論Benford法則作為一種反舞弊審計(jì)手段的局限性

吳國(guó)平

【摘要】二十世紀(jì)80年代末以來(lái)，國(guó)內(nèi)外理論界試圖將Benford法則作為一種數(shù)值分析方法引入舞弊審計(jì)領(lǐng)域;國(guó)內(nèi)外相關(guān)研究文獻(xiàn)雖多，卻鮮少論及最核心、最關(guān)鍵的問(wèn)題：即Benfird法則作為一種數(shù)值分析方法在舞弊審計(jì)中是否具有有效性的問(wèn)題。stCVCnw.smich基于傅里葉變換視角提出的一套理論解析框架，有助于該關(guān)鍵性問(wèn)題的分析。這一理論解析框架的適當(dāng)完善與擴(kuò)展，表明并非所有隨機(jī)過(guò)程產(chǎn)生的數(shù)據(jù)都符合Benford法則，因此，在審計(jì)實(shí)務(wù)中把Benford法則作為一種財(cái)務(wù)舞弊檢驗(yàn)器是缺乏嚴(yán)密理論依據(jù)的。

【關(guān)鍵詞】Benford法則;舞弊審計(jì);卷積定理;smith判別定理

隨著財(cái)務(wù)欺詐與舞弊行為的頻繁發(fā)生，欺詐與舞弊手段也日趨隱蔽復(fù)雜，如何改進(jìn)和提升財(cái)務(wù)欺詐與舞弊行為審計(jì)能力成為審計(jì)界與社會(huì)公眾共同關(guān)注的焦點(diǎn)。20世紀(jì)80年代末以來(lái)，作為一種數(shù)值分析方法，Benford法則逐漸被引入舞弊審計(jì)領(lǐng)域。相關(guān)研究文獻(xiàn)雖多，卻鮮少論及最核心也是最關(guān)鍵的問(wèn)題：即Benford法則作為一種數(shù)值分析方法在舞弊審計(jì)中是否具有有效性問(wèn)題。眾多研究文獻(xiàn)事實(shí)上都先驗(yàn)性假定其所分析的數(shù)據(jù)對(duì)象，本質(zhì)上應(yīng)符合該法則，如果“實(shí)然”狀態(tài)偏離“應(yīng)然”狀態(tài)，則推斷存在欺詐與舞弊行為。本文認(rèn)為正是囿于此種邏輯推理上的局限，導(dǎo)致了對(duì)該工具本身普適性的懷疑，因而不具有廣泛、系統(tǒng)地推廣使用的基礎(chǔ)。

一、Benford法則內(nèi)涵

Benford法則是關(guān)于隨機(jī)數(shù)組非零首位數(shù)概率分布的規(guī)律，亦稱“首位數(shù)分布規(guī)律”。simon New comb在1881年首次發(fā)現(xiàn)許多類型的隨機(jī)數(shù)組都很好地符合以下規(guī)律：以1為首位數(shù)的隨機(jī)數(shù)要比以2為首位數(shù)的隨機(jī)數(shù)出現(xiàn)的概率大，而以2為首位數(shù)的隨機(jī)數(shù)又比以3為首位數(shù)的隨機(jī)數(shù)出現(xiàn)的概率要大，依此類推，但紐卡姆并沒(méi)有對(duì)這一定律做出任何解釋。1938年Frank Benford再次注意到同樣的現(xiàn)象，并首次推導(dǎo)出Benford法則的數(shù)學(xué)表達(dá)式，即各非零首位數(shù)出現(xiàn)的概率為：

P（n）=log10（1+1/n）

其中：n=1，2，3……，9;P（n）玳表隨機(jī)數(shù)首位數(shù)為n的概率。

根據(jù)以上公式，數(shù)字首位非零數(shù)字為整數(shù)“1”的概率大約為30.10%，為整數(shù)“2”的概率大約為17.61%，而整數(shù)9在首位出現(xiàn)的概率僅為4.58%，完全顛覆了均勻分布的預(yù)期。

