借助學(xué)科整合深入理解概率
——《可能性》教學(xué)實踐與思考（二）

陳蕓蕓

【教學(xué)內(nèi)容】

人教版五年級上冊第四單元。

【教學(xué)過程】

一、問題導(dǎo)入

A.一定 B.可能 C.不可能

師：請動動你的小腦袋思考一下，怎樣選擇？

生：選“可能”。因為中獎的幾率很低，買10000張也可能不會中獎。

生：我也認(rèn)為選“可能”。因為每一張彩票都可能中獎，也可能不中獎，所以他可能這1000 張都沒中獎，也可能一兩張中獎等。

揭題：可能性到底是什么呢？今天這節(jié)課我們就一起來研究它。（板書課題）

二、問題探究

1.小組活動，組織摸球，體會“可能”。

師：（依次出示一個紅球、一個黃球、一個藍(lán)球，裝入同一個口袋）我把它抖一抖、攪一攪，拉緊了?，F(xiàn)在讓你任意地摸一個，你會摸到什么顏色的球？

生：可能摸到紅球，可能摸到黃球，也有可能摸到藍(lán)球。

追問：請猜想，摸到哪個球的可能性大？

生：摸到紅球、黃球、藍(lán)球的可能性一樣大。

小組活動：把學(xué)生分成六個七人小組，其中每個小組摸的口袋里放一個紅球、一個黃球和一個藍(lán)球。

要求：

（1）組長拿口袋，組內(nèi)成員按順序摸球，共計摸球20 次。

（2）摸好后請把球重新放回口袋，記錄員用圓片表示出摸到的球的顏色貼在黑色板子上，最后統(tǒng)計出結(jié)果填寫到記錄單上。

（3）每次摸之前，要把口袋抖一抖，用手?jǐn)囈粩嚒?/p>

2.反饋交流，體驗“可能”，六位組長依次將作品貼到黑板上。

師：在摸球的過程中，大家一定有很多體會吧？

生：我很想摸到一個藍(lán)球，卻總是摸不到。

師：的確，很多同學(xué)如愿以償?shù)孛搅讼胍哪莻€球，但有些同學(xué)并沒有摸到。如果我想摸一個紅球，能確定第幾次摸到嗎？

生：不能確定，有可能第一次就摸到了，也有可能一直摸不到。

生：我們組連續(xù)三次摸到了紅球，我們都認(rèn)為下一次該摸到黃球或藍(lán)球了，結(jié)果卻還是摸到了紅球。

追問：靜靜地想一想，連續(xù)摸到三次紅球，對下一次摸到什么顏色的球有影響嗎？

（借助小組作品進行分析）

小結(jié)：在這個袋子里摸球，摸到什么顏色的球是不確定的，不確定的時候我們就說有可能。（板書）

三、問題分析

師：再來看看每個組最后摸球的結(jié)果，（板書六組數(shù)據(jù)）你又有什么發(fā)現(xiàn)呢？

師：是呀！剛才有同學(xué)不是猜想摸到紅球、黃球、藍(lán)球的可能性是一樣的嗎？這是怎么回事呢？

生：摸球的時候是有運氣的，而且20 次也不能說明什么。

師：是哦，多摸幾次！那我們摸120 次，每個小組，準(zhǔn)備開始。

生：那得摸到什么時候呀！

師：那誰有好辦法？生：把六個組的數(shù)據(jù)加起來不就是120 次嘛！

師：贊同他的說法嗎？那我們就快速計算。（填入統(tǒng)計表中）

師：觀察這組數(shù)據(jù)，你又有什么發(fā)現(xiàn)？

生：摸到三種顏色的球的次數(shù)都很接近了。

師：那摸500 次呢？想不想試試？其實，在今天這個信息技術(shù)非常發(fā)達(dá)的社會，電腦就可以幫我們完成，期待嗎？

（教師打開Scratch 程序，輸入500 并運行程序，產(chǎn)生數(shù)據(jù)并記錄）

師：還想試驗多少次？

生：1000 次。

師：觀察這些數(shù)據(jù)，談?wù)勀愕陌l(fā)現(xiàn)。

表1

生：當(dāng)摸球總次數(shù)越來越多的時候，摸到三種顏色的球的次數(shù)越來越接近。

師：是呀！今天我們借助信息技術(shù)做了一件很強大的事，也驗證了我們的猜想：當(dāng)袋子中只有一個紅球、一個黃球和一個藍(lán)球的時候，摸到它們的可能性是相等的，是多少呢？

