一種基于二次分配的測試性指標(biāo)分配方法

楊鵬，謝皓宇，邱靜

國防科技大學(xué) 智能科學(xué)學(xué)院 裝備綜合保障技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長沙 410073

測試性是裝備通用質(zhì)量特性之一，測試性指標(biāo)分配是開展裝備測試性工程的首要工作，只有將裝備頂層的測試性指標(biāo)逐步分配給其分系統(tǒng)、設(shè)備等較低層次，才能將測試性要求逐步落實(shí)到各層級的測試性設(shè)計中去。

通用質(zhì)量特性(可靠性、維修性、安全性、測試性、保障性和環(huán)境適應(yīng)性)指標(biāo)的分配可以采用多種方法，如最簡單的方法是等分法，即將上一級的指標(biāo)平分給下一級，只要下一級產(chǎn)品能夠?qū)崿F(xiàn)其分配的指標(biāo)，上一級產(chǎn)品即可實(shí)現(xiàn)其指標(biāo)。但為了裝備測試性設(shè)計更容易實(shí)現(xiàn)、設(shè)計實(shí)現(xiàn)技術(shù)風(fēng)險更小，往往在指標(biāo)分配時考慮多種因素，如測試性技術(shù)較成熟的可多分一些指標(biāo)，否則少分一些。

國外對測試性分配方法做了大量研究，主流方法是故障率分配法、加權(quán)分配法和綜合加權(quán)分配法[1]，其基本思想是按照各單元的分配權(quán)重(如故障率、重要度、測試難易程度等因素)來構(gòu)造分配函數(shù)，然后利用該函數(shù)來計算各單元的指標(biāo)，這些方法統(tǒng)稱為函數(shù)分配法。針對多個影響因子如何科學(xué)量化的問題，國內(nèi)外學(xué)者還研究了基于層次分析法的分配方法[2-4]。

另一類指標(biāo)分配方法是優(yōu)化分配法，其基本思想是構(gòu)建一個融合多影響因素和多約束條件的優(yōu)化分配模型，然后采用遺傳算法等優(yōu)化算法來獲得最優(yōu)分配結(jié)果[5-11]。

上述分配方法適當(dāng)改進(jìn)后亦可用于可靠性和維修性指標(biāo)分配。指標(biāo)分配問題是目前國內(nèi)外研究的熱點(diǎn)[12-23]。

目前在工程實(shí)踐中大多采取上述方法之一實(shí)施一次性分配，沒有反饋迭代。這樣的分配方式難以保證各組成單元均能分到合適的測試性指標(biāo)。如某在研飛機(jī)采取一次分配，經(jīng)過首輪測試性設(shè)計和分析發(fā)現(xiàn)，不少單元指標(biāo)分配過高，承研單位付出極大代價也難以滿足要求，對此業(yè)內(nèi)普遍認(rèn)為必須采取多次分配，以得到既滿足系統(tǒng)指標(biāo)要求，又兼顧各單元設(shè)計水平的指標(biāo)分配結(jié)果。然而這又帶來新的問題：① 應(yīng)采取多少次分配；② 每次分配采取哪種分配方法；③ 每次分配之間如何實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的反饋迭代。

針對上述問題，本文提出一種基于二次分配的測試性指標(biāo)分配方法，分別針對初次分配和再次分配中存在的問題進(jìn)行理論分析，提出解決對策和方法，最后進(jìn)行仿真和實(shí)例應(yīng)用，驗(yàn)證方法的有效性和先進(jìn)性。

1 二次分配法的技術(shù)流程

二次分配法的技術(shù)流程如圖1所示。

步驟1在開展設(shè)計之前，利用有限數(shù)據(jù)實(shí)施初次分配，將總指標(biāo)分配給組成單元。

步驟2依據(jù)初次分配指標(biāo)對各組成單元實(shí)施測試性初步設(shè)計，包括：選擇測試項(xiàng)目，依據(jù)故障傳遞和測試點(diǎn)布局情況，構(gòu)建測試性模型，基于模型實(shí)施單元測試性指標(biāo)預(yù)計。該步驟的具體方法見文獻(xiàn)[1]。

步驟3收集單元測試性指標(biāo)預(yù)計結(jié)果、技術(shù)成熟度和指標(biāo)實(shí)現(xiàn)成本等數(shù)據(jù)，判斷是否需要再次分配。如需要，則實(shí)施再次分配；如不需要，則將初次分配的指標(biāo)作為單元指標(biāo)。