二、文獻(xiàn)回顧

1988年，Carslaw首次運(yùn)用Benfofd法則對(duì)公司利潤(rùn)舞弊進(jìn)行實(shí)證研究。1994年Raim和Boyk對(duì)大部分財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)為什么都符合Benford法則的原因進(jìn)行了研究。Nigrin（1996）認(rèn)為審計(jì)人員可以通過(guò)檢測(cè)實(shí)際數(shù)據(jù)中各首位數(shù)字出現(xiàn)的頻率并與Benford法則理論值進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)兩者的差異，從而獲得通過(guò)傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)分析方法和抽樣技術(shù)不能獲得的信息。Nigrin溈此開(kāi)發(fā)了對(duì)財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)進(jìn)行Benford法則測(cè)試的計(jì)算機(jī)軟件，首次把Benford法則系統(tǒng)廣泛地應(yīng)用到舞弊審計(jì)領(lǐng)域。

國(guó)內(nèi)學(xué)者自本世紀(jì)初起對(duì)Benford法則展開(kāi)研究。馮郁和丁國(guó)勇（2003）對(duì)Benford法則的正確性進(jìn)行了驗(yàn)證;張?zhí)K彤（2005）利用2003年1394家上市公司的主要財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證性測(cè)試;張?zhí)K彤和康智慧（2007）對(duì)2006年我國(guó)1447家上市公司的主要財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)與Benford法則理論值進(jìn)行相關(guān)系數(shù)的驗(yàn)證性測(cè)試，并從相關(guān)系數(shù)的角度得出了財(cái)務(wù)舞弊公司的主要財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)與Benford法則理論值相關(guān)性較差的結(jié)論;李勛（2006）對(duì)Benford法則在審計(jì)中的適用性和效果進(jìn)行分析，進(jìn)行相關(guān)技術(shù)手段設(shè)計(jì)，總結(jié)了在審計(jì)實(shí)踐中應(yīng)用該法則的優(yōu)缺點(diǎn)、應(yīng)該注意的問(wèn)題以及應(yīng)用展望。王福生、李勛和孫遜（2007）闡述了Benford法則在審計(jì)領(lǐng)域應(yīng)用的成果、適用性以及優(yōu)缺點(diǎn)，并借助于某股份公司的財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)驗(yàn)證其在舞弊識(shí)別上的有效性。

陳曦、萬(wàn)宇飛、李璐（2012）采用近11年的中國(guó)上市公司財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)，對(duì)Benford法則的適用性作出檢測(cè)。劉云霞，曾五一（2013）探討了如何將Benfofd法則與異常值探測(cè)、數(shù)據(jù)挖掘技術(shù)等方法相結(jié)合，從而找出可能存在數(shù)據(jù)質(zhì)量問(wèn)題的具體樣本及其規(guī)律的方法，并利用該方法對(duì)我國(guó)保險(xiǎn)行業(yè)2006-2011年主要經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的數(shù)據(jù)質(zhì)量進(jìn)行了實(shí)證分析。張?zhí)K彤即（2016）利用“人為造假”的樣本數(shù)據(jù)與隨機(jī)數(shù)樣本數(shù)據(jù)對(duì)該法則進(jìn)行測(cè)試，證明了Benford法則在舞弊偵測(cè)方面的有效性，認(rèn)為Benford法則在識(shí)別“人為造假”數(shù)據(jù)方面具有明顯作用，可以將Benford法則及其相關(guān)的數(shù)值分析工具視為“財(cái)務(wù)舞弊檢驗(yàn)器”：羅玉波（2016）對(duì)相關(guān)研究文獻(xiàn)進(jìn)行了系統(tǒng)的梳理、總結(jié)與述評(píng)，指出應(yīng)用Benford法則于經(jīng)濟(jì)信息質(zhì)量檢測(cè)方面的研究較多，主要表現(xiàn)為應(yīng)用相關(guān)經(jīng)濟(jì)信息數(shù)據(jù)庫(kù)對(duì)Benford法則進(jìn)行實(shí)證研究，但作為一種審計(jì)技術(shù)方法使用得比較少，應(yīng)用于中小企業(yè)會(huì)計(jì)信息的鑒證則更少。孟杰、王欣、張然（2017）指出，Benford法則通常只適用于完整數(shù)據(jù)集的數(shù)據(jù)質(zhì)量評(píng)估;對(duì)于完整數(shù)據(jù)集的有界子集，應(yīng)采用修正Benford法則評(píng)估其數(shù)據(jù)質(zhì)量。陳偉、吳正、劉海（2017）則在自主研發(fā)的審計(jì)軟件中實(shí)現(xiàn)基于Benford法則的大數(shù)據(jù)審計(jì)方法。牛志勇、張耀武（2018）針對(duì)1999-2011年中國(guó)工業(yè)企業(yè)和城市經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，利用Benford法則對(duì)中國(guó)工業(yè)企業(yè)財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)進(jìn)行了質(zhì)量檢驗(yàn)和分析。結(jié)果顯示中國(guó)工業(yè)企業(yè)的資產(chǎn)、納稅數(shù)據(jù)質(zhì)量相對(duì)較好，銷售和成本數(shù)據(jù)可能存在質(zhì)量問(wèn)題，有證據(jù)表明工業(yè)企業(yè)在銷售等數(shù)據(jù)上有調(diào)整的可能性，數(shù)據(jù)質(zhì)量需引起注意。

