一種考慮波動效應(yīng)的擬動力地震邊坡穩(wěn)定性分析方法

鄧亞虹，徐 召，孫 科，2，閆佐菲

(1. 長安大學(xué) 地質(zhì)工程與測繪學(xué)院，陜西 西安 710054； 2. 中國煤炭地質(zhì)總局航測遙感局，陜西 西安 710199)

0 引 言

邊坡穩(wěn)定性與人類生產(chǎn)、生活密切相關(guān)，邊坡失穩(wěn)常造成巨大的生命、財產(chǎn)損失，而地震是誘發(fā)邊坡失穩(wěn)的最主要因素之一。1964年阿拉斯加地震中，由邊坡失穩(wěn)引起的損失和傷亡占56%[1]。2008年汶川地震引發(fā)了數(shù)以萬計的滑坡，死亡人數(shù)超過1 000人的滑坡就有30 余個[2]，滑坡還破壞了大量生命交通線，嚴(yán)重阻礙救援工作[3]。中國是一個多山國家，存在大量人造邊坡和自然斜坡。同時，中國地處環(huán)太平洋地震帶與歐亞地震帶之間，地震斷裂帶發(fā)育。因此，地震邊坡穩(wěn)定性分析直接關(guān)系到中國的國計民生。

目前，地震邊坡穩(wěn)定性分析方法以擬靜力法為主，因其計算簡便、實用性較強，被納入許多規(guī)范[4-7]。擬靜力法源于地震工程結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)分析[8]，后由Terzaghi引入地震邊坡穩(wěn)定性分析[9]，將地震力簡化為恒定的慣性力施加到邊坡坡體。早期的擬靜力法僅考慮水平地震力，Chopra等證明了豎直地震力對地震邊坡穩(wěn)定性的影響不可忽略[10-11]。后續(xù)，擬靜力法得到進(jìn)一步完善：Biondi等基于擬靜力法研究了孔隙水壓力對地震和地震后無限飽和黏土邊坡穩(wěn)定性影響，并提出了邊坡穩(wěn)定系數(shù)的計算公式[12]；Baker等采用擬靜力法對邊坡進(jìn)行地震穩(wěn)定性分析，提出一個適用于大部分均質(zhì)邊坡的擬靜力分析設(shè)計圖表[13]。不過，擬靜力法還存在許多問題：地震系數(shù)取值尚未有直接有效的確定方法[14-15]；剛性坡體假設(shè)是不準(zhǔn)確的；基于傳統(tǒng)豎向條分的擬靜力法在計算地震力和抗滑彎矩時存在誤差[16]；擬靜力法未考慮地震動特性等。這些因素都導(dǎo)致擬靜力法計算結(jié)果過于粗略。

針對擬靜力法存在的不足，Steedman等提出擬動力法[17]；爾后，Choudhury等完善了擬動力法及其速度公式[18-20]，并將該方法引入地震邊坡穩(wěn)定性分析，對一處尾礦壩進(jìn)行了穩(wěn)定性分析[21]；Choudhury等還考慮了地震放大效應(yīng)之后，對擬動力法進(jìn)行了改進(jìn)[22]。Chakraborty等還分別采用傳統(tǒng)的擬靜力法和擬動力法，對位于印度東部的44 m高保水型尾礦壩進(jìn)行了地震邊坡穩(wěn)定性分析，結(jié)果也清楚地表明了常規(guī)擬靜力法的局限性[23]。后續(xù)，多位學(xué)者對邊坡的地震響應(yīng)進(jìn)行探究[24-25]，為擬動力法發(fā)展提供了理論支撐。此外，Nimbalkar等分別研究了高卓越頻率和低卓越頻率地震作用下邊坡穩(wěn)定性安全系數(shù)的變化規(guī)律[26]；Hou等也探討了不同地震系數(shù)和卓越頻率下安全系數(shù)的變化趨勢[27]。

