無(wú)系統(tǒng)誤差的CPⅢ精密三角高程控制網(wǎng)仿真研究

李建章

(1.蘭州交通大學(xué) 測(cè)繪與地理信息學(xué)院，甘肅 蘭州 730070; 2.地理國(guó)情監(jiān)測(cè)技術(shù)應(yīng)用國(guó)家地方聯(lián)合工程研究中心，甘肅 蘭州 730070; 3.甘肅省地理國(guó)情監(jiān)測(cè)工程實(shí)驗(yàn)室，甘肅 蘭州 730070)

CPⅢ控制網(wǎng)點(diǎn)數(shù)多，點(diǎn)位密集，利用精密水準(zhǔn)建立高程控制網(wǎng)外業(yè)工作量大，效率低下，因此研究利用CPⅢ平面控制測(cè)量中的豎直角、斜距觀測(cè)值構(gòu)建精密三角高程控制網(wǎng)成為一個(gè)熱點(diǎn)方向。

精密三角高程測(cè)量受到豎直角觀測(cè)誤差和斜距觀測(cè)誤差的影響，也受到大氣折光、地球曲率、垂線偏差等系統(tǒng)性誤差的影響[1]。系統(tǒng)誤差由于具有累積性，對(duì)于CPⅢ精密三角高程控制網(wǎng)最終解算精度有較大的影響，因此如何消除系統(tǒng)誤差的影響，是建立合格CPⅢ精密三角高程控制網(wǎng)的關(guān)鍵。

文獻(xiàn)[2]通過構(gòu)建差分觀測(cè)值削弱球氣差的影響，文獻(xiàn)[3]則通過參數(shù)法來(lái)消除球氣差的影響，都取得了良好的效果。但這些研究成果在現(xiàn)有條件下也不能保證所有的點(diǎn)都附合規(guī)范要求，如參數(shù)法要求高程基準(zhǔn)點(diǎn)間距達(dá)到0.5～1 km才能獲得附合規(guī)范要求的CPⅢ高程控制點(diǎn)，但實(shí)際線路水準(zhǔn)點(diǎn)基點(diǎn)間距為2 km。在未來(lái)的研究中需要進(jìn)一步提高CPⅢ精密三角高程控制網(wǎng)的精度，是降低偶然誤差的影響還是進(jìn)一步削弱殘余系統(tǒng)誤差的影響，這是首先需要解決的問題。

本文通過仿真數(shù)據(jù)研究在無(wú)系統(tǒng)誤差影響下CPⅢ精密三角高程控制網(wǎng)可達(dá)到的精度，以及起算點(diǎn)密度、觀測(cè)測(cè)回?cái)?shù)等對(duì)CPⅢ精密三角高程控制網(wǎng)的影響規(guī)律，為CPⅢ精密三角高程控制網(wǎng)的下一步研究提供有力的支撐。

1 無(wú)系統(tǒng)誤差影響的CPⅢ精密三角高程控制網(wǎng)平差模型

由于不考慮系統(tǒng)誤差影響，因此選擇非差模式構(gòu)建CPⅢ高程控制網(wǎng)。如圖1為CPⅢ平面控制網(wǎng)i測(cè)站觀測(cè)示意圖，其中實(shí)心正方形、實(shí)心圓圈、空心圓圈分別為線路基準(zhǔn)點(diǎn)、測(cè)站點(diǎn)和CPⅢ點(diǎn)。

圖1 CPⅢ精密三角高程控制網(wǎng)i測(cè)站觀測(cè)示意圖

在測(cè)站點(diǎn)i對(duì)各目標(biāo)點(diǎn)進(jìn)行觀測(cè)，可獲得豎直角、斜距以及方向觀測(cè)值，其中豎直角和斜距觀測(cè)值可進(jìn)一步形成三角高程觀測(cè)值。設(shè)對(duì)j點(diǎn)觀測(cè)所得豎直角和斜距觀測(cè)值分別為βij、Sij，則可得三角高程觀測(cè)值：

hij=Sij×sin(βij) .

(1)

又設(shè)i、j兩點(diǎn)最或然高程值分別為yi、xj，則：

hij+vij=xj-yi.

(2)

則得該觀測(cè)值誤差方程為：

vij=xj-yi-hij.

(3)

如果j點(diǎn)為已知點(diǎn)，且其高程為Hj，則其誤差方程為:

vij=xj-yi-(hij-Hj) .

(4)

設(shè)有n個(gè)觀測(cè)值，m個(gè)測(cè)站，t個(gè)CPⅢ高程點(diǎn)，則可寫出如下矩陣形式的誤差方程:

V=BX-l.

(5)

其中

(6)

依最小二乘法，可得待求參數(shù)最優(yōu)估值

X=(BTPB)-1BTPl.

