初中生學習函數(shù)的困擾和教學探索

王瑋瑋

摘 要：在初中數(shù)學學習的最后階段，二次函數(shù)往往是學生學習的最大困擾，而很多學生升入高中之后，面對迎面而來的f（x）的概念，顯得不知所措，不明白函數(shù)到底是什么，造成數(shù)學成績的直線下降。目前的數(shù)學大綱，初中階段認識函數(shù)，并主要學習了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、三角函數(shù)等內(nèi)容。對這些函數(shù)學習的好壞，直接關(guān)系到中學后繼續(xù)學習的難易程度問題。

關(guān)鍵詞：函數(shù);概念;對應(yīng)關(guān)系

在中學學習中，函數(shù)是最重要的概念之一。函數(shù)概念深刻地反映了客觀世界的運動變化與實際事物的量與量之間的依存關(guān)系。它告訴人們一切事物都在不斷地變化著，相互聯(lián)系，相互制約，從而了解事物的變化趨勢及其運動規(guī)律。函數(shù)的概念不僅與中學數(shù)學中的重要分支有密切聯(lián)系，也是近代數(shù)學的基礎(chǔ)。由于函數(shù)思想充分體現(xiàn)了集合、對應(yīng)、映射等基本數(shù)學思想，因而就是中學數(shù)學能接近數(shù)學科學的近代水平，進而使學生獲得基本的、深刻的、有用的高等數(shù)學思想方法。

一、初中教材中函數(shù)的基本情況

課標解讀中指出，初中階段函數(shù)的內(nèi)容包括：常量和變量，函數(shù)的概念和三種表示方法，正比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)。

我們看到北師大版的教材是這樣編排的：七年級下冊介紹了“變量之間的關(guān)系”，學生從具體情境出發(fā)，感受“變量”和“常量”，“因變量隨著自變量的變化而變化”，同時表現(xiàn)這種關(guān)系的方式有三種：表格法、表達式法和圖象法。在此基礎(chǔ)上八年級上冊引入了平面直角坐標系，緊接著就是一次函數(shù)的教學。在這一章，正式引入了函數(shù)的概念。在九年級上冊學習了反比例函數(shù)，九年級下冊就是對三角函數(shù)和二次函數(shù)的認識。其中對三角函數(shù)只是讓孩子明確了三角函數(shù)的概念，而三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)則沒有做要求。

我們看到，在正式介紹函數(shù)概念之前，課本先后做了“變量之間的關(guān)系”和“位置與坐標”這兩個知識準備。這兩個知識就是為函數(shù)的學習做準備的，而在講授一次函數(shù)，反比例函數(shù)，二次函數(shù)時都是按照函數(shù)的概念—函數(shù)的圖象—函數(shù)的性質(zhì)—函數(shù)的應(yīng)用這四個維度來進行的。

二、學生學習函數(shù)的基本情況和困難

1.學生學習函數(shù)的困惑

函數(shù)是什么？為什么叫函數(shù)？函數(shù)是一種數(shù)嗎？這是初中生剛開始接觸函數(shù)時最常見的問題。

函數(shù)到底是哪個表達式呢，還是哪個圖象呢？還是什么？這是初中生接觸函數(shù)一段時間過后的問題。

在教學中我們發(fā)現(xiàn)，學生在學習函數(shù)時，對于函數(shù)的三種表達形式都能掌握，但是他們不能建立這三者之間的聯(lián)系，學習一次函數(shù)就認為是個一次方程，學習二次函數(shù)就認為是一個二次方程，到最后學完二次函數(shù)之后學生仍不清楚什么是函數(shù)，對函數(shù)的不同表現(xiàn)形式、對不同函數(shù)之間的共同點沒有建立起聯(lián)系，知識之間是孤立的，究其根本就是在學習一次函數(shù)之初，對函數(shù)的概念并沒有根本的掌握。

在初中階段，函數(shù)給出的定義是：在某個變化過程中，兩個變量x和y，如果給出一個x值，相應(yīng)地就確定了一個y值，那么我們稱y是x的函數(shù)，其中x是自變量，y是因變量。那么問題就來了，變量學生好理解，那么函數(shù)是個什么呢？是y嗎？那怎么又會變成哪條線，哪個表達式呢？

2.初中生學習函數(shù)困惑的原因

一方面，函數(shù)本身概念的抽象性和復雜性是導致學生學習函數(shù)困難的最大原因，函數(shù)涉及的變量，學生對什么是變量往往認識不清，單純地以為字母就是變量，在教學實踐中，往往對變量的教學不夠深刻，而學生在接觸變量之前一直接觸的都是常量的學習，對變量認識不清，自然對函數(shù)的概念理解不了。

