借助變式，活化教學(xué)

龔健美

[摘 ?要] 變則通，通則久！對于高中數(shù)學(xué)教學(xué)而言，也需要運用變式，借助于變式豐富數(shù)學(xué)情境，借助于變式幫助學(xué)生實現(xiàn)知識的意義建構(gòu)，借助于變式讓問題的針對性更明顯，借助于變式讓學(xué)生的思維向縱深發(fā)展.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);變式;問題;探究

學(xué)習(xí)的過程是曲折的、螺旋式的上升過程，為了促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識的內(nèi)涵與外延，提高知識應(yīng)用的準(zhǔn)確性，發(fā)散學(xué)生的思維，我們在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中要適當(dāng)?shù)剡\用變式. 筆者在高中數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中發(fā)現(xiàn)，通過變式問題的挖掘，能夠促進(jìn)學(xué)生走進(jìn)教學(xué)情境，引發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識、問題的思考，在解決一個個變式問題的過程中內(nèi)化知識，發(fā)展素養(yǎng). 文章結(jié)合具體的高中數(shù)學(xué)教學(xué)實踐，談一談筆者的認(rèn)識.

變式在數(shù)學(xué)情境創(chuàng)設(shè)中的應(yīng)用

好的開始是成功的一半！有效的高中數(shù)學(xué)教學(xué)離不開導(dǎo)入情境的創(chuàng)設(shè)，如何創(chuàng)設(shè)情境呢？眾所周知，高中數(shù)學(xué)知識抽象、生澀、復(fù)雜、難懂，創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境的目的在于給學(xué)生呈現(xiàn)出知識的直觀面，此時應(yīng)用變式來創(chuàng)設(shè)情境能夠引導(dǎo)學(xué)生從多個視角觀察問題，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的探究興趣，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解[1].

例如，我們在和學(xué)生一起學(xué)習(xí)“指數(shù)函數(shù)”這部分內(nèi)容時，就可以借助于具體的活動，然后設(shè)計一系列變式問題來完成知識內(nèi)容相關(guān)教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)，激活學(xué)生的思維.

展示實踐過程：首先，將一張白紙平均地撕成兩部分;接著，將這撕下的兩部分白紙重疊在一起再進(jìn)行對折;然后再重疊、再對折，不斷地重復(fù)上述實踐過程，若已知這張白紙的厚度是0.15 mm.

問題1：如果老師第四次撕紙時，大家估計一下這張紙此時的厚度是多少？

問題2：如果老師第八次撕紙時，大家再估計一下？

問題3：如果老師第十六次撕紙呢？

問題4：知道了一張紙的厚度和對折的次數(shù)，對應(yīng)的撕紙后白紙的厚度如何計算？

問題5：觀察上述幾個問題，想一想幾次實踐數(shù)據(jù)之間有著怎樣的關(guān)聯(lián)？是否有一種函數(shù)對應(yīng)關(guān)系？

“可視化實踐”加上“變式問題”構(gòu)成了完整的導(dǎo)入情境，順著這樣的變式情境，學(xué)生的思考與探究逐步展開，思維觸角觸到“指數(shù)函數(shù)”相關(guān)知識內(nèi)容中來，順利完成教學(xué)導(dǎo)入.

實踐經(jīng)驗表明，借助于利用變式問題進(jìn)行情境的創(chuàng)設(shè)能夠有效嫁接生活與數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系，搭建一個個小平臺引領(lǐng)學(xué)生拾級而上.

變式在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)知識大廈是由一個個概念構(gòu)建而成的，概念是數(shù)學(xué)知識體系的脊梁. 如何優(yōu)化我們的高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)呢？筆者在實踐中發(fā)現(xiàn)，借助變式進(jìn)行數(shù)學(xué)的基本概念教學(xué)，能夠引導(dǎo)學(xué)生更全面地認(rèn)識數(shù)學(xué)概念，促進(jìn)學(xué)生對概念內(nèi)涵、外延的理解，實現(xiàn)概念之間的有效聯(lián)結(jié)，讓整個高中數(shù)學(xué)概念體系不斷地豐富和完善，推動學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解、認(rèn)識更具整體性和系統(tǒng)性.

例如，我們在和學(xué)生一起學(xué)習(xí)“拋物線”這部分內(nèi)容時，可以引導(dǎo)學(xué)生從典型的問題入手，通過變式的方式逐步構(gòu)建完整的知識體系.

典型問題：A（a，3）是拋物線y2=2px上的一點，已知它與拋物線焦點之間的距離為4，求出p和a的值.

問題分析：上述問題是一個典型的基礎(chǔ)性問題，對于學(xué)生來說套用公式就可以很快得到答案，我們的教學(xué)可以以此為基礎(chǔ)進(jìn)行變式，推動學(xué)生對這部分內(nèi)容進(jìn)行較為全面的理解.

變式1：已知動點A到直線x+4=0的距離與其到定點p（2，0）的距離之差等于2，試分析點A的軌跡是怎樣的.

變式意圖：借助變式1，學(xué)生進(jìn)一步研究了拋物線上的點的運動軌跡，相比于典型問題促進(jìn)了學(xué)生對基本概念的理解.

變式2：已知點P的坐標(biāo)為（6，4），此外，拋物線x2=4y上有一動點A，試求點A到點P的距離與其到x軸距離的和的最小值.

設(shè)計意圖：變式2是在變式1的基礎(chǔ)上的再一次提升，難度上有所加大，但還是緊扣拋物線這一核心概念，但是隨著從基礎(chǔ)題到變式1、變式2，設(shè)計的問題難度在不斷地提升，促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的不斷發(fā)展，讓學(xué)生對基本概念的理解更為透徹和全面了.

筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，對于數(shù)學(xué)概念教學(xué)而言，借助于變式有助于學(xué)生更為深刻地理解概念，為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下良好、扎實的基礎(chǔ)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

變式在探究活動中的應(yīng)用

有效的高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該是學(xué)生自主探究獲得知識的過程，此時就涉及一個課堂效率的問題，同時又要避免從滿堂灌走向滿堂問，此時就需要我們教師科學(xué)地發(fā)揮主導(dǎo)性作用，筆者認(rèn)為將變式與探究活動結(jié)合到一起，借助于變式問題領(lǐng)引學(xué)生對數(shù)學(xué)知識進(jìn)行深入的探究，能夠有效提升課堂教學(xué)的效果，學(xué)生在完成知識學(xué)習(xí)的過程中，獲得探究能力和數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的提升.

例如，我們在和學(xué)生一起學(xué)習(xí)等差數(shù)列這部分內(nèi)容時，可以借助如下幾個變式問題來引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考與探究.

有一個無窮等差數(shù)列，已知其首項為a1，公差為d. 完成下列幾個問題的思考與探究.

問題1：如果該數(shù)列中的前m項刪掉，將其余的各項再組成新數(shù)列，試問這一新數(shù)列還是等差數(shù)列嗎？如果判斷新的數(shù)列是等差數(shù)列，請求出新數(shù)列的首項與公差. 如果判斷新的數(shù)列不是等差數(shù)列，請說明判斷的理由.

問題2：如果將原數(shù)列中所有的奇數(shù)項取出再組成新數(shù)列，試問這一新數(shù)列還是等差數(shù)列嗎？如果判斷新的數(shù)列是等差數(shù)列，請求出新數(shù)列的首項與公差. 如果判斷新的數(shù)列不是等差數(shù)列，請說明判斷的理由.

問題3：如果將原數(shù)列中所有項數(shù)為7的倍數(shù)的各項取出再組成新數(shù)列，試問這一新數(shù)列還是等差數(shù)列嗎？如果判斷新的數(shù)列是等差數(shù)列，請求出新數(shù)列的首項與公差. 如果判斷新的數(shù)列不是等差數(shù)列，請說明判斷的理由.

設(shè)計意圖：學(xué)生在學(xué)習(xí)等差數(shù)列這個概念時往往感覺困難，如果我們忽視了概念教學(xué)本身，而直接調(diào)至概念的應(yīng)用，往往學(xué)生思維容易脫節(jié)，教學(xué)效果不佳，上述問題變式將概念教學(xué)轉(zhuǎn)化為具體的問題，學(xué)生在解決具體問題的過程中主動思索，每個變式都能夠有效撞擊學(xué)生的思維，推動學(xué)生認(rèn)知有效發(fā)展.

變式在習(xí)題教學(xué)中的應(yīng)用

習(xí)題教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)不可缺失的一種重要課型，習(xí)題教學(xué)是學(xué)生在應(yīng)用知識解決數(shù)學(xué)問題的過程，該過程中學(xué)生進(jìn)一步內(nèi)化知識，發(fā)展解決具體問題的能力，在此過程中如果我們巧妙變式能夠有效擴(kuò)寬學(xué)生解決問題的路徑，完善學(xué)生的數(shù)學(xué)知識體系，提升數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)[2].

變式在習(xí)題教學(xué)中的應(yīng)用不是為了刷題，增加學(xué)生的課業(yè)負(fù)擔(dān)，筆者認(rèn)為我們的變式應(yīng)該發(fā)生在數(shù)學(xué)問題的承接環(huán)節(jié)，借助于變式促進(jìn)學(xué)生能夠有效打通數(shù)學(xué)知識間的隔膜，促進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)散性思維的發(fā)展.

例如，有如下一道習(xí)題的變式教學(xué).

變式策略：如何將這道習(xí)題進(jìn)行變式，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的思維呢？從題目所給的條件出發(fā)進(jìn)行變式，如將“a>1”這一條件進(jìn)行變式處理，改為“a>0且a≠1”，則學(xué)生在解決問題的過程中就需要分“a>1”與“0<a<1”兩個范圍進(jìn)行討論，提高思維的嚴(yán)謹(jǐn)性;第（3）問的變式處理可以將題設(shè)條件豐富化，如改為：“在函數(shù)f（x）的圖像上任取一點P（x0，y0），證明：它關(guān)于直線y=x的對稱點也在函數(shù)f（x）的圖像上”. 通過這樣的變式處理能夠有效幫助學(xué)生反思自己原有的解題思路和過程，檢驗當(dāng)初自己思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力，提高思維的靈活度.?

總體而言，“變式”應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中能夠有效發(fā)散學(xué)生的思維，促進(jìn)學(xué)生對概念本身的內(nèi)化，也能夠讓概念的應(yīng)用更有效，符合當(dāng)前發(fā)展學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)總的教學(xué)目標(biāo)要求，讓我們的高中數(shù)學(xué)課堂變得更為高效.

參考文獻(xiàn)：

[1] ?吳春燕. 高中生數(shù)學(xué)概念理解障礙的初步研究[D]. 山東師范大學(xué). 2007.

[2] ?張忠潮，汪本旺. 習(xí)題教學(xué)應(yīng)提升學(xué)生的思維能力——以《基本不等式》習(xí)題課為例[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2016（6）：5-8.