(7)

(8)

2 CPⅢ精密三角高程控制網(wǎng)仿真

由式(6)可知，B矩陣各單元值僅為1或-1兩種結(jié)果，與CPⅢ點(diǎn)的高程、平面位置無(wú)關(guān)，僅反映了各點(diǎn)間的連接關(guān)系。由式(7)可知，待求參數(shù)估計(jì)值X與起算數(shù)據(jù)、原始觀測(cè)值、觀測(cè)值間的權(quán)比關(guān)系以及B矩陣有關(guān)。而由式(5)可知，觀測(cè)值改正數(shù)與B矩陣、權(quán)陣以及X矩陣有關(guān)。

綜上可知，待求參數(shù)的方差值與CPⅢ點(diǎn)的具體的高程、平面位置無(wú)關(guān)，只與各點(diǎn)間的連接關(guān)系、起算數(shù)據(jù)、原始觀測(cè)值以及觀測(cè)值權(quán)矩陣有關(guān)。因此CPⅢ精密三角高程控制網(wǎng)的仿真從兩方面進(jìn)行。

2.1 點(diǎn)位的仿真

如圖2所示，首先建立一平面直角坐標(biāo)系統(tǒng)。點(diǎn)位仿真具體步驟如下：

圖2 CPⅢ仿真控制點(diǎn)示意圖

1)確定起始點(diǎn)坐標(biāo)及高程，如(x0,y0,H0)，且縱橫坐標(biāo)及高程各加一隨機(jī)數(shù)。

2)設(shè)CPⅢ點(diǎn)個(gè)數(shù)為n，則各點(diǎn)的坐標(biāo)及高程如下：

式中，i為CPⅢ點(diǎn)序號(hào)；Δxi、Δyi、ΔHi為隨機(jī)數(shù)[5]。

3)選定線路基準(zhǔn)點(diǎn)。為簡(jiǎn)化程序設(shè)計(jì)思路，基準(zhǔn)點(diǎn)與其最近的CPⅢ點(diǎn)綁定到一起。

式中L為基準(zhǔn)點(diǎn)與左側(cè)CPⅢ點(diǎn)的橫向間距。

4)對(duì)所得各點(diǎn)坐標(biāo)矩陣左乘一旋轉(zhuǎn)矩陣，即：

式中θ為(0-360)之間的一個(gè)隨機(jī)數(shù)。

2.2 原始觀測(cè)值及誤差的仿真

CPⅢ平面控制網(wǎng)測(cè)量時(shí)，要保證每個(gè)目標(biāo)點(diǎn)(包括基準(zhǔn)點(diǎn))至少要在3個(gè)測(cè)站各觀測(cè)一次。第一測(cè)站及最后一測(cè)站各觀測(cè)4個(gè)CPⅢ點(diǎn)，第二測(cè)站及倒數(shù)第二測(cè)站各觀測(cè)8個(gè)CPⅢ點(diǎn)，其余各測(cè)站每次觀測(cè)12個(gè)CPⅢ點(diǎn)。當(dāng)CPⅢ點(diǎn)附近有基準(zhǔn)點(diǎn)時(shí)，要對(duì)基準(zhǔn)點(diǎn)進(jìn)行聯(lián)測(cè)。由于基準(zhǔn)點(diǎn)和CPⅢ點(diǎn)有綁定關(guān)系，因此每次搜索到被綁定CPⅢ點(diǎn)，就可以搜索到綁定的基準(zhǔn)點(diǎn)。

搜索當(dāng)前測(cè)站需要觀測(cè)的目標(biāo)點(diǎn)，再計(jì)算測(cè)站坐標(biāo)及高程。

式中，u為當(dāng)前測(cè)站的觀測(cè)點(diǎn)個(gè)數(shù)；Δnc、Δec、ΔHc為隨機(jī)數(shù)。

則各方向觀測(cè)值為：

式中，αi、βi、si分別為目標(biāo)點(diǎn)相對(duì)于測(cè)站點(diǎn)的方向觀測(cè)值、豎直角觀測(cè)值以及斜距觀測(cè)值。θ為定向角，介于(0-360)之間的一個(gè)隨機(jī)數(shù)。Δα、Δβ、Δs為方向觀測(cè)誤差、豎直角觀測(cè)誤差以及斜距觀測(cè)誤差，是正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)，在MATAB軟件中通過函數(shù)normrnd來(lái)產(chǎn)生[6]。

每測(cè)站生成一獨(dú)立的觀測(cè)值文件，按照RLT格式存儲(chǔ)。

3 仿真試驗(yàn)研究

依據(jù)文獻(xiàn)[7-8]，要求CPⅢ高程中誤差小于1 mm，相鄰兩點(diǎn)間高差中誤差小于0.5 mm。現(xiàn)以TS30測(cè)量機(jī)器人為仿真對(duì)象進(jìn)行試驗(yàn)，該儀器測(cè)角標(biāo)稱精度為0.5 s，測(cè)距標(biāo)稱精度為0.6+1 ppm。試驗(yàn)主要驗(yàn)證以下幾個(gè)問題：

