基于“核心素養(yǎng)”的數(shù)學直觀能力培養(yǎng)途徑①

林新建

(福建省漳州第一中學 363000；閩南師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院 363000)

無論進行怎樣的教學，培養(yǎng)學生的“數(shù)學直觀”是非常重要的.本文從一道試題解法的探析入手，就其自然性的啟示闡述“數(shù)學直觀”在發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)上的意義和途徑.

1 “自然”的啟示

例1(2010年高考全國卷理科21題)

設(shè)函數(shù)f(x)=ex-1-x-ax2.

(Ⅰ)若a=0，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)若當x≥0時f(x)≥0，求a的取值范圍.

解析本題是2010年課標全國卷理科壓軸題，試題的第(Ⅱ)問難住了眾多師生，而高考標準答案同樣也讓他們費解——這樣的解答是如何想到的呢？

這樣的解答深奧難懂，解法極不自然，就是我們老師都看不懂，我們又該如何去跟學生講應(yīng)該這樣解呢？

有沒有較為自然簡潔的解法呢？若有，怎么想到的呢？

注意到這是函數(shù)問題，我們不妨從“直觀上”加以理解.

首先，“當x≥0時f(x)≥0”，直觀意義即“f(x)在(0,+∞)上的圖象位于x軸的上方”.

由于f(x)=ex-1-x-ax2，f(0)=0，f(x)的圖象過原點，所以直觀f(x)的圖象在x=0右側(cè)附近必須遞增，從而f′(x)≥0對x=0右側(cè)附近成立.

其次，因為f'(x)=ex-1-2ax，f′(0)=0，f′(x)的圖象也過原點，所以直觀f′(x)的圖象在x=0右側(cè)附近必須遞增，從而f″(x)≥0對x=0右側(cè)附近成立.

有了這個結(jié)果就好辦了！接下來我們只要證明：

一道難題，由于對“直觀意義”的挖掘，我們將解答進行得如此輕松！

2 直觀的意義：抽象推理建模的思維基礎(chǔ)

回顧以上探究歷程，我們不難明白問題得以解決的關(guān)鍵所在——對題目意思所作的“直觀理解”與最終結(jié)果的“直觀預(yù)測”.

通常在理解題目階段，需要對題目中的隱含條件和信息進行發(fā)掘，將抽象變具體，將隱含變清晰.而如何將“抽象變具體，將隱含變清晰”，這需要“數(shù)學直觀”地“從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)”，在這個過程中，“數(shù)學抽象素養(yǎng)”得到了培養(yǎng)和發(fā)展.

如何引領(lǐng)學生思考“按照怎樣的線索、用什么方法去研究問題、解決問題”，

這需要“數(shù)學直觀”地去“歸納、類比、聯(lián)想、發(fā)現(xiàn)”.在這個過程中，“邏輯推理素養(yǎng)”得到了培養(yǎng)和發(fā)展.

如何引領(lǐng)學生思考“面對一個新的研究對象，從哪些角度發(fā)現(xiàn)和提出值得研究的問題？”這需要“數(shù)學直觀”地去“發(fā)現(xiàn)模型、構(gòu)建模型”.在這個過程中，“數(shù)學建模素養(yǎng)”得到了培養(yǎng)和發(fā)展.

例2(2012年高考新課標卷Ⅰ理科21題)

(Ⅰ)求f(x)的解析式及單調(diào)區(qū)間；

解析第(Ⅰ)問簡單，難在第(Ⅱ)問.

現(xiàn)在的問題是，如何由ex≥(a+1)x+b，求(a+1)b的最大值呢？

這是難點，似乎無從下手，還得從“直觀上”加以理解.

首先，直觀函數(shù)y=ex與y=(a+1)x+b的圖象，要使上式恒成立，必須a+1>0，從而知要使(a+1)b最大，必須b>0.

這是“從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出規(guī)律和結(jié)構(gòu)”的“數(shù)學抽象”過程，所依賴的是“數(shù)學直觀——直觀理解”.

其次，直觀要使得ex≥(a+1)x+b恒成立，函數(shù)y=ex與y=(a+1)x+b的圖

象必須相切.

這是“從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則推出一個命題”的“邏輯推理”過程，所依賴的是“數(shù)學直觀——直觀判斷”.

至此，只要設(shè)出切點(x0,y0)，利用相切條件得出a、b、x0之間的關(guān)系，進而得到(a+1)b關(guān)于a、b或x0的目標函數(shù)，問題不難獲解.

