彈性基底非加載邊彈性轉(zhuǎn)動(dòng)約束矩形板線性受壓屈曲分析

向勇斌1，莫時(shí)旭1，鄭艷2

(1.桂林理工大學(xué)土木與建筑工程學(xué)院， 廣西桂林541004；2.廣西建筑新能源與節(jié)能重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 廣西桂林541004)

0 引言

我國鋼材的產(chǎn)量歷年攀升，國家出臺(tái)相關(guān)支持政策推動(dòng)鋼結(jié)構(gòu)在建筑行業(yè)中的應(yīng)用，而鋼—混凝土組合結(jié)構(gòu)作為一種新型的結(jié)構(gòu)，得到了快速的發(fā)展，同時(shí)鋼結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性問題在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中越來越受到重視，國內(nèi)外學(xué)者近年來對(duì)矩形薄壁鋼板屈曲問題的理論分析主要分為兩類。

一類是雙向屈曲問題，國外學(xué)者TIMOSHENKO等[1]利用能量法提出了在不同邊界條件下、不同面內(nèi)作用力下矩形薄板自由屈曲的理論計(jì)算模型；國內(nèi)學(xué)者童根樹等[2]采用有限單元法研究了四邊簡支矩形板在局部承壓、彎曲與剪切聯(lián)合作用下的彈性屈曲行為；劉沐宇等[3-5]采用Rayleigh-Ritz法研究了彈性轉(zhuǎn)動(dòng)邊界約束鋼—混組合梁腹板的剪切屈曲。

另一類是單邊屈曲問題，國外學(xué)WRIGHT等[6-8]研究了混凝土填充鋼管的局部屈曲問題；UY等[9]研究了組合截面墻的局部屈曲問題；OEHLERS等[10-11]研究了組合截面梁在壓力和彎曲作用下的屈曲問題；WRIGHT等[12]使用Timoshenko能量法研究了長薄板的單邊屈曲問題；SMITH等[13]采用Rayleigh-Ritz法研究了彈性支承薄板的屈曲行為；國內(nèi)學(xué)者何保康等[14]研究了矩形鋼管混凝土柱管壁局部屈曲性能；莫時(shí)旭等[15-19]采用Rayleigh-Ritz法研究了薄板基于剛性基底的非加載邊彈性轉(zhuǎn)動(dòng)約束面內(nèi)均勻受壓和線性壓力作用下的局部屈曲問題；毛佳等[20]采用Rayleigh-Ritz法研究了基于彈性基底的非加載邊彈性轉(zhuǎn)動(dòng)約束面內(nèi)均勻受壓作用下薄板的局部屈曲問題。

目前國內(nèi)關(guān)于彈性基底的非加載邊轉(zhuǎn)動(dòng)約束面內(nèi)非均勻受壓下的薄板單向屈曲問題的研究尚不充分，文章采用Rayleigh-Ritz法推導(dǎo)了上述邊界條件下矩形薄板的單向屈曲計(jì)算公式，進(jìn)一步分析了彈性基底剛度K、邊界轉(zhuǎn)動(dòng)約束剛度ξ、長寬比γ、壓力梯度λ、厚度t對(duì)臨界屈曲系數(shù)κ的影響，理論計(jì)算公式所得κ值與文獻(xiàn)[1，15-20]中的κ值一致，且各參數(shù)影響曲線相似。

1 理論計(jì)算

Rayleigh-Ritz法，是應(yīng)用勢能駐值原理求解穩(wěn)定問題題的一種近似方法。使用靜力平衡的方法求解穩(wěn)定問題，需要用微分方程來求解，然而有許多微分方程的通解較難求得，這就需尋找一些近似的容易求解的方法。Rayleigh-Ritz法的特點(diǎn)，是采用具有幾個(gè)廣義坐標(biāo)的位移函數(shù)近似地代替真實(shí)的位移曲線，也就是將原來為無限個(gè)變量的泛函變分問題轉(zhuǎn)化為有限個(gè)變量的函數(shù)極值問題來處理。這樣，根據(jù)勢能駐值原理的極值條件，用導(dǎo)數(shù)求極值問題的方法，將求解微分方程的轉(zhuǎn)化為求解代數(shù)方程。

