基于非滑動式與滑動式BDS精密星歷內插及其精度分析

從建鋒,劉智敏，2,劉 盼,郭金運

(1．山東科技大學 測繪科學與工程學院，山東 青島 266590；2.山東省基礎地理信息與數(shù)字化技術實驗室，山東 青島 266590)

北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)(BeiDou Navigation Satellite System，BDS)采用混合星座組成，包含地球靜止軌道衛(wèi)星(GEO)、傾斜地球同步軌道衛(wèi)星(IGSO)、中地球軌道衛(wèi)星(MEO)[1]。BDS在高精度定位的過程中，需要數(shù)據(jù)分析中心提供高精度精密星歷獲取衛(wèi)星三維位置坐標，但其采樣間隔為15min，而接收機的采樣間隔一般為30s、10s、5s或1s，因此，如何獲取任意歷元BDS衛(wèi)星位置成為一個重要問題[2-4]。得到任意歷元BDS衛(wèi)星三維坐標就必須對精密星歷進行高精度內插[5-8]。插值法具有過程簡便、高效等優(yōu)點，插值法的基本思想是由很多個已知離散自變量以及對應的因變量值組成某一近似多項式函數(shù)，可插值出任意離散點的變量值[9]。目前對衛(wèi)星精密星歷進行插值方法有很多，主要有Lagrange插值方法、 Newton插值方法、Chebyshev插值方法、三次樣條插值方法等。文獻[2]采用拉格朗日和切比雪夫多項式實現(xiàn)對GPS精密星歷內插；文獻[3]采用滑動式Lagrange插值方法實現(xiàn)對GPS精密星歷進行內插；文獻[5]和[6]對實現(xiàn)GPS精密星歷內插不同方法進行比較分析。Lagrange插值方法是經(jīng)典的插值方法，但是常規(guī)Lagrange插值方法在插值兩端易產(chǎn)生“龍格”現(xiàn)象，為進一步提高Lagrange插值方法在BDS精密星歷內插中的精度，需對比非滑動式與滑動式Lagrange插值方法對BDS精密星歷內插的影響。BDS與GPS相比，有3種不同類型衛(wèi)星，對BDS精密星歷內插必須考慮到不同類型衛(wèi)星與插值階數(shù)的關系。本文基于非滑動式與滑動式Lagrange插值方法對BDS精密星歷進行內插，借助武漢大學IGS數(shù)據(jù)中心提供的采樣間隔為15 min的BDS精密星歷數(shù)據(jù)，用非滑動式與滑動式Lagrange插值方法分別對BDS精密星歷進行內插，結果表明，滑動式Lagrange插值方法精度明顯優(yōu)于非滑動式Lagrange插值方法。

1 兩種插值數(shù)學模型

1.1 Lagrange插值數(shù)學模型

假設y=f(xi)在區(qū)間[a,b]上是個實函數(shù)，xi是區(qū)間[a,b]上n個互異實數(shù)，且函數(shù)y=f(xi)在區(qū)間[a,b]上n+1階可導，那么在區(qū)間[a,b]上任意一點x的n階Lagrange插值多項式代數(shù)表達式為[10]

(1)

對BDS精密星歷進行n階Lagrange內插，可以獲取任意歷元BDS衛(wèi)星位置坐標。選擇某一時刻t作為插值點，并且在進行插值的區(qū)間中滿足：插值節(jié)點數(shù)≥插值階數(shù)+1[11]。在插值時選擇一個區(qū)間[t0,t1]，將t作為自變量，利用式(1)分別求出任意時刻衛(wèi)星X，Y和Z方向的坐標分量，從而得到任意歷元衛(wèi)星的位置。任意歷元衛(wèi)星位置表示為

(2)

式中：i≠j，Xt，Yt，Zt是t時刻衛(wèi)星位置三維坐標分量。該方法數(shù)學模型簡單，是經(jīng)典的插值方法，采用MATLAB語言編程實現(xiàn)。

1.2 滑動式Lagrange插值數(shù)學模型

滑動式Lagrange插值方法是使用Lagrange插值數(shù)學模型的基礎上不斷改變插值區(qū)間，使待插值點一直保持在插值區(qū)間的中間點上，以此來提高插值的精度。對BDS精密星歷進行n階Lagrange內插，當n為偶數(shù)時，生成n-1(奇數(shù))階插值多項式，如選擇16個插值節(jié)點，可以生成15階插值多項式，此時求得的插值結果只保留第8和第9插值節(jié)點中間的插值結果；當n為奇數(shù)時，生成n-1(偶數(shù))階插值多項式，如選擇15個插值節(jié)點，可以生成14階插值多項式，此時求得的插值結果只保留第7和第8、第8和第9插值節(jié)點中間的插值結果?；瑒邮絃agrange插值可以抑制插值區(qū)間兩端插值結果的震蕩[11]，使插值精度達到最優(yōu)，其插值設計如圖1所示。

