高次非負(fù)實系數(shù)遞推數(shù)列的數(shù)值通項求解及思路深探

竇明華

無論是高考還是競賽，數(shù)列扮演著重要的角色，占據(jù)了舉足輕重的地位。而對于較為常規(guī)的線性實系數(shù)遞推，已有一套完整的理論體系和解決策略，即使是競賽中出現(xiàn)的一些非線性逆推數(shù)列，也往往可以結(jié)合換元，放縮，母函數(shù)求導(dǎo)或積分，不動點法等進(jìn)行求解，在此筆者不作過多贅述。然而總會存在某些非線性遞推數(shù)列，其通項公式無法僅用初等方法求出，如：

an+1=an2+1???????????? a0=1.求其通項 an.

該問題困擾筆者很長時間，直至筆者意識到其解析通項不存在，并利用數(shù)值逼近的思路得到其數(shù)值通項，同時將該思路推廣至高次形式。本文將對此作出全面詳細(xì)的闡述，其中將涉及一些簡單的高等數(shù)學(xué)知識，但是配合筆者的描述來進(jìn)行理解應(yīng)該并非難事。

考慮如下的遞推數(shù)列：

為了進(jìn)行數(shù)值估計，我們對求和進(jìn)行處理：

考察無窮級數(shù)

有

故

故由此值判別法知無窮級數(shù)收斂，即

其中

下面對rn進(jìn)行考察：

根據(jù)an遞增的性質(zhì)，

故必存在一個充分大的正整數(shù)N，使得大于N的整數(shù)n滿足，

（這里的[x]為取整函數(shù)，{x}=x-[x]）

于是我們便得到了該數(shù)列的數(shù)值通項，但必須滿足 ，否則將無法對an進(jìn)行確定，之所以沒有將此系數(shù)限制條件置于文首，是為了使論述過程更加自然，而在運(yùn)用此方法時，βk>2βk-1的條件不可忽略。

數(shù)列與函數(shù)有何聯(lián)系？這個問題引人深思，它們都建立了變量之間的聯(lián)系。但相較于數(shù)列而言，函數(shù)仿佛更勝一籌，這是因為函數(shù)的連續(xù)性可使其更直觀地應(yīng)用于生活，且函數(shù)的多變量化可以解決更復(fù)雜的問題，分析學(xué)的建立更是令函數(shù)如虎添翼，如此來看，似乎所有的數(shù)列問題都可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來分析，數(shù)列的已知遞推求通項問題可以化為函數(shù)的n次選代的問題，不動點法就是很好的例證，母函數(shù)和無窮級數(shù)的收斂判定不等式法也是函數(shù)為數(shù)列所用的實例。

但上述問題的解法便是對此觀點的有力反駁。數(shù)列的離散性使其擁有更為簡單的存在形式，對于此類數(shù)列，其函數(shù)幾次選代的解析結(jié)果很難得到，但其離散數(shù)值通項卻較易求得。這也就意味著利用數(shù)列對函數(shù)的變化性態(tài)進(jìn)行分析會更容易、直觀，而取整函數(shù)所造成的“近似性”也可以大大簡化分析的過程。其次，數(shù)列作為一種特殊的遞推模型，比函數(shù)模型的構(gòu)造更為簡單，在組合數(shù)學(xué)中此思想被廣泛應(yīng)用。

以上為筆者對較一般情形下非負(fù)系數(shù)高次遞推的方法闡述及思路探究，望有拋磚引玉之用。限于筆者學(xué)識淺薄，難免有錯誤或不當(dāng)之處，望讀者斧正。