兩次分配存在的問題和對策研究見2.3節(jié)。

圖1 二次分配的技術(shù)流程圖Fig.1 Flowchart of quadratic allocation

2 初次分配中的問題與方法

2.1 分配模型與問題分析

測試性分配問題在數(shù)學(xué)上可描述為

γi=f1(λi) 1≤i≤N

(1)

γs=f2(γ1,γ2,…,γN)

(2)

0≤γi≤1

(3)

γsr≤γs≤1

(4)

式中：式(1)為分配函數(shù)，γi為第i個單元的分配指標(biāo)；N為系統(tǒng)組成單元數(shù)目；λi為第i個單元的故障率，是分配函數(shù)的自變量，若采用加權(quán)分配法，則用分配權(quán)重因子Wi代替λi；式(2)為驗(yàn)算函數(shù)，γs為由各單元的分配指標(biāo)綜合計算得到的總指標(biāo)，故障檢測率的驗(yàn)算式見式(10)；式(3)為邊界條件；式(4)為閉合條件，即由分配指標(biāo)再綜合得到的總指標(biāo)γs不低于要求 (待分配)的總指標(biāo)γsr，分配后必須檢驗(yàn)所分指標(biāo)是否滿足式(4)，稱之為指標(biāo)的閉合性驗(yàn)證。

理論上，初次分配可以采取上述任意一種現(xiàn)有分配方法。但由于初次分配時裝備通常處于研發(fā)早期，產(chǎn)品尚未開始設(shè)計，既無實(shí)際的故障率數(shù)據(jù)，亦無其他可用于指導(dǎo)分配的數(shù)據(jù)，可能僅有分配的故障率數(shù)據(jù)或相似產(chǎn)品的故障率數(shù)據(jù)，因此初次分配只能選擇等分法或故障率分配法。而后者能體現(xiàn)各單元指標(biāo)差異，更好地指導(dǎo)單元設(shè)計，如在初次分配時能夠獲取單元故障率數(shù)據(jù)，則應(yīng)盡量采用故障率分配法。

然而經(jīng)典故障率分配法會出現(xiàn)分配結(jié)果大于1，即不滿足式(3)的情況，須進(jìn)行算法改進(jìn)。

2.2 初次分配函數(shù)的推導(dǎo)

經(jīng)典故障率分配法出現(xiàn)異常結(jié)果的本質(zhì)原因是因?yàn)槠洳捎昧司€性分配函數(shù)[1]，沒有體現(xiàn)測試性指標(biāo)提升的一般規(guī)律，即：對于測試性水平低的單元，通過改進(jìn)設(shè)計提升其指標(biāo)相對容易；而對于測試性水平已經(jīng)較高的單元，進(jìn)一步提升指標(biāo)則相對困難。因此，對于分配權(quán)重(故障率)較低的單元，不應(yīng)分配過低的指標(biāo)，而應(yīng)分配一個相對值較低而絕對值不低的指標(biāo)；對于分配權(quán)重較高的單元，應(yīng)分配相對值較高而絕對值不能太高(如逼近于極限值1)的指標(biāo)。綜上，分配函數(shù)不應(yīng)是線性的，而應(yīng)為一個上凸的拋物線型函數(shù)，即單調(diào)遞增，且增速減緩(一階導(dǎo)數(shù)單調(diào)遞減)的函數(shù)。

令分配函數(shù)為

γ=f(λ)

(5)

式中：γ為分配的測試性指標(biāo)，據(jù)分析，f(λ)應(yīng)滿足以下規(guī)律:

可構(gòu)造滿足規(guī)律2的冪函數(shù)，即

(6)

式中：A、B、C和θ均為區(qū)間(0,+∞)內(nèi)的常數(shù)。不妨取θ=2(可以證明，當(dāng)取其他數(shù)值時，無法同時滿足兩個規(guī)律)，再對式(6)取積分得

(7)

(8)

至此，得到測試性分配函數(shù)的一般表達(dá)式，這是一個反正切函數(shù)，α為一個待定的未知量，它的取值必須使各單元的分配指標(biāo)滿足式(4)。

2.3 初次分配算法設(shè)計

依據(jù)式(8)，可得故障檢測率的分配函數(shù)為

(9)

故障檢測率的驗(yàn)算式為

(10)

給定要求達(dá)到的總的故障檢測率為γFDsr，將其與式(10)代入式(4)，有

(11)

將式(11)取等號，代入其他參數(shù)，采用數(shù)值方法可計算得到α的最小值αmin，本文采用MATLAB的fsovle(·)函數(shù)求解得到αmin。