計(jì)算模型見圖1，其相關(guān)參數(shù)如下：

a為矩形薄板長度;

b為矩形薄板寬度;

E為鋼材彈性模量;

t為薄板厚度;

ν為鋼材泊松比;

ξ為邊界彈性轉(zhuǎn)動(dòng)約束剛度;

K為彈性支承剛度;

Nt為端部壓力;

Nb為端部拉力;

根據(jù)已有文獻(xiàn)研究結(jié)論，矩形薄板屈曲后的模態(tài)為橫向一個(gè)半波、縱向連續(xù)多個(gè)半波，本文考慮縱向屈曲成m個(gè)半波，故選擇位移函數(shù)為：

(1)

式中：φ0～φ4由邊界條件確定。

W(x，0)=W(x，b)=W(0，y)=W(a，y)=0,

(2)

(3)

(4)

將式(1)代入式(2)、(3)、(4)得：

φ0=0;φ1=φ1；φ2=Xφ1；φ3=-2(1+X)φ1；φ4=(1+X)φ1,

β=φ1α。

將結(jié)果代入式(1)得：

(5)

彈性支承勢能Uk、板彎曲應(yīng)變能Ue、邊界轉(zhuǎn)動(dòng)約束勢能Uξ和軸向載荷Nx所作功V分別為：

(6)

(7)

(8)

(9)

根據(jù)最小勢能原理得：

δΠ=δUe+δUξ+δUk-δV=0,

(10)

(11)

將求解泛函變分問題轉(zhuǎn)化為求解關(guān)于β線性方程組非零解的問題，由其系數(shù)行列式為零，得臨界荷載為：

(12)

(13)

其中：η1=31+11X+X2η2=3024+3528X+504X2η3=612+216X+24X2。

2 參數(shù)分析

2.1 長寬比分析

當(dāng)X=0，λ=0，Y=0，工況為四邊簡支不同長寬比矩形板均勻受壓雙向屈曲，根據(jù)方程(13)可得

(14)

方程式(14)與文獻(xiàn)[1]中方程一致，根據(jù)方程(14)取不同的長寬比，計(jì)算得出一階(m=1)、二階(m=2)屈曲模態(tài)相關(guān)數(shù)據(jù)，見表1、如圖2所示。

表1 不同長寬比下屈曲系數(shù)Tab.1 Relation between γ and κ

圖2 γ-κ關(guān)系Fig.2 Relation between γ and κ

從表1、圖2中可以得出結(jié)論：

一階(m=1)屈曲模態(tài)長寬比γ小于1時(shí)，屈曲系數(shù)κ隨著長寬比γ的增大而降低，長寬比為γ=1時(shí)，κ為最低值，此κ后隨著長寬比γ的增大而增加；二階(m=2)屈曲模態(tài)長寬比γ小于2時(shí)，屈曲系數(shù)κ隨著長寬比γ的增大而降低，長寬比為γ=2時(shí)，κ為最低值，此κ后隨著長寬比γ的增大而增加，與文獻(xiàn)[1]得出的結(jié)論一致。

根據(jù)方程(14)，可求得一階曲線與二階曲線在點(diǎn)γ=1.414處相交。對(duì)于長寬比小于1.414的薄板，屈曲模態(tài)為一階；長寬比大于1.414的薄板，屈曲模態(tài)為二階。即臨界屈曲曲線為一階曲線左半部分和二階屈曲曲線右半部分組合而成，對(duì)于m≥3的高階模態(tài)，可采用類似方法推導(dǎo)。

2.2 壓力梯度分析

當(dāng)m=1，X=0，γ=1，Y=0，工況為四邊簡支正方形板雙向屈曲(一階)時(shí)，根據(jù)方程(13)計(jì)算得出相關(guān)數(shù)據(jù)，見表2、如圖3所示。

表2 不同壓力梯度下屈曲系數(shù)Tab.2 Relation between λ and κ

從表2、圖3中可以得出結(jié)論：λ為0時(shí)即均勻壓力，κ=4.002；λ為1時(shí)即三角形壓力，κ=8.102 8，隨著λ的增加，κ值的增加，即臨界屈曲系數(shù)隨著壓力梯度的增大而增大。