圖1 滑動式 Lagrange插值設計

2 實例測試與分析

為了得到任意歷元BDS衛(wèi)星位置坐標，選取由武漢大學IGS數(shù)據(jù)中心(http://www.igs.gnsswhu.cn)提供的采樣間隔為15min精密星歷數(shù)據(jù)，起始歷元為2017-06-02 00:00:00，終止歷元為2017-06-02 23:30，以每30 min間隔的衛(wèi)星三維坐標作為已知插值節(jié)點，以每15 min間隔的衛(wèi)星三維坐標作為真值，將計算得到的內插值與真值進行求差得到殘差，以殘差的均方差根作為插值效果的精度因子。由于BDS包含不同軌道衛(wèi)星，為了驗證插值方法對于不同衛(wèi)星的影響，采用非滑動式與滑動式Lagrange插值方法分別對北斗GEO、IGSO、MEO 3種不同類型衛(wèi)星進行內插，分析不同插值方法、不同階數(shù)對衛(wèi)星類型、插值精度產(chǎn)生的影響，具體操作流程如圖2所示[12]。實驗中任選PC02(GEO)、PC06(IGSO)、PC12(MEO)3顆衛(wèi)星進行插值，插值結果如表1、表2和表3所示。

圖2 精密星歷內插流程

2.1 GEO衛(wèi)星精密星歷內插精度分析

對于非滑動式Lagrange插值方法，從表1和圖3中可以看出， GEO衛(wèi)星的插值精度隨著插值階數(shù)的增加而改變。GEO衛(wèi)星X和Y坐標分量在插值階數(shù)為8階時插值效果最佳，Z坐標分量在插值階數(shù)為7階時插值效果最佳。插值階數(shù)在5～7階變化時，GEO衛(wèi)星三維坐標分量隨著插值階數(shù)的增加RMS值逐漸變小，插值效果逐漸變好；插值階數(shù)在8～20階變化時，GEO衛(wèi)星三維坐標分量隨著插值階數(shù)的增加RMS值逐漸增大，精度效果逐漸變差。從圖4可以看出，對于滑動式Lagrange插值方法，GEO衛(wèi)星插值精度隨著插值階數(shù)的增加，插值效果先逐漸變好，最后趨于穩(wěn)定。GEO衛(wèi)星在插值階數(shù)為7～20階時三維坐標分量的插值精度都能達到亞mm級的精度，且精度效果相當，RMS值趨于穩(wěn)定。

通過表1數(shù)據(jù)對比可以看出，非滑動式Lagrange插值方法精度達到最佳時，GEO衛(wèi)星X，Y，Z坐標分量殘差RMS值分別為1.33 mm、0.65 mm、0.61 mm，而滑動式Lagrange插值方法精度最佳時GEO衛(wèi)星X，Y，Z坐標分量殘差RMS分別為0.20 mm、0.23 mm、0.22 mm，插值精度效果有較大幅度的提高。從圖5可以看出，GEO衛(wèi)星9階滑動式Lagrange插值的殘差在區(qū)間[-1,1]范圍內波動，三維坐標分量插值殘差波動幅度相當。

表1 GEO衛(wèi)星兩種方法內插結果 mm

表2 IGSO衛(wèi)星兩種方法內插結果 mm

表3 MEO衛(wèi)星兩種方法內插結果 mm

2.2 IGSO衛(wèi)星精密星歷內插精度分析

對于非滑動式Lagrange插值方法，從表2和圖6中可以看出， IGSO衛(wèi)星X坐標分量在插值階數(shù)為11～16階、Y坐標分量在10～14階、Z坐標分量在7～16階時插值精度能達到mm級。X和Y坐標分量在12階時插值精度最高，Z坐標分量在10階時插值精度最高。X和Y坐標分量在插值階數(shù)為5～12階時，隨著插值階數(shù)的增加精度效果逐漸提高，在插值階數(shù)為13～20階時，隨著插值階數(shù)的增加精度逐漸降低。Z坐標分量在插值階數(shù)為5～10階時，隨著插值階數(shù)的增加精度逐漸提高，在11～20階時，隨著插值階數(shù)的增加精度逐漸降低。對于滑動式Lagrange插值方法，從圖7可以看出，IGSO衛(wèi)星在插值階數(shù)為9～20階時三維坐標分量的插值精度能達到mm級，隨著插值階數(shù)的增加，RMS值趨于穩(wěn)定，衛(wèi)星三維坐標分量插值效果相當。

