基于Delaunay三角剖分的機(jī)器人工作空間體積求解

(遼寧工程技術(shù)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 阜新 123000)

并聯(lián)機(jī)器人因剛度大、精度高、結(jié)構(gòu)緊湊、承載能力強(qiáng)等特點(diǎn)[1]而被廣泛應(yīng)用。并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間體積與形狀對(duì)于并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作能力有重要關(guān)系，因此并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間體積通常作為判斷機(jī)構(gòu)好壞的指標(biāo)[2-4]，采用更加便捷的方法求解工作空間體積具有重要意義。并聯(lián)機(jī)器人工作空間三維體積計(jì)算常見(jiàn)方法有：微分法[5]，即運(yùn)用平行于X-Y面的平面將工作空間分割成厚度為ΔZ的微元，計(jì)算出每一微元的體積并將所有微元體相加得到的便是機(jī)構(gòu)的工作空間體積；子空間體積疊加法[6]，對(duì)Z值一定，厚度為ΔZ的子空間在X-O-Y平面投影并計(jì)算每個(gè)投影的面積，將面積相加并與剖面距離相乘可得到體積值。上述方法為求解并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間體積提供了理論依據(jù)，但在實(shí)際操作中，由于工作空間的不規(guī)則性，求解誤差較大且需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行排序篩選等操作，編程及求解過(guò)程麻煩，運(yùn)算量較大。

Delaunay三角剖分法[7]是比較成熟的方法，已廣泛應(yīng)用在各領(lǐng)域圖像和點(diǎn)云的處理上。劉洋[8]采用Delaunay三角剖分法對(duì)路面點(diǎn)云進(jìn)行分析處理，提升了路面三維建模的效率。博志成[9]等人采用Delaunay三角剖分法對(duì)海量點(diǎn)云曲面進(jìn)行重建，提升了重建效率和重建曲面拓?fù)湔_性。鮑鑫[10]引入了Delaunay三角剖分法，將聲壓級(jí)映射為顏色，并繪制成圖像，實(shí)現(xiàn)對(duì)噪聲的實(shí)時(shí)監(jiān)控。

Delaunay三角剖分法對(duì)點(diǎn)云數(shù)據(jù)處理具有優(yōu)勢(shì)，為解決此問(wèn)題，本文采用Delaunay三角剖分法計(jì)算體積值，并進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對(duì)比，結(jié)果表明該方法有效的減少了計(jì)算量，提升了體積計(jì)算的效率。

1 3-RPS并聯(lián)機(jī)器人建模及仿真

3-RPS并聯(lián)機(jī)器人主軸平臺(tái)是基于Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)原理[6]，機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖1所示。本文采用歐拉角方法[7-8]對(duì)機(jī)構(gòu)的特點(diǎn)對(duì)其進(jìn)行幾何分析，進(jìn)行逆解運(yùn)算。

圖1 并聯(lián)機(jī)構(gòu)坐標(biāo)系示意圖

經(jīng)計(jì)算，可得到3個(gè)驅(qū)動(dòng)桿桿長(zhǎng)在定坐標(biāo)系A(chǔ)中的矢量為

(1)

則各驅(qū)動(dòng)桿桿長(zhǎng)為

li=|Li|

(2)

3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)是一種少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)，其工作空間是指可達(dá)工作空間[9]，影響其大小、形狀的主要因素[10]有：

(1) 桿長(zhǎng)的限制。

lmin≤li≤lmax

(3)

式中，li為支桿i的長(zhǎng)度；lmin、l為支桿i的最小、最大長(zhǎng)度。

(2) 運(yùn)動(dòng)副轉(zhuǎn)角限制。

① 球副轉(zhuǎn)角限制。

(4)

式中，Li為驅(qū)動(dòng)桿方向向量；sbi為球副底座的方向向量；θsimax為球副i的最大許用轉(zhuǎn)角；θsi為球副i的轉(zhuǎn)角。

② 轉(zhuǎn)動(dòng)副轉(zhuǎn)角限制。

(5)