再將αmin代入式(9)，即可得到各單元分配的故障檢測率指標(biāo)。故障隔離率指標(biāo)的分配函數(shù)可依據(jù)其定義照此方法類推得到。

同理可構(gòu)建滿足上述規(guī)律的指數(shù)分配函數(shù)：

(12)

式中：ω為待定參數(shù)，其滿足ω∈(0,1)，參考上述方法可計算得到ω的最大值ωmax，將其代入式(12) 即可得到滿足條件的單元分配指標(biāo)。

2.4 仿真算例

應(yīng)用文獻(xiàn)[1]中的案例進(jìn)行對比分析。該案例由5個單元構(gòu)成，待分配的指標(biāo)為γFDsr=0.95。應(yīng)用4種方法進(jìn)行分配，分配結(jié)果見表1。

方法1為反正切函數(shù)分配法，αmin=0.807 5，其分配結(jié)果分布在0.88～0.96之間，滿足式(3)，且隨著故障率變大，分配指標(biāo)增幅逐漸減小。

方法2為指數(shù)函數(shù)分配法，ωmax=0.950 9，其分配結(jié)果分布在0.77～0.99之間，比方法1的分布區(qū)間大，這是因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)的變化速度比反正切函數(shù)大。雖然拉開了各單元指標(biāo)的差距，但會導(dǎo)致故障率大的單元指標(biāo)趨近于1，實(shí)現(xiàn)難度增大。因此從指標(biāo)實(shí)現(xiàn)角度來看，反正切函數(shù)分配法比指數(shù)函數(shù)分配法更實(shí)用一些。

方法3為經(jīng)典故障率分配法，單元LRU1和LRU2分配的指標(biāo)僅為0.277 8，LRU4分配的指標(biāo)到達(dá)到1.394 0，這些指標(biāo)都是不合理的，可見經(jīng)典故障率分配法的實(shí)用性較差。

方法4為綜合加權(quán)法分配法，其采用多因素(故障率、故障影響、修復(fù)時間、診斷難易度、診斷成本)綜合加權(quán)，加權(quán)數(shù)據(jù)見文獻(xiàn)[1]，此方法還需指定分配指標(biāo)的上限，如本例中指定分配指標(biāo)上限為0.98?？梢钥闯?，由于采取多因素綜合加權(quán)，分配權(quán)重差距縮小，同時限定指標(biāo)上限，避免了分配指標(biāo)超過1的情況，但它仍是一種線性分配函數(shù)(綜合權(quán)重的線性函數(shù))，而且分配權(quán)重因子和分配上限的確定帶有主觀性。

表1 初次分配的仿真案例Table 1 Primary allocation of simulation case

經(jīng)驗(yàn)算，由4組分配結(jié)果綜合計算得到的總指標(biāo)依次為0.950 0、0.950 0、0.967 7、0.950 0，均不低于要求的總指標(biāo)0.95，通過閉合性驗(yàn)證。

除閉合性驗(yàn)證外，還需進(jìn)行可實(shí)現(xiàn)性驗(yàn)證，即考察所分配的指標(biāo)是否能夠設(shè)計實(shí)現(xiàn)，這需要結(jié)合實(shí)際設(shè)計反饋來驗(yàn)證，后文將給出可實(shí)現(xiàn)性驗(yàn)證方法。

圖2給出了以上4組分配方法的結(jié)果對比圖?？梢钥闯觯航?jīng)典故障率分配法得到的分配結(jié)果與故障率呈一條直線，故障率最大的單元很容易超出分配上限；綜合加權(quán)分配法、反正切函數(shù)分配法和指數(shù)函數(shù)分配法所得到的分配結(jié)果均與故障率呈非線性關(guān)系；綜合加權(quán)分配法與反正切函數(shù)分配法分配結(jié)果最接近。

考慮到反正切分配法所需的數(shù)據(jù)少于綜合加權(quán)分配法，而分配結(jié)果相近，因此該方法更加簡單實(shí)用。其他分配方法，如加權(quán)分配法、基于層次分析法的分配法以及優(yōu)化分配法雖未與反正切分配法進(jìn)行比較，但通過類比分析可知，用這些方法得到的結(jié)果應(yīng)與綜合加權(quán)分配法差別不大，且所需數(shù)據(jù)與綜合加權(quán)分配法相近。因此，可以認(rèn)為本文提出的反正切分配法優(yōu)于現(xiàn)有方法。