圖3 GEO衛(wèi)星非滑動式插值效果

圖4 GEO衛(wèi)星滑動式插值效果

圖5 GEO衛(wèi)星9階滑動式插值殘差分布圖

通過表2數(shù)據(jù)對比可以看出，非滑動式Lagrange插值方法精度達到最佳時，GEO衛(wèi)星X,Y,Z坐標分量殘差RMS值分別為1.09 mm、2.43 mm、0.49 mm，而滑動式Lagrange插值方法精度最佳時GEO衛(wèi)星X,Y,Z坐標分量殘差RMS值分別為0.24 mm、0.25 mm、0.32 mm，插值效果最優(yōu)時，滑動式效果插值精度更佳。從圖8可以看出，IGSO衛(wèi)星9階滑動式Lagrange插值的殘差在區(qū)間[-4,4]范圍內波動，三維坐標分量插值殘差波動幅度相當。

2.3 MEO衛(wèi)星精密星歷內插精度分析

對于非滑動式Lagrange插值方法，從表3和圖9中可以看出，MEO衛(wèi)星三維坐標插值階數(shù)過低或過高，插值精度效果都較差。MEO衛(wèi)星X和Y坐標分量只有在插值階數(shù)為12階時表現(xiàn)出cm級的精度、Z坐標分量在10～14階表現(xiàn)出cm級精度。在階數(shù)為7～12階時，MEO衛(wèi)星X和Y坐標分量隨著插值階數(shù)的提高，插值精度效果逐漸變好，在階數(shù)為7～11階時，MEO衛(wèi)星Z坐標分量隨著插值階數(shù)的提高，插值精度效果變好。在階數(shù)為13～20階時，隨著插值階數(shù)的增加，三維坐標分量插值精度效果都變差。對于滑動式Lagrange插值方法，從圖10可以看出，MEO衛(wèi)星在插值階數(shù)為11～20階時三維坐標分量的插值精度都能達到mm級的精度。隨著插值階數(shù)的增加，三維坐標分量的殘差RMS值逐漸變小，最后趨于穩(wěn)定。

圖6 IGSO衛(wèi)星非滑動式插值效果

圖7 IGSO衛(wèi)星滑動式中插值效果

圖8 IGSO衛(wèi)星9階滑動式插值殘差分布圖

通過表3數(shù)據(jù)對比可以看出，非滑動式Lagrange插值方法精度達到最佳時，GEO衛(wèi)星X,Y,Z坐標分量殘差RMS值分別為92.99 mm、79.23 mm、7.40 mm，而滑動式Lagrange插值方法插值精度最佳時GEO衛(wèi)星X,Y,Z坐標分量殘差RMS值分別為0.98 mm、0.69 mm、0.38 mm。從圖11可以看出，MEO衛(wèi)星13階滑動式Lagrange插值的殘差在區(qū)間[-10,8]范圍內波動，Y坐標分量殘差波動相對劇烈些。

圖9 MEO衛(wèi)星非滑動式插值效果

圖10 MEO衛(wèi)星滑動式內插效果

圖11 MEO衛(wèi)星13階滑動式插值殘差分布圖

3 結束語

基于非滑動式和滑動式Lagrange插值方法，分別對BDS的GEO、IGSO、MEO 3種不同類型衛(wèi)星精密星歷的三維坐標進行內插，實驗結果分析表明：

1)非滑動式Lagrange插值方法內插BDS衛(wèi)星精密星歷時，插值階數(shù)過低或者過高，插值精度效果都較差；滑動式Lagrange插值方法隨著插值階數(shù)的提高，插值精度效果逐漸變好，最后趨于穩(wěn)定。對于不同類型衛(wèi)星插值精度達到最佳時，插值階數(shù)不相同，同一類型衛(wèi)星不同的坐標分量插值達到最佳精度時的插值階數(shù)也不相同。

2)非滑動式Lagrange插值方法對GEO衛(wèi)星在6階時達到mm級精度，對IGSO在11階時達到mm級精度，對MEO衛(wèi)星在12階時達到cm級精度；滑動式Lagrange插值方法，對GEO衛(wèi)星在6階時達到mm級精度，對IGSO衛(wèi)星在9階時達到mm級精度，對MEO衛(wèi)星在11階達到mm級精度。不同插值方法在同一插值階數(shù)時，滑動式Lagrange插值方法插值精度明顯優(yōu)于非滑動式Lagrange插值方法。