張芯陽
摘 要:量子隧穿是指微觀粒子具有一定概率穿透高能量勢(shì)壘的現(xiàn)象,這是量子力學(xué)有別于經(jīng)典力學(xué)的重要成果之一,在解釋微觀現(xiàn)象和進(jìn)行微觀層面的操作中都具有重要的意義。本文主要通過求解一維階梯勢(shì)壘中的薛定諤方程,來獲得微觀粒子波函數(shù)的定量表達(dá)式,進(jìn)而推導(dǎo)出粒子隧穿到勢(shì)壘內(nèi)部的特定深度的概率。在此基礎(chǔ)上,將其應(yīng)用于常見的電子器件材料的等效勢(shì)壘中,從而估算電子元器件內(nèi)部絕緣層的極限厚度,為半導(dǎo)體集成電路的最小制程提供量級(jí)上的參考。
關(guān)鍵詞:量子隧穿;薛定諤方程;階梯勢(shì)壘;隧穿深度
中圖分類號(hào):TN301 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A 文章編號(hào):1671-2064(2019)14-0201-02
20世紀(jì)是一個(gè)變革的世紀(jì),物理學(xué)經(jīng)歷了從宏觀到微觀,從低速到高速的轉(zhuǎn)化,實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象與既有理論矛盾重重,物理學(xué)大廈搖搖欲墜,直到相對(duì)論和量子力學(xué)橫空出世。作為現(xiàn)代物理學(xué)兩大理論基礎(chǔ)的量子力學(xué),改變了人類看到世界的方式,從宏觀確定性向微觀的不確定性轉(zhuǎn)變,在其誕生之后的近百年的時(shí)間里,引起了不計(jì)其數(shù)的應(yīng)用革命,包括激光技術(shù)、納米科技、半導(dǎo)體產(chǎn)業(yè)等。而如今深刻影響人們工作生活的智能手機(jī),個(gè)人計(jì)算機(jī),大型服務(wù)器,都是量子力學(xué)應(yīng)用的產(chǎn)物,作為其核心結(jié)構(gòu)的半導(dǎo)體芯片,就是基于量子力學(xué)對(duì)固體電子結(jié)構(gòu)的分析才得以實(shí)現(xiàn)。本文主要討論的是量子力學(xué)中的量子隧穿問題,通過一維階梯勢(shì)壘模型,給出隧穿效應(yīng)的圖像,即當(dāng)微觀粒子的動(dòng)能效應(yīng)勢(shì)壘高度的時(shí)候,粒子依然具有一定的概率穿透到勢(shì)壘內(nèi)部?;谶@個(gè)模型,計(jì)算電子穿透深度來進(jìn)一步分析隧穿效應(yīng)在半導(dǎo)體芯片中可能帶來的影響。
1 微觀粒子的運(yùn)動(dòng)方程
觀察方程的解,可以看到在x>0區(qū)域波函數(shù)不為零,這說明了粒子具有一定的概率出現(xiàn)在這一區(qū)域,這個(gè)經(jīng)典力學(xué)的結(jié)論是截然不同的,在牛頓力學(xué)的理論中,由于粒子的動(dòng)能小于勢(shì)能,遇到勢(shì)壘時(shí)由于能量守恒,動(dòng)能不斷轉(zhuǎn)化為勢(shì)能,當(dāng)動(dòng)能為零時(shí)仍然沒有到達(dá)勢(shì)壘頂點(diǎn),只能沿著原路徑返回,類似于反射的情況;但是量子力學(xué)給出的結(jié)論是,粒子依然會(huì)穿過勢(shì)壘,只不過概率以指數(shù)的形式衰減。
為了定量地分析這個(gè)過程,我們引入隧穿系數(shù)的概念,定義勢(shì)壘深度x處的粒子出現(xiàn)概率和勢(shì)壘界面處粒子出現(xiàn)的概率的比值為粒子穿透到x處的穿透系數(shù),本質(zhì)上反映的是隧穿的百分比??梢院?jiǎn)單得到隧穿系數(shù)為。
3 半導(dǎo)體器件中的量子隧穿效應(yīng)
半導(dǎo)體器件的原理都是利用半導(dǎo)體晶體管實(shí)現(xiàn)一個(gè)比特的儲(chǔ)存和操作,其基本的結(jié)構(gòu)如圖所示,源極和漏極都是半導(dǎo)體材料,其導(dǎo)電性通過柵極控制。改變柵極的電壓,可以改變柵極包覆的半導(dǎo)體材料的導(dǎo)電性,進(jìn)而控制源極和漏極之間的通斷。而整個(gè)基底材料和柵極之間由絕緣層隔開,保證二者不會(huì)漏電導(dǎo)致晶體管邏輯錯(cuò)誤。