擬動力法用于地震邊坡穩(wěn)定性分析起步較晚，當(dāng)前研究也僅限于單個地震動參數(shù)對安全系數(shù)的影響，并未從本質(zhì)揭示擬動力法用于地震邊坡穩(wěn)定性分析的優(yōu)勢，也尚未形成科學(xué)、簡便、適用于工程實踐的方法?，F(xiàn)行規(guī)范在設(shè)計理論和工程實踐上仍然處于粗淺的經(jīng)驗階段，急需借鑒地震工程的新理論、新方法來推動地震邊坡穩(wěn)定性分析的現(xiàn)代化和規(guī)范化[28]。因此，開展擬動力地震邊坡穩(wěn)定性分析方法研究具有重大的理論和實踐意義[29-31]。

本文基于擬動力法，結(jié)合傳統(tǒng)靜力邊坡穩(wěn)定性分析極限平衡法(瑞典條分法)，推導(dǎo)了邊坡地震力公式和地震邊坡穩(wěn)定性安全系數(shù)公式，借助MATLAB軟件開發(fā)了最危險滑面搜索和安全系數(shù)求解程序，實現(xiàn)了一種考慮波動效應(yīng)的擬動力地震邊坡穩(wěn)定性分析方法，并從波動理論角度揭示了擬動力法與擬靜力法的區(qū)別與聯(lián)系。

1 基本原理

圖1 擬動力法原理Fig.1 Principle of Pseduo-dynamic Method

擬動力法最初用于擋土墻土壓力計算，它假設(shè)地震波為從基底垂直入射的正弦波(圖1)。從圖1可以看出高度為H，滑面傾角為α的擋土墻結(jié)構(gòu)。土體和土體與墻體摩擦角分別為φ和δ，土體重力為W，坡體對滑體的支持力為F，水平地震力為Qh，主動土壓力為Pae。

t時刻，z深度處長度為dz的土體所受水平加速度(ah(z,t))為

(1)

式中：ah為擬靜力水平加速度；ω為橫波圓頻率；vs為橫波波速。

Choudhury等同時考慮水平和豎直地震力作用，對擬動力法進(jìn)行了完善[18-20]。此后，阮曉波等假設(shè)地震加速度幅值由坡底到坡頂線性增加，給出了考慮地震放大效應(yīng)的擬動力加速度[21]，其表達(dá)式為

(2)

式中：av(z，t)為t時刻，z深度處長度為dz的土體所受豎直加速度；av為擬靜力豎直加速度；vp為縱波波速；fs為地震放大系數(shù)。

類似于擋土墻土壓力計算，Choudhury等在對尾礦壩進(jìn)行地震邊坡穩(wěn)定性分析時，采用擬動力法計算地震力[22]。不考慮地震放大系數(shù)，假設(shè)滑面為圓弧形。如圖2所示，均質(zhì)尾礦壩高為H，坡角為β，圓弧半徑為R，同時受水平和豎直地震力作用(水平和豎直加速度無相位差時為最危險地震荷載組合)。取深度為z的條塊，條塊底面傾角為θ，水平和豎直地震力臂分別為XNS，O和YNS，O。

圖2 尾礦壩擬動力分析Fig.2 Pseudo-dynamic Analysis of Tailing Dam

2 基于擬動力法的瑞典條分法

Choudhury等在進(jìn)行尾礦壩地震邊坡穩(wěn)定性分析時采用水平條分法，并對條間力進(jìn)行了假設(shè)[22]。但是，這些條間力假設(shè)過于復(fù)雜，其合理性還有待檢驗，加之安全系數(shù)計算過程也比較繁瑣，不便用于工程應(yīng)用。相比較而言，傳統(tǒng)豎向條分法發(fā)展成熟，條間力假設(shè)簡單實用，已被廣泛理解和接受。本文將基于擬動力法和極限平衡法(瑞典條分法)推導(dǎo)邊坡地震力公式及安全系數(shù)公式。

2.1 地震力公式

本文選用的擬動力公式未考慮地震放大效應(yīng)，一方面因為現(xiàn)有的研究成果都是建立在各種假設(shè)的基礎(chǔ)上，并不能反映真實的放大效應(yīng)，另一方面因為本文的主要目的是探究波動效應(yīng)及其影響規(guī)律。

在t時刻，位于深度z處，長度為dz，寬度為b，密度為ρ的塊體所受水平地震力(Fh)和豎直地震力(Fv)計算公式為

(3)

其中，擬靜力水平加速度ah=khg，擬靜力豎直加速度為av=kvg，其中，kh為水平地震系數(shù)，kv為豎直地震系數(shù)，g為標(biāo)準(zhǔn)重力加速度。圓頻率ω=2πf，f為卓越頻率。

