、二階變化率[9]。載波跟蹤是在載波捕獲完成的基礎(chǔ)上，進(jìn)行載波頻率和相位的精細(xì)跟蹤，實(shí)現(xiàn)本地載波與接收信號(hào)載波同頻同相，從而實(shí)現(xiàn)信號(hào)的正確解調(diào)。載波跟蹤原理如圖1所示。

圖1 載波跟蹤整體結(jié)構(gòu)框圖

載波跟蹤可分為頻率跟蹤和相位跟蹤，頻率跟蹤一般通過(guò)鎖頻環(huán)實(shí)現(xiàn)對(duì)載波多普勒頻率的本地復(fù)現(xiàn)[10]，相位跟蹤一般通過(guò)鎖相環(huán)實(shí)現(xiàn)對(duì)載波多普勒頻率的本地復(fù)現(xiàn)。多普勒變化率的存在，使得多普勒頻差會(huì)隨著時(shí)間急劇變化，從而使得跟蹤環(huán)路的鑒頻和鑒相精度下降，為后級(jí)的同步解調(diào)帶來(lái)很大的困難。本文采用三階鎖頻環(huán)輔助四階鎖相環(huán)的跟蹤環(huán)路，通過(guò)環(huán)路模式切換及鎖頻鎖相環(huán)路帶寬設(shè)置策略，對(duì)較大范圍內(nèi)的頻差進(jìn)行頻率牽引，并通過(guò)高階環(huán)路的精確鑒頻鑒相和濾波，保證了跟蹤精度。

3 相位跟蹤

相位跟蹤通常采用Costas環(huán)，結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 Costas環(huán)跟蹤單元框圖

環(huán)路中，本地振蕩器(NCO)產(chǎn)生兩路相互正交的本地載波信號(hào)，與接收信號(hào)分別相乘，經(jīng)過(guò)低通濾波(LPF)后濾除倍頻項(xiàng)，二者鑒相后可以得到誤差信號(hào)，經(jīng)環(huán)路濾波器(LF)平滑處理后，輸出一個(gè)控制信號(hào)，反饋至NCO，從而對(duì)NCO的頻率和相位進(jìn)行精確調(diào)整。

設(shè)載波跟蹤環(huán)路中的輸入信號(hào)為BPSK調(diào)制信號(hào)，對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行數(shù)字化采樣，設(shè)采樣頻率為fs，采樣時(shí)間間隔為1/fs，k為采樣點(diǎn)序號(hào)，則輸入信號(hào)的時(shí)間離散化表示方式如下:

sBPSK(k)=Ab(k)sin(2π(fi/fs)k+ψ)

(6)

式中,b(k)為信息比特，取值1或-1，A為輸入信號(hào)幅度，fi和ψ分別為輸入信號(hào)的頻率和相位。此時(shí)NCO產(chǎn)生的本地載波信號(hào)為:

snco_s(k)=sin(2π(f0/fs)k+ψ0)

snco_c(k)=cos(2π(f0/fs)k+ψ0)

(7)

式中,f0和ψ0分別為NCO信號(hào)的頻率和相位。sBPSK(k)與snco_s(k)和snco_c(k)分別相乘，可得到如下結(jié)果:

I(k)=Ab(k)sin(2π(fi/fs)k+ψ)sin(2π(f0/fs)k+ψ0)

Q(k)=Ab(k)sin(2π(fi/fs)k+ψ)cos(2π(f0/fs)k+ψ0)

(8)

經(jīng)過(guò)LPF后輸出為:

I(k)=A1b(k)cos(2π(Δf/fs)k+ψ-ψ0)

Q(k)=A1b(k)sin(2π(Δf/fs)k+ψ-ψ0)

(9)

對(duì)于相位鑒別器，本文采用反正切鑒相器，鑒相結(jié)果表示為[11-13]。

(10)

式中,Δφ=2π(Δf/fs)k+ψ-ψ0。鑒相結(jié)果經(jīng)過(guò)LF平滑處理后得到NCO相位控制值。

3.1 四階鎖相環(huán)的相位誤差

四階LF的基本傳遞函數(shù)為[14]:

(11)

環(huán)路的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)以及閉環(huán)傳遞函數(shù)為:

(12)

(13)

式中，K為環(huán)路增益。環(huán)路的誤差傳遞函數(shù)為:

(14)

當(dāng)輸入信號(hào)為多普勒頻偏信號(hào)時(shí)，信號(hào)的相位變化為:

θ1(t)=f0t

(15)

環(huán)路的相位誤差為:

θe=He(s)θ1

(16)

環(huán)路穩(wěn)定后的穩(wěn)態(tài)相位誤差為:

(17)

當(dāng)輸入信號(hào)為多普勒變化率信號(hào)時(shí)，信號(hào)的相位變化為:

(18)

環(huán)路穩(wěn)定后的穩(wěn)態(tài)相位誤差為:

(19)

當(dāng)輸入信號(hào)為多普勒二階變化率信號(hào)時(shí)，信號(hào)的相位變化為:

(20)

環(huán)路穩(wěn)定后的穩(wěn)態(tài)相位誤差為:

(21)

由此可以看出，即使當(dāng)信號(hào)由于加加速度而存在多普勒二階變化率時(shí)，四階鎖相環(huán)的穩(wěn)態(tài)相差依然為0，可以對(duì)此種信號(hào)進(jìn)行無(wú)誤差跟蹤。

3.2 四階鎖相環(huán)的環(huán)路參數(shù)計(jì)算

四階鎖相環(huán)的LF結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 四階鎖相環(huán)LF框圖

圖中Ts為每次采樣時(shí)間間隔，pc1～pc4為鎖相環(huán)LF參數(shù)。經(jīng)過(guò)拉式變換后的結(jié)構(gòu)如圖4所示。

根據(jù)圖4，四階LF的基本傳遞函數(shù)可表示為:

(22)

將式(11)四階LF的基本傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)化為:

(23)

將式(22)和式(23)對(duì)比可得:

(24)

(25)

(26)

(27)

其中:τ1、τ2與環(huán)路自然角頻率、阻尼系數(shù)存在如下關(guān)系:

(28)

(29)

式中，ωn為環(huán)路自然角頻率，ξ為阻尼系數(shù)。因此，根據(jù)ωn、ξ即可計(jì)算出τ1、τ2，從而計(jì)算出環(huán)路參數(shù)pc1～pc4。為了保持四階環(huán)路的穩(wěn)定性，需要滿足以下條件[14]。

(30)

(31)

4 載波頻率跟蹤

鎖頻環(huán)直接跟蹤載波頻率，通過(guò)載波環(huán)路鑒頻器輸出頻偏估計(jì)誤差，具有較好的動(dòng)態(tài)性能。其中叉積鎖頻環(huán)(CPAFC)抗噪聲性能較好，且運(yùn)算量最小，在工程中應(yīng)用廣泛，所以本文選用CPAFC，用來(lái)對(duì)載波頻率進(jìn)行直接跟蹤。叉積鑒頻器由同相和正交信號(hào)的叉積運(yùn)算獲得，可以去除相位信息。鑒頻后的誤差信號(hào)經(jīng)過(guò)LF平滑處理后，反饋至NCO，控制NCO的振蕩頻率向接收信號(hào)頻率靠近，最終使頻差接近為0。鎖頻環(huán)的輸出為頻率分量，接入LF后經(jīng)過(guò)積分，使得頻率轉(zhuǎn)化為相位。鎖頻環(huán)的環(huán)路階數(shù)通常比鎖相環(huán)低一階，當(dāng)鎖相環(huán)為四階時(shí)，鎖頻環(huán)為三階。CPAFC環(huán)路結(jié)構(gòu)如圖5所示。

圖5 CPAFC頻率跟蹤單元框圖

對(duì)于式(9)中經(jīng)過(guò)LPF的I(k)和Q(k)，叉積運(yùn)算后的輸出表示如下:

Ecross(k)=I(k-1)Q(k)-I(k)Q(k-1)

(32)

則由式(32)可得:

Ecross(k)=A2sin(2π(Δfd/fs)k)

(33)