師：是的，其實在歷史上類似于這樣的試驗有很多，你知道的還有什么？（拋硬幣、擲骰子）老師搜集了歷史上拋硬幣試驗的相關(guān)數(shù)據(jù)，試驗結(jié)果見下表：

表2

師：如果我們把這些數(shù)學(xué)家的拋擲次數(shù)加起來，正面向上和正面向下的次數(shù)分別是多少？

生：拋擲總次數(shù)是52088 次，正面向上總次數(shù)是26119 次，正面向下總次數(shù)是25969 次。

師：請觀察這些數(shù)據(jù)，有什么感受？

生：隨著試驗次數(shù)的增加，正面向上和正面向下的次數(shù)會越來越接近，也就是它們的可能性相等。

四、問題練習(xí)

1.男生女生大PK。（游戲公平嗎？）

（1）游戲一：兩個藍(lán)球，兩個紅球，任意摸一個球，摸出藍(lán)球男生贏，摸出紅球女生贏。

師：游戲公平嗎？

（2）游戲二：兩個藍(lán)球，兩個紅球，任意摸兩個球，摸出同色的男生贏，摸出不同色則女生贏。

師：老師改變了游戲規(guī)則，但還是這個口袋，游戲還公平嗎？（在練習(xí)紙上寫一寫，畫一畫）

生：我認(rèn)為不公平，摸兩個球，有兩藍(lán)、兩紅、一藍(lán)一紅三種可能，男生贏得可能性大。

生：我反對，如果兩個藍(lán)球分別是1 號藍(lán)球、2號藍(lán)球，兩個紅球分別是1 號紅球、2 號紅球，那女生摸到的兩個球有四種可能，當(dāng)然是女生贏得可能性更大。

師：兩位同學(xué)到底是誰的觀點更科學(xué)呢？請看大屏幕。（課件演示所有可能）現(xiàn)在我們都清楚地看到了這個口袋中任意摸兩個球所有的可能，也就明白了女生贏得可能性比男生大。

（3）任意摸兩個球，要想游戲公平，請你設(shè)計一個摸球游戲。

生：三個藍(lán)球，一個紅球，任意摸兩個球，摸出同色的男生贏，摸出不同色則女生贏。

師：這樣改編一下球的個數(shù)，游戲公平了嗎？

生：真的可以，好厲害！

2.小軍和小淇在操場上做游戲，他們蒙上眼睛在一定距離外向如圖所示的邊長分別為3m 和2m的正方形場地投擲沙包，擲中內(nèi)圈部分小軍勝，擲中外圈部分小淇勝，若未擲入大圈內(nèi)則重新拋擲一次，你認(rèn)為游戲公平嗎？圖1 和圖2 你會選擇哪個場地？

圖1

圖2

生：我認(rèn)為圖1 不公平，因為投擲到內(nèi)圈比較容易，外圈比較分散，很難擲中。圖2 比較公平，擲中的可能性幾乎相等。

生：我認(rèn)為兩個場地都不公平，外圈的面積都是5m2，內(nèi)圈的面積都是4m2，明顯外圈比內(nèi)圈大，那擲中的可能性也是外圈比內(nèi)圈大，對小軍不公平。

師：同學(xué)們思考的有些道理，但數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，游戲究竟是否公平，我們借助計算機來完成投擲試驗，請組長拿出平板電腦運行程序，填寫記錄表。

表3

師：仔細(xì)觀察表3 中的數(shù)據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：隨著投擲次數(shù)的增加，小淇贏得可能性比小軍大。

師：要想小軍和小淇贏得可能性一樣大，你會怎么設(shè)計這個場地呢？（在練習(xí)紙上畫一畫，算一算）

反饋：

圖3

圖4

五、問題回顧

師：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？還有什么疑惑？

【課后思考】

課堂是缺憾的藝術(shù)。上述教學(xué)實踐，雖然著力想體現(xiàn)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》倡導(dǎo)的理念：數(shù)學(xué)教學(xué)過程是教師引導(dǎo)學(xué)生活動的過程，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程，讓學(xué)生自己建構(gòu)數(shù)學(xué)知識的過程。教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，給學(xué)生提供數(shù)學(xué)活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。但實際操作中一定會存在許多不足，懇請各位方家批評指正！