如圖3所示，對潛在滑體豎向分條，在t時刻，取位于深度z處的第i個條塊，其長度和寬度分別為zi和bi，則整個條塊所受地震力可由積分得到

(4)

式中：Fhi和Fvi分別為條塊i所受的水平地震力及豎直地震力；fh和fv分別為橫波和縱波卓越頻率。

圖3 地震力求解示意圖Fig.3 Schematic Diagram of Seismic Force Solution

2.2 安全系數(shù)公式

地震邊坡穩(wěn)定性安全系數(shù)公式推導(dǎo)選用瑞典條分法。瑞典條分法是最基礎(chǔ)的條分法，其假定條間力對邊坡整體穩(wěn)定性影響可忽略[32-33]，假設(shè)簡單，能夠排除條間力的各種耦合作用對地震力的影響，便于直觀展示采用擬動力法進(jìn)行地震力計算帶來的影響，從而揭示波動效應(yīng)在地震邊坡穩(wěn)定性分析中的重要性。

對滑體進(jìn)行豎向分條，根據(jù)極限平衡理論有徑向力平衡，則

Ni=Wicosθi-Fhisinθi-Fvicosθi

(5)

根據(jù)滑面上極限平衡條件，則

(6)

考慮滑體整體力矩平衡條件，則

∑Wicosθi+∑Fhicosθi=∑Ti+∑Fvisinθi

(7)

式中:Ni為條塊i所受支持力；Wi為條塊i所受重力;Ti為條塊i所受剪力；Tfi為土體的抗剪強度；ci為土體黏聚力；li為條塊i滑面長度；θi為條塊i滑面傾角；φi為條塊i土體摩擦角；Fs為安全系數(shù)。

將式(5)和式(6)代入式(7)，整理后得

Fs=[(∑Wmicosθi-∑Fhisinθi-

∑Fvicosθi)tanφi+∑cili]/

(∑Wisinθi+Fhicosθi-∑Fvisinθi)

(8)

式(8)即為基于擬動力法和瑞典條分法的地震邊坡穩(wěn)定性安全系數(shù)公式。需要說明的是，在推導(dǎo)過程中，為保持與瑞典條分法假設(shè)的一致性，未考慮單個條塊是否滿足靜力平衡。上述推導(dǎo)中，地震力作用位置選取為條塊底部，有以下兩方面原因。

(1)擬動力法假設(shè)地震波為正弦波，所求得的地震力不是均勻分布的，而是隨波形變化的，而且不同條塊波形分布不同，因此，不同條塊地震力作用點也不同。在地震邊坡穩(wěn)定性分析過程中，要對最危險滑面進(jìn)行搜索，而此搜索過程是在地震力作用點確定情況下進(jìn)行的。若想要確定不同條塊的地震力作用位置，需先選定作用位置，通過滑面搜索結(jié)果驗證選取位置是否準(zhǔn)確，這是一個迭代逼近的過程。但是，這個過程過于繁冗，不利于理論和規(guī)律研究，因此，本文將地震力作用位置簡化為條塊底部是比較合理的選擇。

(2)從數(shù)學(xué)角度分析，地震力作用位置影響的是安全系數(shù)公式中的力矩，但是安全系數(shù)分子、分母均包含這個力矩，所以力矩的變化對安全系數(shù)影響不大。通過實際驗證地震力作用點分別選為條塊重心或者條塊底部，結(jié)果表明安全系數(shù)差異不大。本文研究的核心內(nèi)容為擬動力法和地震波動效應(yīng)，地震邊坡穩(wěn)定性分析方法為這二者依托的載體，安全系數(shù)為這二者的表現(xiàn)形式，地震力作用位置選為條塊底部能夠滿足研究需求且有其合理性。后續(xù)可討論不同方法和地震力作用位置對精度的影響。