這個(gè)原理在經(jīng)典物理的范疇內(nèi)并不會(huì)出錯(cuò),但是如果考慮量子力學(xué)的效應(yīng),就可能會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤,比如說柵極的電子如果通過量子隧穿透過絕緣層直接到達(dá)基底材料形成電流通路,絕緣層將形同虛設(shè)。接下來我們將基于之前的理論模型分析量子隧穿效應(yīng)對(duì)此的影響(見圖1)。
為了定量分析由于量子隧穿導(dǎo)致的絕緣層漏電問題,首先要弄清楚絕緣與導(dǎo)電在微觀層面的區(qū)別。在這里需要引入能帶這一概念,在晶體中運(yùn)動(dòng)的電子占據(jù)的能量并非是任意,而是形成許多個(gè)不同的能區(qū),能區(qū)由十分密集的能級(jí)組成,稱為能帶,能帶與能帶間存在有禁區(qū),稱為禁帶。若一個(gè)能帶中,所有部分都被電子填滿,稱為滿帶。不與其他空的能帶重疊的滿帶,電子在外電場(chǎng)作用下不出現(xiàn)電流,沒有導(dǎo)電作用。若能帶只填入部分電子。這些電子在外電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)將產(chǎn)生電流,稱為導(dǎo)帶。對(duì)于絕緣體而言,其電子占據(jù)的能量最高的能帶是滿帶,在電場(chǎng)驅(qū)動(dòng)下不能產(chǎn)生電流,除非電子躍遷到未被電子占據(jù)的更高的能帶上去,而這一過程,可以用電子隧穿勢(shì)壘的模型來描述。我們可以將禁帶的寬度作為電子運(yùn)動(dòng)中遇到的勢(shì)壘和其動(dòng)能的差值,按照量子隧穿的模型,電子有可能穿透到勢(shì)壘的內(nèi)部,如果這個(gè)勢(shì)壘的寬度小于電子深入勢(shì)壘的有效距離,那么就可以認(rèn)為電子穿透了整個(gè)勢(shì)壘,此時(shí)絕緣體不再絕緣。
在這里,我們選取常見的半導(dǎo)體材料作為分析的對(duì)象,定義電子隧穿系數(shù)為0.001的位置作為電子的穿透深度,帶入隧穿系數(shù)為的公式中,反解可以得到電子在常見半導(dǎo)體材料制作的絕緣層中的穿透深度如表1。
可以看到,對(duì)于常見的半導(dǎo)體材料,隧穿深度都在納米的量級(jí),也就是說,基于半導(dǎo)體材料的集成電路芯片,一旦制造尺度達(dá)到納米量級(jí),量子隧穿效應(yīng)將會(huì)導(dǎo)致絕緣層漏電,電路發(fā)生邏輯錯(cuò)誤。作為微觀世界的基本現(xiàn)象,經(jīng)典電路無法克服這一點(diǎn),即使改進(jìn)工藝和材料,也只能暫時(shí)避免隧穿電流的影響,一旦進(jìn)一步減小晶體管尺寸,總會(huì)有無法繞開量子隧穿的時(shí)候。此時(shí),也只能放棄經(jīng)典電路的工作方式,基于量子力學(xué)原理來設(shè)計(jì)電路,才能進(jìn)一步地發(fā)展下去。
4 總結(jié)與展望
本課題從量子力學(xué)的基本運(yùn)動(dòng)方程,薛定諤方程出發(fā),利用階梯勢(shì)壘地簡(jiǎn)單模型,計(jì)算了量子隧穿的隧穿系數(shù),并且將之應(yīng)用于半導(dǎo)體材料當(dāng)中,以此計(jì)算半導(dǎo)體晶體管能夠避免量子隧穿的影響,保持正常工作的最小尺寸,結(jié)果表明常見的半導(dǎo)體材料中,電子發(fā)生量子隧穿的深度在納米量級(jí),一旦晶體管尺寸接近這個(gè)量級(jí),隧穿效應(yīng)導(dǎo)致的漏電將不可避免。
當(dāng)然,本文在分析的過程中為了突出主要的物理圖像而簡(jiǎn)化了細(xì)節(jié),模型精細(xì)程度不夠,存在很多需要改進(jìn)的地方,比如利用階梯勢(shì)壘作為電子遇到絕緣層的近似模型與現(xiàn)實(shí)情況存在一定差異;再者電子在材料當(dāng)中的運(yùn)動(dòng)情況非常復(fù)雜,自由電子近似也不能精確描述這一過程;同時(shí),半導(dǎo)體材料的能帶特征對(duì)溫度有很強(qiáng)的依賴關(guān)系,這一點(diǎn)在本文的計(jì)算中沒有詳細(xì)討論。這些都值得進(jìn)一步的探究。
參考文獻(xiàn)
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