親歷數(shù)學(xué)建模，感悟數(shù)學(xué)思想

沈軍梅

“鴿巢問(wèn)題”是義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)人教版六年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)廣角的內(nèi)容。鴿巢問(wèn)題又稱抽屜原理。本節(jié)課內(nèi)容既獨(dú)立又抽象，獨(dú)立是因?yàn)樗袆e于其他課，與前后知識(shí)點(diǎn)沒(méi)有聯(lián)系，比較孤立;抽象是因?yàn)椤傍澇矄?wèn)題”實(shí)際上是一種解決某種特定結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)或生活問(wèn)題的模型，是一種思想方法。教材緊緊圍繞學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，通過(guò)幾個(gè)直觀的例子，借助實(shí)際操作，向?qū)W生介紹“鴿巢問(wèn)題”。學(xué)生在理解“鴿巢問(wèn)題”這一數(shù)學(xué)方法的基礎(chǔ)上，對(duì)一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題“模型化”，會(huì)用“鴿巢問(wèn)題”解決問(wèn)題。例1教材借助把4支鉛筆放進(jìn)3個(gè)筆筒中的操作情景，介紹了一類簡(jiǎn)單的“鴿巢問(wèn)題”，即把m個(gè)物體任意分別放進(jìn)n個(gè)空抽屜里（m>n，n是非零自然數(shù)），那么一定有一個(gè)抽屜中放進(jìn)了至少2個(gè)物體。例2介紹的是另一種類型的“鴿巢問(wèn)題”，即把多余kn個(gè)物體任意放進(jìn)n個(gè)空抽屜（k是整數(shù)），那么一定有一個(gè)抽屜中放進(jìn)了至少（k+1）個(gè)物體。實(shí)際上，如果設(shè)定k=1，這類“鴿巢問(wèn)題”就變成了例1的形式。因此，這兩類“鴿巢問(wèn)題”本質(zhì)是一致的，例1只是例2的一個(gè)特例。

六年級(jí)學(xué)生已經(jīng)有一定的邏輯思維能力，理解“鴿巢問(wèn)題”的理論并不復(fù)雜，但在建立模型過(guò)程中，讓學(xué)生靈活、準(zhǔn)確地使用“總有”“至少”這些特定語(yǔ)言來(lái)表述，以及在具體應(yīng)用中找到實(shí)際問(wèn)題與“鴿巢問(wèn)題”模型之間的聯(lián)系是學(xué)生學(xué)習(xí)的兩個(gè)難點(diǎn)。在教學(xué)時(shí)，教師可以充分利用學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，放手讓學(xué)生自主思考，先采用自己的方法“證明”，然后再進(jìn)行交流，在交流中引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“枚舉法”“假設(shè)法”進(jìn)行比較，思考每種方法各有什么優(yōu)越性和局限性，讓學(xué)生逐步學(xué)會(huì)運(yùn)用一般性的數(shù)學(xué)方法來(lái)思考問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力。

基于對(duì)教材、學(xué)情的理解，我的教學(xué)實(shí)踐設(shè)計(jì)如下：

一、游戲?qū)?，激發(fā)興趣

課伊始，創(chuàng)設(shè)魔術(shù)表演的情境，老師手中有一副撲克牌，取出大小王，還剩52張牌，請(qǐng)1名學(xué)生隨意抽5張，老師猜出至少有2張是同一花色。再讓這名學(xué)生任意抽14張，老師猜出至少有一對(duì)花色相同。當(dāng)學(xué)生感受到老師的神奇時(shí)，教師引導(dǎo)說(shuō)，老師為什么能作出如此準(zhǔn)確的判斷呢？因?yàn)檫@個(gè)有趣的魔術(shù)中蘊(yùn)含著一個(gè)數(shù)學(xué)原理，這節(jié)課我們就用鉛筆和筆筒來(lái)研究這個(gè)原理。

二、動(dòng)手操作，感知模型

1.呈現(xiàn)問(wèn)題

課件出示：把4支鉛筆放進(jìn)3個(gè)筆筒里，你可以怎樣擺放？有幾種不同的擺放方法？

2.實(shí)物操作

組織學(xué)生小組合作，邊擺邊記錄，教師巡視。

3.反饋交流

（1）枚舉法。各小組學(xué)生口述擺放方法，老師在黑

板上用數(shù)的分解的方式把所有的可能都羅列出來(lái)，

即（4，0，0）（3，1，0）（2，1，1）（2，2，0），并指出，像這樣把所有的方法一一列舉出來(lái)，得到結(jié)論的方法叫作枚舉法（板書(shū)）。