圖2 4種分配方法的結(jié)果對比Fig.2 Results comparison among four allocation methods

3 再次分配中的問題與方法

3.1 問題分析

再次分配需要解決的問題是：① 如何判斷初次分配是否存在指標(biāo)偏高/偏低情形，以及確定哪些單元指標(biāo)偏高/偏低；② 采取哪種方法實(shí)施再次分配。

對于問題①，再次分配的時機(jī)可選在測試性初步設(shè)計之后，此時可依據(jù)初步設(shè)計結(jié)果來判斷初次分配指標(biāo)是否偏高/低，定義如下參數(shù)。

事實(shí)上，在滿足式(4)的前提下，單元指標(biāo)修正的一般規(guī)律是：不可能全部提高或全部降低，必然是有的降低、有的提高，或者全部不變，這是一個相對的調(diào)整過程。據(jù)此再定義如下參數(shù)。

定義2單元測試性指標(biāo)實(shí)現(xiàn)相對難度系數(shù)，記為σk，其計算方法為

(13)

式中：Wk為單元k的測試性技術(shù)成熟度，其數(shù)值越大則實(shí)現(xiàn)單元所分指標(biāo)的技術(shù)難度越低；Ck為實(shí)現(xiàn)單元所分指標(biāo)的預(yù)計成本，其數(shù)值越大則指標(biāo)的實(shí)現(xiàn)難度越高；M為平均難度系數(shù)，其計算方法為

(14)

對于問題②，再次分配可采取以下兩種方式實(shí)施：① 基于此時已有的數(shù)據(jù)，如故障率、測試難易程度、測試成本等，采用已有方法，如綜合加權(quán)分配法或優(yōu)化分配法再分一次指標(biāo)；② 對初次分配的指標(biāo)進(jìn)行針對性的、局部的修正。第①種方式固然可行，但考慮到第②種方式更能體現(xiàn)兩次分配之間的迭代關(guān)系，且修正的方式對指標(biāo)偏高/低單元更具有針對性，故本文選擇后一種方式。

首先基于指標(biāo)預(yù)計結(jié)果判斷是否需求進(jìn)行修正。若對?k，都有εk≤0，則說明所有單元初步設(shè)計結(jié)果均滿足初次分配的指標(biāo)，此時無需修正；否則，需要進(jìn)行修正，修正策略如下：

定義3指標(biāo)修正函數(shù)，記為g(x)，其變量x=σk,g(x)滿足:

(15)

下面推導(dǎo)g(x)及其邊界條件。

3.2 修正函數(shù)的推導(dǎo)

(16)

顯然g(x)與初次分配函數(shù)f(λ)的規(guī)律相似，故參考2.2節(jié)的推導(dǎo)方法，可得到

g(x)=Darctan(βx)

(17)

將式(16)代入式(17)，可得

(18)

3.3 再次分配算法設(shè)計

將式(17)，x=σk代入式(15)，得到

(19)

參數(shù)β的計算方法如下：根據(jù)式(4)，有

(20)

3.4 仿真算例

再次應(yīng)用文獻(xiàn)[1]中的案例，給定單元測試性指標(biāo)實(shí)現(xiàn)相對難度系數(shù)(見表2第4列)，應(yīng)用上述方法計算得到分配結(jié)果(見表2第5列)。

表2 二次分配的仿真案例Table 2 Secondary allocation of simulation case

可以看出：單元1和單元4的相對難度系數(shù)為正，所以其指標(biāo)下調(diào)；單元3和單元5的相對難度系數(shù)為負(fù)，所以其指標(biāo)上調(diào)；單元2的相對難度系數(shù)為0，所以指標(biāo)不變；調(diào)整結(jié)果符合指標(biāo)修正的一般規(guī)律。此外，從閉合性驗(yàn)算結(jié)果來看，兩次分配的綜合指標(biāo)均為0.95，通過閉合性驗(yàn)證。

4 實(shí)例應(yīng)用

下面以某案例系統(tǒng)對本方法進(jìn)行演示驗(yàn)證。該系統(tǒng)由自動飛行控制計算機(jī)、自動飛行控制裝置、駕駛柱回傳作動器、駕駛盤回傳作動器、腳蹬回傳作動器、主飛控計算機(jī)、慣組系統(tǒng)、飛行管理系統(tǒng)和大氣數(shù)據(jù)計算機(jī)共9個單元組成。