式中,Δfd為多普勒頻率估計(jì)殘差。鑒頻器輸出的頻率誤差為:

(34)

對(duì)于三階鎖頻環(huán)，LF結(jié)構(gòu)如圖6所示。

圖6 三階鎖頻環(huán)LF框圖

圖中，fc1～fc3為鎖頻環(huán)的LF參數(shù)。LF采用通用的三階環(huán)路參數(shù)計(jì)算方法，表示如下：

ω0f=Bnf/0.7845

(35)

fc1=2.4ω0f

(36)

(37)

(38)

其中:Bnf為鎖頻環(huán)環(huán)路噪聲帶寬，Ts為每次采樣時(shí)間間隔。

5 三階鎖頻環(huán)輔助四階鎖相環(huán)

鎖頻環(huán)用于跟蹤較大的多普勒初始頻差和變化率，通過(guò)精確的頻率鑒別，將計(jì)算得到的多普勒頻率信息傳遞給鎖相環(huán)。四階鎖相環(huán)能無(wú)誤差跟蹤含有多普勒二階頻率變化率的信號(hào)，但是在鎖相環(huán)路開(kāi)始工作時(shí)，仍然需要較為準(zhǔn)確的多普勒頻差及變化率信息才能快速入鎖，而且鎖頻環(huán)的跟蹤門限比鎖相環(huán)低，具有良好的動(dòng)態(tài)及抗干擾性能，但鎖頻環(huán)的缺點(diǎn)是頻率跟蹤誤差較大。鎖相環(huán)能夠精確跟蹤信號(hào)相位，跟蹤誤差較小，但是動(dòng)態(tài)范圍也較小。所以采用三階鎖頻環(huán)輔助四階鎖相環(huán)的工作方式，可以既提高整個(gè)環(huán)路的閉合速度，降低信噪比門限，又能保證跟蹤精度。

圖7給出了三階鎖頻環(huán)輔助四階鎖相環(huán)的LF結(jié)構(gòu)框圖。該環(huán)路對(duì)來(lái)自鎖頻環(huán)和鎖相環(huán)的鑒別誤差同時(shí)加以應(yīng)用，因此對(duì)相位抖動(dòng)較為敏感的同時(shí)具有較寬的動(dòng)態(tài)范圍。圖7中fc1、fc2、fc3可由式(36)～(38)得出，pc1、pc2、pc3、pc4可由式(24)～(27)得出。鎖頻環(huán)的作用是為了提高鎖相環(huán)的跟蹤范圍，但鎖頻環(huán)永久接入并非能持續(xù)保證良好的性能，信噪比較低時(shí)，鑒頻器難以區(qū)分信號(hào)和噪聲，并且在圖7中的LF工作過(guò)程中，是將鎖頻環(huán)輸出的頻率誤差和鎖相環(huán)輸出的相位誤差進(jìn)行融合處理，這種處理方式會(huì)引入較大的環(huán)路誤差，因此鎖頻環(huán)和鎖相環(huán)同時(shí)工作的方式會(huì)使得環(huán)路誤差增大。所以鎖頻環(huán)完成頻率牽引后，可以關(guān)閉鎖頻環(huán)，轉(zhuǎn)為單一的鎖相環(huán)工作模式，進(jìn)一步提高頻率精度。