觀察四種方法有什么共同點(diǎn)？學(xué)生發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)共同點(diǎn)：一是每種方法的3個(gè)筆筒里都有4支鉛筆。二是每種方法中總有一個(gè)筆筒至少有2支鉛筆。根據(jù)第二個(gè)共同點(diǎn)，理解關(guān)鍵詞“總有”和“至少”。學(xué)生認(rèn)為“總有”是一定有、肯定有的意思;“至少”是最少的意思。老師在此環(huán)節(jié)進(jìn)行三個(gè)追問(wèn)幫助學(xué)生深度理解“總有一個(gè)筆筒至少有2支鉛筆”這句話。追問(wèn)1：“至少2支”究竟指的是多少支？學(xué)生思考后回答：“至少2支”是指2支及2支以上，即一定有一個(gè)筆筒最少有2支鉛筆，或者2支以上。追問(wèn)2：2支、3支、4支、5支……都可以嗎？一名學(xué)生說(shuō)最多是4支，不可能超過(guò)4支。追問(wèn)3：哪個(gè)筆筒里至少會(huì)有2支鉛筆呢？學(xué)生觀察后得出：放得最多的筆筒里至少有2支鉛筆。有學(xué)生質(zhì)疑，（2，2，0）這種擺放方法不符合這個(gè)結(jié)論，有2個(gè)筆筒里都有2支鉛筆。全班再次理解后得出：“總有一個(gè)”的意思就是存在一個(gè)就可以了，兩個(gè)筆筒里都是最多的也可以。

（2）假設(shè)法。如果每個(gè)筆筒里不允許放2支及2支以上的鉛筆，你能辦到嗎？學(xué)生說(shuō)不可以，假如每個(gè)筆筒里都先放1支，最多放3支，剩下1支不管放進(jìn)哪個(gè)筆筒，總有一個(gè)筆筒里至少有2支鉛筆。老師指出，這種方法，我們稱為“假設(shè)法”，先假設(shè)每個(gè)筆筒里都放1支鉛筆，余下的1支無(wú)論放進(jìn)哪個(gè)筆筒，都會(huì)出現(xiàn)“總有一個(gè)筆筒里至少有2支鉛筆”的結(jié)論。

4.優(yōu)化策略

這種假設(shè)法你能用算式表示嗎？學(xué)生列出4÷3=1…1，1+1=2，老師追問(wèn)商1和余1的意義是否相同。這種推理方法與枚舉法中的那種擺放方法實(shí)際上是一樣的？一名學(xué)生說(shuō)是（2，1，1），為什么只研究這種方法就能斷定一定有“至少2支鉛筆放到同一個(gè)筆筒里”？師生共同討論后得出：

從最不利的情況考慮，把鉛筆平均分，把鉛筆依次放進(jìn)筆筒里，這樣每個(gè)筆筒里放1支，不讓任何一個(gè)筆筒空著，就達(dá)到了讓所有筆筒中的鉛筆最少的目的，而另一支鉛筆不管怎么放，都一定能保證總有2支鉛筆放進(jìn)同一個(gè)筆筒里。

而其他方法，有的也放進(jìn)2支，甚至是3支、4支，這樣只能說(shuō)明有2支以上的鉛筆放進(jìn)同一個(gè)筆筒里，不能滿足“至少”這個(gè)條件，所以只要這種情況考慮了，其他條件就一定能滿足，也就是說(shuō)其他情況就不用考慮了。

三、深入探究，建立模型

1.加深感悟

如果5支鉛筆放進(jìn)4個(gè)筆筒里，會(huì)有什么結(jié)果呢？學(xué)生用假設(shè)法很快得出結(jié)論：總有1個(gè)筆筒里至少有2支鉛筆。如果6支鉛筆放進(jìn)5個(gè)筆筒里，10支鉛筆放進(jìn)9個(gè)筆筒里，100支鉛筆放進(jìn)99個(gè)筆筒里等，你有什么發(fā)現(xiàn)？學(xué)生獨(dú)立思考后發(fā)現(xiàn)，只要鉛筆的數(shù)量比筆筒的數(shù)量多1，余數(shù)都是1，那么總有一個(gè)筆筒至少要放進(jìn)2支鉛筆。

2.提升思維

如果鉛筆的數(shù)量不是比筆筒的數(shù)量多1呢？5支鉛筆放入3個(gè)筆筒，總有一個(gè)筆筒里至少有幾支鉛筆？小組同學(xué)交流后進(jìn)行集體反饋，重點(diǎn)討論：先在每個(gè)筆筒放1支，剩下2支再平均分后放入不同的筆筒，這樣才能保證放得最多的那個(gè)筆筒里的鉛筆數(shù)最少。