采取圖1所示步驟實(shí)施分配。首先進(jìn)行初次分配，此時案例系統(tǒng)尚處于方案階段，僅已知待分配的故障檢測率指標(biāo)為0.95，以及經(jīng)可靠性分配得到的單元故障率數(shù)據(jù)(見表3第2列)。

鑒于可用數(shù)據(jù)有限，故采用反正切函數(shù)分配法實(shí)施初次分配，利用式(11)計算得到αmin=0.255 2，代入式(9)計算得到各單元指標(biāo)(見表3第3列)。該結(jié)果經(jīng)閉合性驗(yàn)證滿足式(4)。

然后，依據(jù)初次分配的指標(biāo)實(shí)施測試性初步設(shè)計，包括單元失效模式與影響分析(FMEA)，單元測試選擇等，據(jù)此應(yīng)用測試性建模分析軟件構(gòu)建系統(tǒng)測試性模型，如圖3所示。

應(yīng)用該軟件進(jìn)行測試性指標(biāo)預(yù)計，得到各單元的故障檢測率預(yù)計值(見表3第4列)，可以看出各單元均未達(dá)到初次分配的指標(biāo)。而且在設(shè)計中發(fā)現(xiàn)各單元實(shí)現(xiàn)測試的難易程度不同，于是對各單元的測試技術(shù)成熟度和測試成本進(jìn)行評分，再利用式(13)計算得到各單元相對難度系數(shù)(見表3第5列)。

應(yīng)用本文第4節(jié)方法實(shí)施再次分配，利用式(20) 計算得到βmax=0.000 5，將其代入式(17)計算得到各單元指標(biāo)(見表3第6列)，該結(jié)果經(jīng)閉合性驗(yàn)證也滿足式(4)。

可以看出，自動飛行控制裝置和3個作動器實(shí)現(xiàn)初次分配指標(biāo)的難度較大，其相對難度系數(shù)均為50，所以再次分配的指標(biāo)均得到不同程度的下調(diào)，4臺計算機(jī)和慣組系統(tǒng)的相對難度系數(shù)為-40，所以再次分配的指標(biāo)得到上調(diào)，這樣系統(tǒng)總的指標(biāo)得以滿足，且符合指標(biāo)修正的一般規(guī)律。雖然各單元最終分得的指標(biāo)均高于單元預(yù)計結(jié)果，但由于修正過程綜合考慮了單元技術(shù)成熟度和成本因素，所以相對而言是合理的。

表3 案例系統(tǒng)測試性指標(biāo)二次分配Table 3 Quadratic allocation of the actual case

圖3 真實(shí)案例系統(tǒng)測試性模型Fig.3 System testability model for actual case

最后，對分配的指標(biāo)進(jìn)行可實(shí)現(xiàn)性檢驗(yàn)。定義E(i)描述分配指標(biāo)的可實(shí)現(xiàn)性，其計算式為

(21)

由于本案例系統(tǒng)尚未最終完成測試性設(shè)計，故將各單元預(yù)計可達(dá)到的指標(biāo)代替最終設(shè)計達(dá)到的指標(biāo)，代入式(21)計算得到E(1)=1.072 0,E(2)=1.049 4，二者相比可見再次分配的指標(biāo)比初次分配的指標(biāo)更趨緊于預(yù)計的單元指標(biāo)，據(jù)此初步判定再次分配的指標(biāo)實(shí)現(xiàn)性更好，即二次分配優(yōu)于一次分配。

5 結(jié) 論

針對目前測試性指標(biāo)采取一次性分配，缺乏必要的反饋和迭代的問題，提出了一種基于二次分配的測試性指標(biāo)分配方法，通過指標(biāo)可實(shí)現(xiàn)性驗(yàn)證，該方法優(yōu)于一次性分配方法。

針對初次分配，提出了一種基于反正切函數(shù)的分配法。仿真計算表明，該方法僅利用故障率數(shù)據(jù)，就得到了與利用多種數(shù)據(jù)的綜合加權(quán)分配法幾乎相同的分配結(jié)果，顯著優(yōu)于僅使用故障率數(shù)的經(jīng)典故障率分配法，證明該方法較為合理，且簡單實(shí)用。

針對再次分配，提出了一種基于單元相對難度系數(shù)的修正函數(shù)，對指標(biāo)偏高/偏低的單元實(shí)施局部修正。實(shí)例計算表明，經(jīng)過修正后的指標(biāo)不僅滿足閉合性條件，而且指標(biāo)可實(shí)現(xiàn)性顯著優(yōu)于初次分配的指標(biāo)。