式中，Li為驅(qū)動(dòng)桿方向向量；si為轉(zhuǎn)動(dòng)副底座方向向量；θRimax為轉(zhuǎn)動(dòng)副i最大許用轉(zhuǎn)角；θRi為球副i的轉(zhuǎn)角。

(3) 連桿干涉。

(6)

式中，Ri為轉(zhuǎn)動(dòng)副i的位置向量；Li為連桿i的方向向量；D為連桿截面直徑；Mi為相鄰兩連桿中心線之間的最短距離。

本文采用搜索法求解3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的可達(dá)工作空間。首先設(shè)定尺寸參數(shù)，然后確定搜索初值，在某個(gè)Z截面上搜索滿足約束條件的姿態(tài)角α，β；再以增量形式改變Z的值，直到遍歷搜索完Z最小值到最大值范圍之間所有的截面。3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)尺寸以及工作空間約束條件如表1所示。

表1 并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)與轉(zhuǎn)角約束

借助Matlab編程求解可得工作空間如圖2所示，并獲得1348320個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)。

圖2 工作空間三維圖

2 Delaunay三角剖分相關(guān)理論

三角剖分中以Delaunay三角剖分最具有代表性,本節(jié)主要介紹相關(guān)的Delaunay三角剖分理論和改進(jìn)的增量式Delaunay三角剖分法算法[11]。

2.1 Delaunay三角剖分的定義及準(zhǔn)則

Delaunay邊：假設(shè)E中的一條邊e(兩個(gè)端點(diǎn)為a,b)，e若滿足下列條件，則稱之為Delaunay邊：存在一個(gè)圓經(jīng)過(guò)a,b兩點(diǎn)，圓內(nèi)不含點(diǎn)集V中任何其他的點(diǎn)，這一特性又稱空?qǐng)A特性。

Delaunay三角剖分：如果點(diǎn)集V的一個(gè)三角剖分T只包含Delaunay邊，那么該三角剖分稱為Delaunay三角剖分。

要滿足Delaunay三角剖分的定義，必須符合兩個(gè)重要的準(zhǔn)則。

① 空?qǐng)A特性：Delaunay三角網(wǎng)是唯一的(任意4點(diǎn)不能共圓)，在Delaunay三角形網(wǎng)中任一三角形的外接圓范圍內(nèi)不會(huì)有其他點(diǎn)存在。如圖3所示。

圖3 空?qǐng)A特性圖

② 最大化最小角特性：在散點(diǎn)集可能形成的三角剖分中，Delaunay三角剖分所形成的三角形的最小角最大。從這個(gè)意義上講，Delaunay三角網(wǎng)是“最接近于規(guī)則化的”的三角網(wǎng)。具體說(shuō)是指在兩個(gè)相鄰的三角形構(gòu)成凸四邊形的對(duì)角線，在相互交換后，6個(gè)內(nèi)角的最小角不再增大。如圖4所示。

圖4 最大化最小角特性圖

2.2 算法

① 先構(gòu)建一個(gè)初始四面體，形成初始化四面體網(wǎng)格。

② 將散亂點(diǎn)插入當(dāng)前四面體網(wǎng)格中，對(duì)于輸入點(diǎn)P，使用隨機(jī)行走方法來(lái)尋找包含P的四面體。先指定一個(gè)四面體T，如果P位于該四面體內(nèi)，則完成行走。如果不在四面體內(nèi)，則隨機(jī)指定一個(gè)三角面E，如果E所在的平面將T和P分割開(kāi)(即T和P在平面的兩邊)，下一個(gè)訪問(wèn)的四面體就是共享E的鄰近四面體；否則，就按預(yù)定的順序遍歷其他的面，直到找到分割開(kāi)T和P的面。

③ 找到包含P的四面體，則分割該四面體為4個(gè)小四面體。

④ 如果P位于當(dāng)前四面體網(wǎng)格外，則選擇網(wǎng)格的一個(gè)可見(jiàn)面(即P在面的一側(cè))，連接P與該三角面的3個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成新的四面體加入到四面體網(wǎng)格中，選擇可見(jiàn)面時(shí)，盡量避免使新生成的四面體是狹長(zhǎng)的。