1)在工程現(xiàn)場(chǎng)目前條件下，無(wú)系統(tǒng)誤差影響下的CPⅢ精密三角高程控制網(wǎng)所能達(dá)到的精度。

2)增加線路基準(zhǔn)點(diǎn)密度，CPⅢ精密三角高程控制網(wǎng)精度的變化。

3)增加測(cè)回?cái)?shù)，CPⅢ精密三角高程控制網(wǎng)精度的變化。

4)測(cè)距誤差對(duì)CPⅢ精密三角高程控制網(wǎng)精度的影響。

由于在實(shí)際工程中，CPⅢ點(diǎn)絕對(duì)高程中誤差較相鄰點(diǎn)間的高差中誤差更容易滿足規(guī)范要求，因此本文只列出相鄰點(diǎn)間的高差中誤差曲線。

方案一：線路基準(zhǔn)平均點(diǎn)間距為2 km，試驗(yàn)線路長(zhǎng)分別為4 km、8 km、12 km，每測(cè)站觀測(cè)3個(gè)測(cè)回。

從圖3—圖5可以看出，在線路基準(zhǔn)點(diǎn)間距為2 km的條件下，線路長(zhǎng)度增加，CPⅢ精密三角高程控制網(wǎng)精度變化可以忽略不計(jì)。

圖3 4 km線路相鄰點(diǎn)間高差相對(duì)中誤差曲線

圖4 8 km線路相鄰點(diǎn)間高差相對(duì)中誤差曲線

圖5 12 km線路相鄰點(diǎn)間高差中誤差曲線

方案二：以線路長(zhǎng)為12 km的CPⅢ精密三角高程控制網(wǎng)為例進(jìn)行試驗(yàn)，基準(zhǔn)點(diǎn)間距取1.7 km、1 km、0.48 km、0.24 km。

由圖6可看出，控制網(wǎng)整體精度隨著基準(zhǔn)點(diǎn)密度的增大而逐漸提高，但提高幅度不大，且提高幅度逐漸變小。

方案三：線路基準(zhǔn)平均點(diǎn)間距為2 km，試驗(yàn)線路長(zhǎng)12 km，試驗(yàn)在二測(cè)回、三測(cè)回、四測(cè)回、五測(cè)回條件下的鄰點(diǎn)間高差中誤差曲線。

由圖7可知，隨著測(cè)回?cái)?shù)的增加，控制網(wǎng)整體精度也有所提高，但提高幅度逐漸減緩。

方案四：線路長(zhǎng)4 km，線路基準(zhǔn)點(diǎn)間隔為2 km，CPⅢ點(diǎn)間高差可最大達(dá)10 m。要求觀測(cè)3測(cè)回，測(cè)角誤差為0，仿真數(shù)據(jù)解算結(jié)果如圖8所示。

由圖8可知，在CPⅢ精密三角高程測(cè)量中，距離測(cè)量誤差對(duì)控制網(wǎng)最終解算精度的影響可以忽略不計(jì)。

圖7 12km線路不同測(cè)回?cái)?shù)條件下相鄰點(diǎn)間高差中誤差曲線

圖8 12 km線路無(wú)豎直角觀測(cè)誤差下相鄰點(diǎn)間高差中誤差曲線

4 結(jié)束語(yǔ)

本文通過仿真數(shù)據(jù)研究了無(wú)系統(tǒng)誤差影響下線路長(zhǎng)度、測(cè)回?cái)?shù)、基準(zhǔn)點(diǎn)間距等因素對(duì)CPⅢ精密三角高程控制網(wǎng)精度的影響。通過試驗(yàn)可知：

1)在沒有系統(tǒng)誤差影響的情況下，相鄰CPⅢ點(diǎn)間高差中誤差小于0.15 mm，完全可以達(dá)到精密水準(zhǔn)測(cè)量的精度[11]。然而通過大量實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)解算發(fā)現(xiàn)大多CPⅢ精密三角高程控制網(wǎng)的解算精度在0.4 mm左右，這說(shuō)明實(shí)測(cè)控制網(wǎng)中系統(tǒng)性誤差殘余誤差依然是存在的。

2)通過增加測(cè)回?cái)?shù)、增加線路基準(zhǔn)點(diǎn)密度來(lái)降低偶然誤差的影響，這對(duì)控制網(wǎng)最終解算精度的影響是非常有限的。

3)測(cè)距誤差對(duì)控制網(wǎng)解算精度的影響可以忽略不計(jì)。

系統(tǒng)誤差具有累積性，往往會(huì)導(dǎo)致控制網(wǎng)整體精度的下降，致使部分成果超限。文獻(xiàn)[4]通過參數(shù)法消除CPⅢ精密三角高程控制網(wǎng)中球氣差的影響，取得了良好的效果。因此在下一步的研究中，垂線偏差對(duì)CPⅢ精密三角高程控制網(wǎng)的影響及其規(guī)律是要研究的重點(diǎn)內(nèi)容。