另一方面，初中生思維發(fā)展的局限性也是造成函數(shù)學習困難的因素，函數(shù)體現(xiàn)的是一個量隨著另一個量變化而變化，這種動態(tài)的整體的思想對于中學生理解起來有一定困難，心理學研究表明：初中生的思維發(fā)展水平是從具體形象思維逐步過渡到形式邏輯思維水平，高中生在繼續(xù)完善形式邏輯思維發(fā)展的前提下，辯證思維發(fā)展開始逐漸占主流。但辯證思維是人類思維發(fā)展的最高形式，中學生的辯證思維基本上處于形成與發(fā)展的早期階段。這樣一方面是中學生的辯證思維發(fā)展很不成熟，思維水平基本上停留在形式邏輯思維的范疇，只能局部地、靜止地、割裂地認識事物;另一方面函數(shù)的特征是發(fā)展的、變化的、與眾多數(shù)學知識相互聯(lián)系的，屬于辯證概念。這個矛盾構(gòu)成了函數(shù)學習中一切認知障礙的根源。

三、初中函數(shù)教學的幾點建議

1.函數(shù)學習前加強對變量概念、坐標系、坐標變化的教學

在七年級下冊，我們就開始接觸變量和變量之間的關(guān)系。通過具體實例，從表格、表達式、圖象三種形式讓學生探索實例中的數(shù)量關(guān)系，了解常量和變量的意義，感受一個量隨著另一個量的變化而變化這一關(guān)系。在具體教學中，我們要提供豐富的、有代表性的實際情境，讓學生在變量的教學中，會區(qū)分變量和常量的差別，特別是在具體的情境中，區(qū)分變量、常量，誰是自變量，誰是因變量。并且給予孩子充分的時間去思考“因變量隨著自變量的變化而變化”這個關(guān)系。

在一次函數(shù)教學之前，先進行了關(guān)于坐標系的學習，而坐標系的學習對于學生來說困難不大，這就使得我們很多教學者認為不難，忽略了對學生基本知識的要求，學生也對這個知識掉以輕心，等到后面學習函數(shù)時，才發(fā)現(xiàn)之前的知識掌握并不牢固。首先要明確在七年級學習了數(shù)軸的基礎(chǔ)上，平面直角坐標系產(chǎn)生的邏輯必然。同時建立圖形的位置和坐標之間的數(shù)形聯(lián)系，意識到平面直角坐標系把數(shù)和形結(jié)合到了一起。

2.要理解教材編寫的意圖

在北師大版教材中，函數(shù)這一節(jié)課本給了三個情境：（1）摩天輪上一點高度和時間之間的關(guān)系，通過圖像和表格法體現(xiàn)，并提出了這樣一個問題：對于給定的時間t，相應(yīng)的高度h確定嗎？（2）罐頭盒等圓柱形物體堆放，隨著層數(shù)的增加，物體的總數(shù)就會增加，配以表格的形式，讓學生填入不同的層數(shù)n，對應(yīng)的物體總數(shù)y。同時，這個情境的重點不能放在數(shù)值的計算上，而是放在體會“兩個變量的對應(yīng)上”。（3）給出一個物理概念，熱力學溫度T與攝氏度t之間的關(guān)系式：T=t+273，T≥0，給出t=-43，-27，0，18時，求出相應(yīng)T的值。同時提出這樣一個問題：給定一個大于-273℃的t的值，你都能求出相應(yīng)的T值嗎？

從這三個問題的設(shè)置來看，教材的主要意圖有哪些，老師有沒有理解到位，是能否上好函數(shù)概念的基礎(chǔ)。

我認為教材中的三個情境，主要意圖有這幾點：（1）每個情境中有兩個變量，并且體會兩個變量之間的依存關(guān)系。（2）描述兩個變量之間的關(guān)系，我們通常有三種方式，并且這三種方式有時可以轉(zhuǎn)換，有時卻不容易表達。（3）情境三中感受“變量”和“常量”的區(qū)別。那么情境一和情境二中有沒有常量？這個常量在哪里？（4）兩個變量中，有一個是自變量，一個是因變量，并且因變量是隨著自變量的變化而變化。除了這些比較明顯的意圖之外，還有兩點是我們忽略的：（1）在第一個情境中，我們看到給定t只有一個h與之對應(yīng)，但是一個h的值卻有幾個t與之對應(yīng)。（2）在第三個情境中，對于自變量和因變量的取值范圍有一個條件。之所以我們會忽略后面兩點，是因為在我們初中函數(shù)的教學要求中，對一一對應(yīng)和自變量因變量的取值范圍并沒有做過多的要求，因此我們往往就忽略了這一點。

