(2+1)維廣義淺水波方程的非局部對(duì)稱(chēng)及精確解

張琳琳,呂海玲

(1.聊城大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 聊城 252059;2.棗莊學(xué)院，山東 棗莊 277160 )

0 引言

非線性微分方程在很多領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用，如量子理論[1～2]、有限元[3～4]等，求解非線性微分方程一直是數(shù)學(xué)家研究的重要方向之一.19世紀(jì)，挪威數(shù)學(xué)家Sophus Lie從求解微分方程入手，依靠微分幾何方法和射影幾何方法建立起一種變換[5]，這種變換將空間直線簇和球面一一對(duì)應(yīng).不久又引入了一般的連續(xù)變換群的概念，此變換群可將微分方程的解表示出來(lái)并加以分類(lèi)，這就是我們現(xiàn)在研究的Lie變換群[6～7].經(jīng)過(guò)多年的研究，Lie群的概念得到了飛速的發(fā)展，產(chǎn)生了很多推廣方法，如經(jīng)典、非經(jīng)典Lie群方法，廣義條件對(duì)稱(chēng)方法，特別是近些年由Vinogradov和Krasil’shchik提出的非局部對(duì)稱(chēng)，不管是從理論還是應(yīng)用方面都得到了很大的飛躍，拓展了Lie群方法的應(yīng)用范圍，得到了以往方法難以構(gòu)造的新結(jié)果.1988年Bluman提出了勢(shì)對(duì)稱(chēng)的概念，利用方程的勢(shì)系統(tǒng)構(gòu)造非局部對(duì)稱(chēng)，此方法非常有效，并且可以應(yīng)用計(jì)算機(jī)求解，不僅提高了運(yùn)算的準(zhǔn)確性，而且擴(kuò)展了非局部對(duì)稱(chēng)的范圍.2012年樓森岳等[8]，利用Darboux變換、 B?cklund 變換構(gòu)造非局域?qū)ΨQ(chēng)，并成功地把非局域?qū)ΨQ(chēng)局域化，給出了KdV方程一些新的精確解，如橢圓周期波和孤立子的相互作用解，這些新的結(jié)果為研究這些方程的物理機(jī)制指明了方向.

在研究非局域?qū)ΨQ(chēng)的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)[9～11]，非局部對(duì)稱(chēng)都是與一些輔助系統(tǒng)有關(guān)系，如勢(shì)系統(tǒng)、B?cklund變換等，通過(guò)引入不同的輔助系統(tǒng)，可以構(gòu)造方程不同類(lèi)型的非局域?qū)ΨQ(chēng)，這些對(duì)稱(chēng)可以用來(lái)構(gòu)造系統(tǒng)的新的精確解、守恒律等工作.

本文將利用廣義淺水波方程的Lax對(duì)作為輔助系統(tǒng)，構(gòu)造方程的非局部對(duì)稱(chēng)及精確解，(2+1)維廣義淺水波方程有下面的形式，

uxt+auxuxy+buyuxx+cuxy+duxxxy=0

(1)

其中a,b,c,d為任意常數(shù).

當(dāng)a=b=d=1,c=0時(shí),方程轉(zhuǎn)化為一般的淺水波方程.當(dāng)a+b=-6,c=0,d=1，則方程轉(zhuǎn)化為著名的KdV方程uxt-6uxuxx+uxxxx=0.據(jù)我們查詢(xún)所知，此方程的非局部對(duì)稱(chēng)還沒(méi)有人研究，因此研究此方程的非局部對(duì)稱(chēng)及精確的相互作用解是非常有意義的工作.在研究方程的非局部對(duì)稱(chēng)之前，我們先利用截?cái)郟ainlevé分析研究此方程的Schwartzian形式，為后面非局部方程的應(yīng)用打好基礎(chǔ).

1 (2+1)維廣義淺水波方程的截?cái)郟ainlevé分析

(2)

首先我們對(duì)方程(2)做Painlevé截?cái)喾治?，通過(guò)領(lǐng)頭項(xiàng)分析可知，可以假設(shè)方程(2)具有下面形式的解，

(3)

其中u0,u1是(x,y,t)的函數(shù)，φ=φ(x,y,t)是一個(gè)任意的奇異流形.通過(guò)計(jì)算可知，

(4)

因此得到(3)的具體形式為，

而且，方程(2)滿(mǎn)足下面Schwartzian形式，

(5)

我們知道，方程的Schwartzian形式(5)在M?bius變換下是不變的，

(6)

因此，可以通過(guò)(5)的解，以及變換(6)構(gòu)造新的精確解.

2 (2+1)維廣義淺水波方程的的非局部對(duì)稱(chēng)

為了構(gòu)造方程(2)的非局部對(duì)稱(chēng)，首先給出方程的Lax對(duì)[12]，

ψxx=-uxψ,

(7)

通過(guò)相容性條件ψxxt=ψtxx即可得到方程(2).

通過(guò)計(jì)算可知，方程(2)的對(duì)稱(chēng)滿(mǎn)足下面線性方程，

(8)

對(duì)稱(chēng)σ1具有下面的形式，

(9)

(10)

σ1=ψ2.

(11)

由于非局部對(duì)稱(chēng)不可以直接用來(lái)構(gòu)造群不變解，因此我們需要構(gòu)造一個(gè)擴(kuò)大系統(tǒng)，使之Lie對(duì)稱(chēng)等價(jià)于方程(2)的非局部對(duì)稱(chēng)，由Lax對(duì)(7)可得，

(12)

其中變換u→u+εσ1,ψ→ψ+εσ2.