⑤ 重復(fù)步驟②～步驟④，直到所有散亂點(diǎn)都被插入四面體網(wǎng)格。

(6) 驗(yàn)證Delaunay三角剖分的有效性。首先檢Delaunay三角剖分?jǐn)?shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的連貫性，即四面體的鄰接關(guān)系。

3 工作空間體積求解

基于改進(jìn)的增量式Delaunay三角剖分法，對(duì)圖2中并聯(lián)機(jī)器人工作空間點(diǎn)云進(jìn)行了計(jì)算，并與二值化處理求解算法和微元法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對(duì)比。

3.1 子空間體積疊加法求解工作空間體積

子空間體積疊加法是借助Matlab中圖片處理工具箱(Image Processing Toolbox)，對(duì)Z值一定，厚度為ΔZ的子空間在X-O-Y平面投影的不規(guī)則圖像增加規(guī)則邊框，然后進(jìn)行二值化處理[12]。

假設(shè)規(guī)則圖形的面積為S，二值化處理后可以求出不規(guī)則圖形像素點(diǎn)數(shù)占規(guī)則圖形像素點(diǎn)的比值η，那么可以求得Z值對(duì)應(yīng)的子空間的面積為ΔS=S·η，那么此子空間的體積為ΔV=ΔS·ΔZ，則整個(gè)工作空間的體積為

(7)

求解過(guò)程可用圖5表示。

根據(jù)本文的3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)參數(shù)，按照上述方法計(jì)算每一幅截面圖面積，然后求和。在相同電腦配置下，編寫Matlab程序求得其體積V=6.2639×105mm3，耗時(shí)27 min。

3.2 微元法求解工作空間體積

微元法是運(yùn)用平行于X-Y面的平面將工作空間分割成厚度為ΔZ的微元，計(jì)算出每一微元的體積，將所有微元體相加得到的便是機(jī)構(gòu)的工作空間體積，如圖6所示。

令Δρ、Δφ分別為極坐標(biāo)中的極徑和極角的搜索步長(zhǎng)，陰影部分面積可以表示為

(8)

工作空間某一截面面積為

圖6 體積求解示意圖工作空間某一截面面積為

(9)

該截面對(duì)應(yīng)的微元體積為

ΔV=ΔS·ΔZ

(10)

工作空間總體積為

(11)

根據(jù)本文的3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)參數(shù)，采用微元法編寫Matlab程序，計(jì)算得到其體積值V=6.2643×105mm3，并耗時(shí)31 min。

3.3 Delaunay三角剖分法求解工作空間體積

采用改進(jìn)的增量式Delaunay三角剖分法進(jìn)行編程對(duì)并聯(lián)機(jī)器人工作空間點(diǎn)云進(jìn)行三維Delaunay三角剖分生成四面體，如圖7所示。

圖7 空間散點(diǎn)四面體化示意圖

利用convexhull凸包處理函數(shù)將所得四面體數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到最外圍的凸包，并按著順序?qū)ν拱吔缟系狞c(diǎn)進(jìn)行排列。同時(shí)也直接給出了凸包的體積或者面積。根據(jù)本文的3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)參數(shù)，采用基于增量式Delaunay三角剖分的改進(jìn)算法編寫Matlab程序計(jì)算其體積值V為6.2645×105mm3，并耗時(shí)21 min。

以基礎(chǔ)算法微元法計(jì)算的數(shù)值為標(biāo)準(zhǔn)值，則二值法和Delaunay三角剖分法的相對(duì)誤差分別為6.38×10-3%和3.19×10-3%，由此可知Delaunay三角剖分法的相對(duì)誤差較小。

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)傳統(tǒng)二值化處理法求解并聯(lián)機(jī)器人工作空間體積法的流程，采用改進(jìn)的Delaunay三角剖分法，本方法通過(guò)對(duì)空間的散點(diǎn)進(jìn)行三維Delaunay三角剖分生成四面體，進(jìn)而求得其體積，與二值化處理法和微元法相比，改進(jìn)的增量式Delaunay三角剖分法相對(duì)誤差較小，耗時(shí)少，即改進(jìn)的增量式Delaunay三角剖分法降低了編程難度并提高了計(jì)算效率。