3 MATLAB程序?qū)崿F(xiàn)及驗證

借助MATLAB軟件編制了計算程序，實現(xiàn)了擬動力法地震力計算和最危險滑面的搜索，最終得到地震邊坡穩(wěn)定性安全系數(shù)。

為檢驗MATLAB算法的有效性，首先試算靜力和擬靜力安全系數(shù)，并與理正巖土軟件所得安全系數(shù)進(jìn)行對比。算例邊坡模型如圖4所示，試算邊坡的幾何特征參數(shù)、物理力學(xué)指標(biāo)及計算結(jié)果匯總于表1。由表1可知，MATLAB程序所得結(jié)果與理正巖土軟件計算結(jié)果基本一致，驗證了MATLAB程序的有效性。

圖4 邊坡模型Fig.4 Slope Model

4 基于擬動力法的地震邊坡穩(wěn)定性

4.1 算例分析

本部分計算僅考慮水平地震力，沿用圖4的邊坡模型，具體參數(shù)如表2所示。其中，物理力學(xué)指標(biāo)取自多組黃土物性指標(biāo)試驗中位數(shù)，地震卓越頻率取自統(tǒng)計分析多條地震動記錄結(jié)果的中位數(shù)[34]，橫波波速取自《建筑抗震設(shè)計規(guī)范》(GB 50011—2010)[35]中給出的黃土橫波波速中位數(shù)。

分別采用擬靜力法和本文選用的擬動力法對算例邊坡進(jìn)行穩(wěn)定性分析，擬靜力法得到的安全系數(shù)為0.962，擬動力法得到的安全系數(shù)為0.997，后者明顯大于前者，這與Choudhury等的研究結(jié)果[22]是一致的。

表1 MATLAB程序邊坡實例試算參數(shù)

表2 算例邊坡參數(shù)

4.2 波動效應(yīng)對地震邊坡穩(wěn)定性影響

擬動力法考慮了地震波動效應(yīng)，所得的安全系數(shù)更契合實際，本文將具體分析波動效應(yīng)對地震邊坡穩(wěn)定性的影響。地震波動效應(yīng)主要由地震動特性和坡體材料特性決定，下面分別討論地震波初始相位、地震動幅值、地震卓越頻率和波速對地震邊坡穩(wěn)定性的影響，進(jìn)而揭示波動效應(yīng)對地震邊坡穩(wěn)定性的影響。

4.2.1 初始相位

Choudhury等的研究中并未探究地震波初始相位對安全系數(shù)的影響[22]，而實際上地震波初始相位應(yīng)為最危險初始相位，對應(yīng)最危險工況(安全系數(shù)即為最小安全系數(shù))。改變算例邊坡初始相位，繪制安全系數(shù)隨初始相位變化趨勢(圖5)。由圖5可知，安全系數(shù)隨初始相位周期性波動，最大值為1.176，最小值為0.997。其中，最小值即為地震邊坡穩(wěn)定性安全系數(shù)。

圖5 安全系數(shù)隨初始相位變化趨勢Fig.5 Variation Trend of Safety Factor with Initial Phase

圖6 坡體內(nèi)不同初始相位波形Fig.6 Different Initial Phase Waveforms in Slopes

圖7 安全系數(shù)隨地震系數(shù)變化趨勢Fig.7 Variation Trend of Safety Factor with Seismic Coefficient

安全系數(shù)隨初始相位波動變化由地震的波動效應(yīng)造成。如圖6所示，擬動力法假定地震波為正弦波，不同初始相位會使坡體受到大小、方向不同的地震力，安全系數(shù)自然也隨地震力同步變化。

4.2.2 地震動幅值

由擬動力法地震力公式可以看出，地震動幅值受地震系數(shù)選取的影響。關(guān)于地震系數(shù)的選取，目前尚未有直接快速方法，這里對此不進(jìn)行探討。改變上述算例中的地震系數(shù)，分別運用擬動力法和擬靜力法進(jìn)行計算，結(jié)果如圖7所示。由圖7可知，擬動力法所得安全系數(shù)大于擬靜力法，且隨地震動幅值(或地震系數(shù))的增大，差值逐漸增大。Choudhury等分別探究了地震系數(shù)對安全系數(shù)的影響[22,27]，結(jié)果與本文是一致的。

如圖8所示，擬動力法假設(shè)地震波為從基底垂直入射的正弦波，坡體內(nèi)質(zhì)點加速度方向大小都不同；而擬靜力法假設(shè)坡體內(nèi)各質(zhì)點加速度相同，這就導(dǎo)致擬動力地震力比擬靜力地震力小，這也是擬靜力法過于保守的根本原因。而隨地震力增大，這種現(xiàn)象會更加明顯，擬動力法與擬靜力法所得結(jié)果差距增大。