2.3 彈性轉(zhuǎn)動(dòng)約束系數(shù)分析

當(dāng)m=1，λ=0，γ=1，Y=0，工況為加載邊簡支非加載邊彈性約束正方形板均勻受壓雙向屈曲(一階)時(shí)，根據(jù)方程(13)計(jì)算得出相關(guān)數(shù)據(jù)，見表3、如圖4所示。

表3 不同轉(zhuǎn)動(dòng)約束系數(shù)下的屈曲系數(shù)Tab.3 Relation between X and κ

圖3λ-κ關(guān)系
Fig.3 Relation betweenλandκ

圖4X-κ關(guān)系
Fig.4 Relation betweenXandκ

從表3、圖4中可以得出結(jié)論：X=0時(shí)即非加載邊簡支，0

2.4 厚度分析

當(dāng)m=1，X=0，λ=0，γ=1，工況為四邊簡支不同支承剛度正方形板均勻受壓雙向屈曲(一階)時(shí)，根據(jù)方程(13)得：

(15)

假設(shè)E=2.1×1011Pa，K=1×105Pa，b=1 m，a=1 m，由方程(15)得到相關(guān)數(shù)據(jù)，見表4、如圖5所示。

表4 不同厚度下屈曲系數(shù)Tab.4 Relation between κ and t

從表4、圖5中可以得出結(jié)論：

κ是t的單調(diào)遞減函數(shù)，即鋼板厚度t的增加，屈曲系數(shù)κ減少，出現(xiàn)單調(diào)遞減趨勢。這是因?yàn)殇摪搴穸容^薄，鋼板本身抗彎剛度較小，基底的剛度對(duì)鋼板提供的約束相對(duì)較大，故表征不同邊界條件的臨界屈曲系數(shù)較大，當(dāng)鋼板厚度較厚時(shí)，鋼板本身抗彎剛度較大，基底的剛度對(duì)鋼板提供的約束相對(duì)較小，故臨界屈曲系數(shù)較小。

從表5、圖6中可以得出結(jié)論：κ是K的單調(diào)遞增函數(shù)，則支撐剛度K的增加，屈曲系數(shù)κ增加，與文獻(xiàn)[20]所得結(jié)論一致。

2.5 基底剛度分析

當(dāng)m=1，X=0，λ=0，γ=1，工況為四邊簡支不同支承剛度正方形板均勻受壓雙向屈曲(一階)時(shí)，根據(jù)方程(15)，假設(shè)E=2.1×1011Pa，t=0.01 m，b=1 m，a=1 m，由方程(15)得到相關(guān)數(shù)據(jù)，見表5、如圖6所示。

表5 不同支承剛度下屈曲系數(shù)Tab.5 Relation between K and κ

圖5κ-t關(guān)系
Fig.5 Relation betweenκandt

圖6K-κ關(guān)系
Fig.6 Relation betweenKandκ

3 結(jié)語

①采用Rayleigh-Ritz法得到了彈性基底上非加載邊彈性轉(zhuǎn)動(dòng)約束矩形板面內(nèi)非均勻受壓條件下彈性屈曲計(jì)算公式，方法中假設(shè)的位移函數(shù)符合位移和力學(xué)邊界條件，形式簡單、計(jì)算方便，該方法計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[1，15-20]中的計(jì)算值相比很吻合，該計(jì)算理論有廣泛的適用性。

②矩形薄板臨界屈曲系數(shù)隨著壓力梯度的增大而增大；矩形薄板非加載邊彈性轉(zhuǎn)動(dòng)約束系數(shù)X=0時(shí)即可視為非加載邊簡支，0

③在實(shí)際工程應(yīng)用中，轉(zhuǎn)動(dòng)約束系數(shù)X、基底剛度K、壓力梯度λ、長寬比γ等參數(shù)可以計(jì)算得出，在X、K、λ、γ確定的前提下，為了避免矩形薄板發(fā)生局部屈曲，致使構(gòu)件承載力降低，可通過限制矩形薄板的寬厚比，確保矩形薄板不出現(xiàn)屈曲現(xiàn)象。

④文章考慮基于彈性基底的面內(nèi)非均勻受壓下矩形薄板的屈曲行為，實(shí)際工程中的薄板受力較為復(fù)雜，面內(nèi)存在剪切力和非均勻壓力的同時(shí)作用，這種復(fù)雜受力條件下的理論屈曲公式較難推導(dǎo)。