除此之外，尚有若干作者運(yùn)用Benford法則于礦山安全數(shù)據(jù)、醫(yī)療數(shù)據(jù)、保險(xiǎn)理賠數(shù)據(jù)、農(nóng)業(yè)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可信度評(píng)估等方向。

國(guó)內(nèi)研究文獻(xiàn)早期注重于對(duì)Benford法則的驗(yàn)證性測(cè)試，中期則關(guān)注其在實(shí)務(wù)中的可運(yùn)用性問(wèn)題，后期則涉及到此方法的局限、修正與完善。總體而言，研究的深度和廣度遠(yuǎn)不及國(guó)外同行，缺乏標(biāo)桿性的理論成果，學(xué)術(shù)界相關(guān)理論研究雖多，但并未得到廣大審計(jì)實(shí)務(wù)工作者的普遍認(rèn)可。

三、Smith判別定理

如何判斷連續(xù)型隨機(jī)變量是否符合Benford法則呢？Steven w.Sm汕基于傅里葉變換視角提出的一套理論解析框架，有助于以上關(guān)鍵性問(wèn)題的解決。

（一）模型構(gòu)建

設(shè)x為一連續(xù)隨機(jī)變量（假定其取值為正實(shí)數(shù)），其概率密度函數(shù)為pdf（x）;sfn（f））為寬度τn、高度1、周期長(zhǎng)度1的周期矩形方波函數(shù)，因用其完成取樣，所以又稱取樣函數(shù)。

（三）結(jié)論檢驗(yàn)

在Mathb R2012b上對(duì)上述推論2、4、5進(jìn)行檢驗(yàn)，推論2的區(qū)間設(shè)定為（O，1），推論4的區(qū)間設(shè)定為（-1，1），均勻分布隨機(jī)數(shù)用rand函數(shù)生成，推論4用逆變換法（Invecse Transform Method）從其概率密度函數(shù)生成所需隨機(jī)數(shù)，推論5直接用no仰rnd函數(shù)生成所需隨機(jī)數(shù)。為了比較對(duì)每個(gè)分布均采用兩個(gè)以上不同的方案進(jìn)行檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果如表1所示，表明理論分析結(jié)果完全正確。

四、結(jié)論

以上研究表明，并不是任何隨機(jī)過(guò)程產(chǎn)生的數(shù)據(jù)都符合Benford法則，當(dāng)且僅當(dāng)在滿足特定條件后Benford法則才嚴(yán)格成立。有鑒于此，在審計(jì)實(shí)務(wù)中把Benford法則作為一種反舞弊審計(jì)手段是缺乏堅(jiān)實(shí)理論基礎(chǔ)的，不能充當(dāng)財(cái)務(wù)舞弊檢驗(yàn)器角色，數(shù)值分析的結(jié)果具有一定程度的誤導(dǎo)性。審計(jì)作為一種鑒證技術(shù)方法，不論是風(fēng)險(xiǎn)導(dǎo)向?qū)徲?jì)，亦或合規(guī)性審計(jì)，都需要審計(jì)人員通過(guò)制訂合理審計(jì)計(jì)劃，執(zhí)行風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估、實(shí)施控制測(cè)試，采取針對(duì)性實(shí)質(zhì)性程序等一系列審計(jì)工作，在獲取充分適當(dāng)?shù)膶徲?jì)證據(jù)基礎(chǔ)上形成審計(jì)結(jié)論，最終發(fā)表審計(jì)意見(jiàn)。審計(jì)執(zhí)業(yè)質(zhì)量的高低更多依賴于廣大審計(jì)人員對(duì)審計(jì)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的歸納、總結(jié)和積累，寄希望于通過(guò)Benford法則來(lái)高效精準(zhǔn)地發(fā)現(xiàn)隱藏在財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)謎霧后面的舞弊真相是不切實(shí)際的。