3.函數(shù)教學中要強調(diào)學生對函數(shù)概念的理解

通過課本上的三個情境，歸納共同點，同時在教學中可以引導學生舉出更多的實例，讓學生自己舉出例子，在同學們已有的的變量常量、自變量因變量的基礎(chǔ)上，引出函數(shù)的概念：在一個變化過程中有兩個變量，對于變量x的每一個值，變量y都有唯一的值與它對應(yīng)，那么我們稱y是x的函數(shù)。表示函數(shù)的方法一般有列表法、關(guān)系式法、圖像法。很顯然，我們初中階段的函數(shù)概念是根據(jù)歐拉給出的概念，強調(diào)一個變量隨著另一個變量的變化而變化，這種過程叫做函數(shù)。那么我們在教學的時候就應(yīng)該強調(diào)函數(shù)的概念，拿出具體的實例，分析清楚是哪個變量隨著哪個變量的變化而變化。例如，情境一中，高度h隨著時間t的變化而變化，因此h是t的函數(shù)，但是反過來t是h的函數(shù)嗎？如果只是生硬地記：因變量是自變量的函數(shù)，那么在遇到自變量和因變量不明確時，學生就分不清誰是誰的函數(shù)了。我們在教學時，忽略了概念中“唯一”二字，在情境一中，一個t的值對應(yīng)一個h，反過來一個h的值卻對應(yīng)幾個t的值。因此只能是“多對一”而不能“一對多”。

4.講清函數(shù)的三種表達形式之間的聯(lián)系

初中階段我們的函數(shù)一般采用列表法、圖像法和關(guān)系式法三種表達形式，這三種表達形式是聯(lián)系著的，不是互相孤立的，在我們教學中要強調(diào)這三種方法之間的聯(lián)系，當我們重點講解表達式法的時候，問問學生這個函數(shù)如果用列表法怎么表示，如果用圖像法怎么表示。當然受我們初中階段學生知識水平的局限，并不是所有的函數(shù)都能夠用這三種方式表現(xiàn)出來，但是學生要懂得三種方式是共同存在的，不是孤立的。

初中階段我們學習的一個特別的函數(shù)是三角函數(shù)，在三角函數(shù)中，并不要求學生在函數(shù)的觀點下研究三角函數(shù)，這是初中學生的知識水平?jīng)Q定的，但是我們教學中并不能脫離“函數(shù)”的概念，單獨以“三邊的比例”這一觀點來教學，相反，這是一個很好的落實函數(shù)概念的契機。給定一個角度的值，就有唯一一個邊的比例的值與之對應(yīng)，邊的比例隨著角度的變化而變化。雖然我們現(xiàn)在并不能畫出函數(shù)圖像，但是這不正是一個契機，讓學生能夠明白函數(shù)的本質(zhì)就是對應(yīng)關(guān)系，而不是表現(xiàn)形式嗎？

5.加強函數(shù)與相關(guān)學科以及實際生活的聯(lián)系

函數(shù)關(guān)系不僅廣泛存在于學生的數(shù)學課程之中，還與其他學科以及學生的實際生活有密切的聯(lián)系。如：物理學中的自由落體運動、加熱過程中的溫度、生物學中的細胞繁殖速度等等與時間的關(guān)系，經(jīng)濟學的生產(chǎn)成本的核算、生產(chǎn)工效的提高等等大多數(shù)問題都可以歸結(jié)為函數(shù)關(guān)系。函數(shù)關(guān)系還與學生的實際生活息息相關(guān)，如，身高、體重等與年齡的對應(yīng)關(guān)系，電話費、水電費、出租車費與用時的關(guān)系，銀行利息與存款時間的關(guān)系等等都是函數(shù)關(guān)系。

總之，函數(shù)的教學是初中數(shù)學的結(jié)尾，也是高中數(shù)學的起始，它固然有它的難度，但是作為老師如果自己都不能把握函數(shù)概念的本質(zhì)又如何教學生呢？函數(shù)的概念是函數(shù)教學的基石，要舍得花時間，把函數(shù)的概念講透，學生才能進一步學習各種函數(shù)。誠然，函數(shù)的綜合題涉及的是多種知識的綜合運用，不僅僅是函數(shù)的知識，但是函數(shù)的教學是我們初中階段最后的壓箱石，更是學生進入高中進一步學習函數(shù)的基礎(chǔ)，所以需要我們在函數(shù)教學上花時間研究，花時間設(shè)計，為學生后面的數(shù)學學習提供好的生長點。

參考文獻：

卜以樓.生長數(shù)學：卜以樓初中數(shù)學教學主張[M].陜西師范大學出版社，2018.