這是“用數(shù)學知識與方法構(gòu)建模型(函數(shù)模型)解決問題”的“數(shù)學建?！边^程，所依賴的是“數(shù)學直觀——直觀預(yù)測”.

從以上的求解過程中，我們不難明白，正是緣于“直觀理解”，我們對題目中的隱含條件和信息進行抽象，將抽象變具體，將隱含變清晰，同時借助“直觀判斷”對問題進行“邏輯推理”，借助“直觀預(yù)測”進行“數(shù)學建?！?在這個“直觀理解、直觀判斷、直觀預(yù)測”的“數(shù)學直觀”過程中，“數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建?！钡葦?shù)學核心素養(yǎng)得到了培養(yǎng)和發(fā)展.

“數(shù)學直觀”是我們學會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界、學會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界、學會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界的前提，是我們進行數(shù)學抽象、邏輯推理和數(shù)學建模的思維基礎(chǔ).

3 直觀的途徑：直觀引來“簡潔美”

眾所周知，“具體”中蘊含的信息具有豐富性、多樣性，觀察也可以有不同角度，因而從同一事例中可發(fā)現(xiàn)不同規(guī)律；同時，表面的東西大家都能看到，“藏在”背后的才有“含金量”.

所以，面對具體事例，關(guān)鍵是“你怎么看”？這是看問題的角度、高度以及切入點，需要知識的支撐，還需要歷練.

學生經(jīng)常出現(xiàn)“不是做不到，而是想不到”的尷尬，主要是他們的閱歷還不足以使自己“想得到”.

教學中教師要在“你怎么看”上下功夫，即在如何“直觀”上下功夫，引領(lǐng)學生直觀問題的本質(zhì)，感知問題特征，努力使他們“想得到”，將問題解答得簡潔完美.

3.1 直觀圖形內(nèi)隱特征

很多題目與圖形密切相關(guān)，但圖形的特征是內(nèi)隱的，不容易被發(fā)現(xiàn).若能將其特征予以直觀，可以獲得簡單巧妙的解法.

例3(2013年高考新課標卷Ⅰ理科16題)

若函數(shù)f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的圖像關(guān)于直線x=-2對稱，則f(x)的最大值是.

解析本題按常規(guī)方法求解較為繁瑣，運算量也不小，若能直觀函數(shù)的圖形內(nèi)隱特征，則可輕松將問題解決，且?guī)缀鯖]有計算量.

首先，直觀函數(shù)f(x)有兩個零點-1和1，又因為函數(shù)圖像關(guān)于直線x=-2對稱，所以感知f(x)還有兩個零點-3和-5，從而得f(x)=-(x-1)(x+1)(x+3)(x+5).

其次，直觀若將f(x)的圖像向右平移兩個單位，其最大值不會改變，于是問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)g(x)=-(x-3)(x-1)(x+1)(x+3)的最大值.

易知g(x)=-(x2-9)(x2-1)=-(x2-5)2+16，其最大值為16，這多簡潔！

評析由于“直觀”，我們“從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出函數(shù)具有4個零點”，同時從條件出發(fā)，“依據(jù)邏輯推出若將f(x)的圖像向右平移兩個單位，其最大值不會改變”這一命題.在這個過程中，“數(shù)學抽象、邏輯推理”等核心素養(yǎng)得到了發(fā)展.

3.2 直觀變量變化規(guī)律

變量的變化必然有其規(guī)律，只有直觀變化規(guī)律，方能便于我們感知，進而依據(jù)變化規(guī)律將其輕松求解.

例4(2014高考課標全國卷Ⅰ第8題)

解析本題按常規(guī)方法求解較為繁瑣，也需要耗費一定的時間，若能直觀變量α、β的變化規(guī)律，問題瞬間可解.

評析由于“直觀”，我們“從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系中抽象出α與β的關(guān)系及β的變化規(guī)律”，同時“依據(jù)邏輯進行推理”.在這個過程中，“數(shù)學抽象、邏輯推理”等核心素養(yǎng)得到了發(fā)展.

3.3 直觀點線運動軌跡

點線運動有軌跡，只有直觀軌跡特征，方能便于感知，進而依據(jù)軌跡特征將問題輕松求解.

例5(2009年高考新課標卷Ⅰ理科第10題)

A．a(chǎn)2+b2≤1 B．a(chǎn)2+b2≥1

解析本題按常規(guī)方法求解似乎無從下手，若能直觀動點M的運動軌跡，問題可輕松獲解.