為了求得σ2，根據(jù)方程組(12)可以令

σ2=ψφ，

(13)

把(11)(13)帶入(12)可得下面相容方程組，

(14)

而且可以驗(yàn)證，變量φ滿(mǎn)足方程(2)的Schwartzian形式(5)，這為我們后面計(jì)算帶來(lái)的方便，而且φ滿(mǎn)足的對(duì)稱(chēng)為σ3=φ2.因此方程組(2)，(7)，(14)稱(chēng)為封閉系統(tǒng)，利用得到的對(duì)稱(chēng)，可以構(gòu)造系統(tǒng)的群不變解，求解下面初值問(wèn)題，

(15)

求解(15)得到，

(16)

例如，我們給出方程(2)的一個(gè)簡(jiǎn)單的解u=2tanh(x)，可以計(jì)算ψ,φ滿(mǎn)足

把上述解 帶入到(16)式即可已得到方程(2)新的精確解，由于式子比較繁瑣，這里就不再給出了.

3 (2+1)維廣義淺水波方程新的精確解

為了利用非局部對(duì)稱(chēng)得到更多的精確解，我們可以利用封閉系統(tǒng)的Lie對(duì)稱(chēng)來(lái)研究，為此，先研究封閉系統(tǒng)的Lie對(duì)稱(chēng).

因?yàn)榉忾]系統(tǒng)的對(duì)稱(chēng)滿(mǎn)足方程(8)(12)以及

(17)

假設(shè)σ1,σ2,σ3具有下面的格式，

σ1=Xux+Yuy+Tut-U,
σ2=Xψx+Yψy+Tψt-P1,
σ3=Xφx+Yφy+Tφt-P2,

(18)

其中X,Y,T,U,P1,P2均為(x,y,t,u,b,c,ψ,φ)的函數(shù)，把(18)式以及封閉系統(tǒng)代入到(8)(12)及(17)式中，利用決定方程組得到下面結(jié)果，

X=c3x+F1(t),Y=c3(2ct-2y)+c1y+c4,T=c1t+c2,

(19)

其中，ci,i=1...3為任意常數(shù)，F(xiàn)j,j=1...5為相應(yīng)變量的任意函數(shù).從(19)可以看出，封閉系統(tǒng)的Lie對(duì)稱(chēng)包含了方程(2)的非局部對(duì)稱(chēng)，因此把非局部對(duì)稱(chēng)等價(jià)的轉(zhuǎn)化為了Lie對(duì)稱(chēng)，下面利用Lie對(duì)稱(chēng)構(gòu)造方程的精確解.

(20)

得

(21)

我們把(21)式代入到封閉系統(tǒng)(2)(7)(14)里得到Ψ,U滿(mǎn)足下面形式，

(22)

因此只要求出Φ，系統(tǒng)的解即可得到，又知道φ滿(mǎn)足Schwartzian形式(5)，故把(21)帶入(5)得，

(23)

為了求解方程(23)，先做行波變換，令Φ(ξ,η)=Φ(ξ+μη)=Φ(Δ)，得，

再令ΦΔ=G,則上式變?yōu)椋?/p>

(24)

驗(yàn)證可知，方程(24)等價(jià)于下面橢圓方程，

(25)

其中C1,C2為任意常數(shù).

由于，方程(25)為橢圓方程，因此具有橢圓函數(shù)解，假設(shè)方程具有下面形式解，

G=a0+a1sn(Δ,l)

(26)

其中sn(Δ,l)為Jaccobi正弦函數(shù)，a0,a1為待定系數(shù)，將(26)代入到(25)中，得到下面四組解，

(27)

a1,α,l為任意常數(shù).

把(27)式帶入(26)可得到方程(25)的解，進(jìn)而由ΦΔ=G可以得到Φ的表達(dá)式，最后通過(guò)(21)式可以得到原方程的精確解，由于表達(dá)式比較龐大，這里就不再給出.而且通過(guò)(21)式可以看出，得到的解為扭結(jié)孤立子與橢圓函數(shù)相互作用解，這種形式的解可以用來(lái)解釋淺水波中的復(fù)雜波的由來(lái).

4 總結(jié)

本文主要是利用非局部對(duì)稱(chēng)方法研究了(2+1)維廣義淺水波方程，由于非局部對(duì)稱(chēng)與方程的的Schwartzian形式有著密切的聯(lián)系，因此文中通過(guò)截?cái)郟ainlevé分析方法構(gòu)造了方程的Schwartzian形式.又由于方程的非局部對(duì)稱(chēng)不能直接用來(lái)構(gòu)造方程的群不變解，因此通過(guò)引入新的變量，將非局部對(duì)稱(chēng)延拓成封閉的局域系統(tǒng)，而且封閉系統(tǒng)的Lie對(duì)稱(chēng)包含原系統(tǒng)的非局部對(duì)稱(chēng)，文中利用得到封閉系統(tǒng)的的Lie對(duì)稱(chēng)構(gòu)造了群不變解，并利用非局部對(duì)稱(chēng)約化求解原方程，得到了方程的精確解，而且這種形式的解即孤立子解與橢圓周期波解的相互作用解，用一般的Lie對(duì)稱(chēng)方法是求不出來(lái)的，而且這種相互作用解為解釋淺水波中的復(fù)雜波提供了科學(xué)依據(jù).