圖8 擬靜力和擬動力地震力示意圖Fig.8 Seismic Force Diagrams of Pseudo-static and Pseudo-dynamic Methods

4.2.3 卓越頻率和波速

卓越頻率(f)和波速(v)對擬動力安全系數(shù)的影響實際上是地震波波長(λ)對安全系數(shù)影響的兩種表現(xiàn)形式。波長、卓越頻率和波速的關(guān)系為

λ=v/f

(9)

對于給定的波速，波長與卓越頻率呈反比；對于給定的卓越頻率，波長與波速成正比。

圖9 安全系數(shù)隨λ/H值變化趨勢Fig.9 Variation Trend of Safety Coefficient with λ/H

地震波波長對擬動力安全系數(shù)的影響由地震波波長與邊坡坡高比(λ/H)決定。由安全系數(shù)隨λ/H值變化趨勢(圖9)可以看出：當(dāng)λ/H值高于10時，擬靜力法與擬動力法算得的安全系數(shù)基本一致；當(dāng)λ/H值低于10時，擬動力法算得的安全系數(shù)要大于擬靜力法。工程實踐中，邊坡坡高一般為10～100 m，坡體材料波速一般為100～500 m·s-1，而地震動頻率一般為0.5～7.0 Hz，則常見λ/H值最小為0.15，且有相當(dāng)一部分邊坡的λ/H值為0.15～10.00。因此，本文所做工作是有必要的。當(dāng)然對于不同坡角和滑面類型的邊坡，λ/H值可能存在一定差異，但擬靜力法計算與擬動力法計算結(jié)果差異規(guī)律與圖10一致。

圖10 不同λ/H值下擬動力、擬靜力地震力示意圖Fig.10 Seismic Force Diagrams of Pseudo-static and Pseudo-dynamic Under Different λ/H

Choudhury等的研究中討論了正弦波周期對安全系數(shù)的影響[22]，Hou等也進(jìn)行了類似的討論[27]，結(jié)果都表明隨正弦波周期增大(或卓越頻率減小)，安全系數(shù)減小，這與上述規(guī)律也是一致的。

如圖10所示，從波動理論出發(fā)，當(dāng)λ很小(f很大或v很小)，即λ/H值很小[圖10(a)]時，整個坡體跨越多個波長，坡體所受的正、反向地震力近似抵消，與靜力狀態(tài)基本一致，擬動力安全系數(shù)也就十分接近靜力安全系數(shù)；隨λ/H值增大[圖10(b)、(c)]，坡體跨越波長范圍減小，擬動力安全系數(shù)逐漸減小；當(dāng)λ很大(f很小或v很大)，即λ/H值很大[圖10(d)]時，整個坡體僅跨越波長的一小段，坡體內(nèi)質(zhì)點加速度近似相同，與擬靜力法假設(shè)基本一致，擬動力安全系數(shù)也就十分接近擬靜力安全系數(shù)。

5 結(jié) 語

(1)本文考慮地震波動效應(yīng)，基于擬動力法，結(jié)合極限平衡法推導(dǎo)了邊坡地震力公式和地震邊坡穩(wěn)定性安全系數(shù)公式，并借助MATLAB程序?qū)崿F(xiàn)了地震邊坡穩(wěn)定性安全系數(shù)的計算。從波動理論出發(fā)，討論了地震動特性對地震邊坡穩(wěn)定性安全系數(shù)的影響，揭示了擬動力法與擬靜力法本質(zhì)區(qū)別，并指出當(dāng)?shù)卣饎硬ㄩL與邊坡坡高比小于10時，地震波動效應(yīng)明顯，地震邊坡穩(wěn)定性分析采用擬動力法更為合理。

(2)本文研究對象為均質(zhì)邊體，未考慮邊坡幾何特征、坡體材料和地層等因素的影響以及擬動力法與擬靜力法最危險滑面之間的差異，后續(xù)還需進(jìn)一步研究。此外，僅選取了瑞典條分法進(jìn)行擬動力法與擬靜力法之間的對比，關(guān)于其他各類條分法還有待繼續(xù)探究。