圖7 三階鎖頻環(huán)輔助的四階鎖相環(huán)LF設(shè)計(jì)框圖

鎖頻鎖相環(huán)路能捕獲跟蹤的多普勒頻偏和變化率大小和接收信號(hào)的信噪比是一對(duì)矛盾約束關(guān)系。當(dāng)需要跟蹤的頻偏和變化率較大時(shí)，則噪聲帶寬需要設(shè)置的較寬，但較寬的環(huán)路帶寬會(huì)導(dǎo)致進(jìn)入環(huán)路的噪聲功率增加，使得環(huán)路的信噪比惡化。為了能正確解調(diào)出原始信號(hào)，環(huán)路內(nèi)的信噪比必須保持在某個(gè)門限值以上，所以信號(hào)本身的信噪比就不能太低。反之，當(dāng)信號(hào)本身的信噪比較低時(shí)，要想成功捕獲跟蹤載波信號(hào)，則環(huán)路噪聲帶寬需要設(shè)置的較窄，這樣，進(jìn)入環(huán)路的噪聲功率會(huì)相對(duì)較小，依然可以保持環(huán)路內(nèi)的信噪比在門限值以上，但是此時(shí)對(duì)頻偏和變化率的跟蹤能力就相對(duì)較差，而且當(dāng)頻率變化較快時(shí)，則環(huán)路有可能永遠(yuǎn)無(wú)法達(dá)到穩(wěn)態(tài)，即LF的輸出變化永遠(yuǎn)跟不上輸入信號(hào)頻率的變化。因此，本文在鎖頻環(huán)和鎖相環(huán)初始同時(shí)工作時(shí)設(shè)置較大的鎖頻環(huán)帶寬值，關(guān)閉鎖頻環(huán)之后，設(shè)置較小的鎖相環(huán)帶寬值或環(huán)路自然角頻率。這種設(shè)置方式可以保證在頻率牽引階段，環(huán)路能夠跟蹤的頻偏和變化率范圍較大，鎖定時(shí)間也較短；在單一鎖相環(huán)工作階段，環(huán)路能夠保持穩(wěn)定跟蹤并開(kāi)始解調(diào)信號(hào)。

6 算法仿真

針對(duì)本文提出的算法進(jìn)行仿真。采樣頻率取為4 kHz，碼速率取為100 bps，多普勒頻偏取為300 Hz，多普勒變化率取為50 Hz/s，多普勒二階變化率取為10 Hz/s2，加入高斯白噪聲，比特信噪比Eb/N0取為12 dB。鎖相環(huán)環(huán)路自然角頻率設(shè)為4π，為了增大頻率牽引范圍，鎖頻環(huán)環(huán)路噪聲帶寬設(shè)為30 Hz。當(dāng)環(huán)路增益K取為1，阻尼系數(shù)ξ為0.707時(shí)，經(jīng)過(guò)計(jì)算得到的τ1、τ2滿足式(30)、(31)的環(huán)路穩(wěn)定性條件。仿真過(guò)程中取前20 000個(gè)采樣點(diǎn)，在10 000個(gè)采樣點(diǎn)處關(guān)閉鎖頻環(huán)。

頻率鑒別結(jié)果如圖8所示，接收本振頻率跟蹤結(jié)果如圖9所示。從圖8可以看出，鑒頻誤差小于0.1 Hz；從圖9可以看出，鎖頻環(huán)輔助鎖相環(huán)狀態(tài)可以快速消除多普勒頻偏、多普勒一、二階變化率，快速達(dá)到鎖定狀態(tài)，但此時(shí)本振頻率誤差較大，當(dāng)轉(zhuǎn)變至單一鎖相環(huán)精確跟蹤狀態(tài)后，可以看出本振頻率誤差明顯減小，并且頻率抖動(dòng)幅度恒定。

圖8 頻率鑒別后結(jié)果

圖9 接收本振頻率跟蹤圖

圖10為L(zhǎng)PF輸出的解調(diào)后的原始信號(hào)波形。可以看出，經(jīng)過(guò)本文環(huán)路跟蹤解調(diào)后，可以正?；謴?fù)出原始數(shù)字方波信號(hào)。

7 結(jié)論

本文針對(duì)多普勒條件下的載波跟蹤問(wèn)題，提出了一種三階鎖頻環(huán)輔助四階鎖相環(huán)算法，首先從理論上證明了該環(huán)路能夠無(wú)誤差跟蹤多普勒二階變化率信號(hào)，然后根據(jù)環(huán)路傳遞函數(shù)和環(huán)路帶寬，推導(dǎo)出了環(huán)路所有參數(shù)的計(jì)算方法，并在環(huán)路設(shè)計(jì)中考慮了環(huán)路的穩(wěn)定性條件，最后通過(guò)環(huán)路模式切換，既提高了整個(gè)環(huán)路的閉合速度，降低了信噪比門限，又保證了跟蹤精度。因此，此法在多普勒高階變化率的情況下具有較高的應(yīng)用價(jià)值。