有兩點小體會，自覺得可以一提。

一、學(xué)科整合，實現(xiàn)思維可視化

隨機現(xiàn)象雖然對于個別試驗來說無法預(yù)知結(jié)果，但在相同條件下進行大量重復(fù)試驗時，卻又呈現(xiàn)出一種規(guī)律性，我們稱之為隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性。而課堂上開展試驗的次數(shù)是受到局限了，想要做到像歷史上的數(shù)學(xué)家拋硬幣一樣，有幾千次或是幾萬次，短短的四十分鐘根本無法實現(xiàn)。誰能代替人類完成這樣的事呢？那就是計算機！筆者利用編程軟件——Scratch 設(shè)計程序，程序代碼簡單易懂，使課堂上所有學(xué)生都聚焦于數(shù)據(jù)的變化，充分體會摸到紅球次數(shù)、黃球次數(shù)、藍(lán)球次數(shù)這三個數(shù)字的變化是隨機產(chǎn)生的，有的學(xué)生驚嘆：“你看，現(xiàn)在是藍(lán)球次數(shù)最多！”過了幾秒又有學(xué)生情不自禁地說：“Yeah！紅球趕上來了，紅球的次數(shù)最多了?！蹦撤N程度上，這樣的試驗激發(fā)了學(xué)生的思維能力，發(fā)展了學(xué)生的想象能力和創(chuàng)新意識。當(dāng)試驗次數(shù)從500 次到1000 次再到5000 次，學(xué)生通過數(shù)據(jù)分析感知到：隨著試驗次數(shù)的增加，紅球、黃球和藍(lán)球的次數(shù)越來越接近，摸到這三種球的可能性相等，課前的猜想和120 次試驗后的猜想都得到了驗證，學(xué)生欣喜若狂。

第二次結(jié)合Scratch 輔助教學(xué)的是第二個練習(xí)，幾何概型相比于古典概型更加抽象，將抽象的隨機事件做可視化處理，直觀地呈現(xiàn)投點的全過程。學(xué)生通過平板電腦自主操作，運行Scratch 程序，輸入投擲總次數(shù)，觀察并分析數(shù)據(jù)，感受事件發(fā)生的隨機性和統(tǒng)計規(guī)律性。

二、角色轉(zhuǎn)換，化“操作工”為“研究者”

學(xué)生的生活經(jīng)驗足夠支撐他們做出這樣的判斷：在一個裝有一個紅球、一個黃球和一個藍(lán)球的袋子中，任意摸出一個球，可能摸到紅球、可能摸到黃球，也有可能摸到藍(lán)球，而且它們的可能性相等。但是學(xué)生理解的可能性相等是什么呢？即第一次摸到紅球，第二次應(yīng)該摸到黃球，第三次應(yīng)該摸到藍(lán)球或者連續(xù)三次摸到紅球，那么第四次總該是黃球或藍(lán)球了，而實踐結(jié)果卻還是紅球。

顯然這種認(rèn)識是錯誤的，因此在課堂教學(xué)過程中，讓學(xué)生體驗摸球的過程，并把摸到的球的顏色貼出來，把結(jié)果顯性化（見圖5）。通過橫向、縱向直觀地比較，充分說明了在摸之前是不能確定摸到哪個球的，結(jié)果的出現(xiàn)是隨機的，而前一次的摸球結(jié)果也不會影響下次的結(jié)果，從而積累對隨機現(xiàn)象的直觀感受。

圖5

這節(jié)課仍然有許多地方值得再思考。比如，對于可能性，學(xué)生大都有豐富的生活經(jīng)驗，似乎不用教學(xué)，學(xué)生隨著年齡的增長，也都能作出相對準(zhǔn)確的判斷，教材中安排此內(nèi)容，教學(xué)價值和意義究竟該如何定位？還有，Scratch 程序的運用，很好地做到了學(xué)科整合，也讓學(xué)生充分體驗了科技的魅力，但科技是把雙刃劍，是否會有學(xué)生質(zhì)疑這是后臺程序設(shè)計好的？高科技是否真實可信畢竟學(xué)生沒有真實試驗、親眼所見。如何消除學(xué)生對高科技的疑惑倒在其次，更重要的是，如何在理性思考與現(xiàn)實經(jīng)驗之間真正建立有效的通聯(lián)。