評析由于“直觀”，我們“從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出動點運動的一般規(guī)律”，并“依據(jù)邏輯規(guī)則進行推理”，將問題的求解進行得輕松自在.在這個過程中，“數(shù)學抽象、邏輯推理”核心素養(yǎng)得到了發(fā)展.

3.4 直觀模型結(jié)構(gòu)特點

直觀模型結(jié)構(gòu)特點，進而借助模型求解問題，可將問題輕松予以解決.

由于“直觀”，我們“從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系中抽象出一般的模型和結(jié)構(gòu)”，并“用數(shù)學知識與方法構(gòu)建模型解決了問題”.這是一個抽象、建模、推理的過程，在這個過程中，“數(shù)學抽象、數(shù)學建模、邏輯推理”等核心素養(yǎng)得到了發(fā)展.

例6(2011年高考大綱全國卷第12題)

解析本題按常規(guī)方法求解異常繁瑣，若能直觀其模型結(jié)構(gòu)特點，問題輕松可解.

也是由于“直觀”，我們“從數(shù)量與數(shù)量的關(guān)系中抽象出一般的模型和結(jié)構(gòu)”，并“用數(shù)學知識與方法構(gòu)建模型解決了問題”，在這個“抽象、建模、推理”的過程中，“數(shù)學抽象、數(shù)學建模、邏輯推理”等核心素養(yǎng)得到了發(fā)展.

3.5 直觀思想立意要領(lǐng)

對于解題，絕大部分學生不是不會方法，而是由于沒有站在思想的高度來思考和引領(lǐng)方法，或者是因為思想不明確而想不起來用什么方法來處理問題.因此，指導學生直觀思想立意要領(lǐng)，運用思想引領(lǐng)方法就顯得尤為重要了！

例7(2010年高考新課標卷Ⅰ理科11題)

若a,b,c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，則abc的取值范圍是( )

A．(1,10) B．(5，6)

C．(10,12) D．(20,24)

由于“直觀”，我們“從數(shù)量與數(shù)量的關(guān)系中抽象出一般規(guī)律——問題的一般性”，再立意于“特殊與一般思想”對問題“從特殊到一般、一般到特殊”地推理，在這個過程中，“數(shù)學抽象、邏輯推理”等核心素養(yǎng)得到了發(fā)展.

例8(2011年高考新課標卷Ⅰ理科16題)

解析本題是三角形求解問題，解決問題的通法是“知三求三”，但是直觀題目只給出一邊一角，顯然條件少了.

直觀這是最值求解問題，需要引入變量，構(gòu)造出待求最值關(guān)于這個變量的函數(shù)，為此不妨設(shè)∠A=θ，則∠C=120°-θ，由正弦定理得：

從而AB+2BC=2sin(120°-θ)+4sinθ

由于“直觀”，我們“從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)了問題(最值求解問題)，并提出問題、分析問題，構(gòu)建模型(函數(shù)模型)”，再“依據(jù)邏輯規(guī)則進行推理”， 這是一個抽象、建模、推理的過程.在這個過程中，“數(shù)學抽象、數(shù)學建模、邏輯推理”等核心素養(yǎng)得到了發(fā)展.

4 結(jié)語：“直觀”恒久，素養(yǎng)終成

經(jīng)驗之中有規(guī)律，是我們認識問題的一般過程和方法，也闡明了一個簡單但很深刻的教學原理：經(jīng)驗是具體的，規(guī)律則是抽象的.規(guī)律不是從天而降的，而是從具體經(jīng)驗中經(jīng)過不斷歸納、概括才能得到的.

如何才能培養(yǎng)學生“從經(jīng)驗中發(fā)現(xiàn)規(guī)律”的能力呢？

首先，要培養(yǎng)學生從“從一般規(guī)律的高度考察具體事例”的意識，逐步養(yǎng)成“透過現(xiàn)象看本質(zhì)”的習慣.這是觀念問題，是思維習慣問題，也是思想方法問題，需要一個長期的、潛移默化的過程，需要有意識地培養(yǎng).

其次，要讓學生掌握觀察事例、從經(jīng)驗中歸納規(guī)律、把具體事例中得到的東西概括到全體中去的基本方法，使他們逐步學會歸納、學會抽象、學會概括，進而形成“從經(jīng)驗中發(fā)現(xiàn)規(guī)律”的能力.

簡言之，就是培養(yǎng)學生“直觀”的習慣與“感知”的能力！

“直觀”是一個人長期進行數(shù)學思維形成的，是逐漸養(yǎng)成的一種思維習慣，這個習慣日積月累就形成了數(shù)學素養(yǎng).