3.建立模型

請(qǐng)獨(dú)立思考7支鉛筆放入3個(gè)筆筒里會(huì)有什么結(jié)果？把m支鉛筆放入n個(gè)筆筒里，不管怎么放，總有一個(gè)筆筒里至少放幾支鉛筆？學(xué)生思考后集體交流，得到結(jié)論：當(dāng)鉛筆比筆筒多時(shí)，不管怎么放，總有一個(gè)筆筒里至少有（商+1）支筆。

4.揭示課題

同學(xué)們發(fā)現(xiàn)的這個(gè)規(guī)律，其實(shí)就是一個(gè)非常著名的數(shù)學(xué)問(wèn)題，叫抽屜原理，剛才用鉛筆和筆筒研究這個(gè)原理的時(shí)候，把鉛筆看作被分的物體，筆筒看作抽屜。數(shù)學(xué)研究是無(wú)國(guó)界的。還有一些國(guó)家是用鴿子和鴿巢來(lái)研究物體和抽屜的關(guān)系。雖然研究的素材不同，但反映的原理卻是相同的，所以抽屜原理也被稱為鴿舍原理，把這類問(wèn)題稱為“鴿巢問(wèn)題”（揭示課題）。因?yàn)樽钕劝l(fā)現(xiàn)這一規(guī)律的人是德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷，人們?yōu)榱思o(jì)念他能從這么平凡的事情中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，就把這個(gè)規(guī)律用它的名字命名，叫“狄利克雷”原理。

四、運(yùn)用模型，解決問(wèn)題

首先讓學(xué)生解釋課前撲克牌游戲里老師能快速做出正確判斷的秘密，接著讓學(xué)生舉出一些能用鴿巢原理揭示的生活中的例子，最后完成課本69頁(yè)的做一做。在教學(xué)時(shí)，可以讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)什么相當(dāng)于“鴿巢”，什么相當(dāng)于“鴿子”，用模型化的語(yǔ)言來(lái)解釋，幫助學(xué)生找到實(shí)際問(wèn)題與“鴿巢問(wèn)題”模型之間的聯(lián)系。

教學(xué)后，反思如下：

1.游戲?qū)耄ぐl(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

課伊始，我就從學(xué)生喜歡的魔術(shù)游戲入手，創(chuàng)設(shè)關(guān)于“鴿巢問(wèn)題”的“行為表征”的情境，提出了待解決的問(wèn)題，“知道老師為什么能做出準(zhǔn)確的判斷嗎？因?yàn)檫@個(gè)有趣的魔術(shù)中蘊(yùn)含著一個(gè)數(shù)學(xué)原理，這節(jié)課我們就研究這個(gè)原理”。圍繞著中心問(wèn)題而展開(kāi)教學(xué)，抓住學(xué)生好奇的心理，激發(fā)學(xué)生的求知欲，喚起學(xué)生的主體意識(shí)，為學(xué)生自主探索、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題營(yíng)造氛圍。

2.重組教材，實(shí)施過(guò)程簡(jiǎn)潔有效

教材中的例1借助可操作、直觀的素材，介紹了“鴿巢原理”的最基本形式，只需口頭表達(dá)，例2提高到用算式推理過(guò)程表達(dá)，介紹了“鴿巢原理”的一般形式。為了讓學(xué)生從直觀操作順利過(guò)渡到抽象的推理，本節(jié)課我一改教材69頁(yè)例2“7本書(shū)放入3個(gè)抽屜”的情境，將例1“筆筒放入鉛筆”的情境貫穿課的始終，使得教學(xué)結(jié)構(gòu)緊湊，實(shí)施過(guò)程層層推進(jìn)，扎實(shí)有效，體現(xiàn)了課堂教學(xué)的整體性和簡(jiǎn)約性。

3.自主構(gòu)建，注重?cái)?shù)學(xué)思想方法滲透

首先引導(dǎo)學(xué)生從簡(jiǎn)單的情況開(kāi)始研究，滲透“建模”思想。學(xué)生通過(guò)枚舉、假設(shè)等方法把抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)同具體的分析策略結(jié)合起來(lái)，經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程以及簡(jiǎn)單的推理，體驗(yàn)方法的多樣化和優(yōu)化，讓學(xué)生逐步學(xué)會(huì)用一般性的數(shù)學(xué)方法來(lái)思考問(wèn)題。在大量舉例后學(xué)生理解了“當(dāng)鉛筆比筆筒多時(shí)，不管怎么放，總有一個(gè)筆筒里至少有（商+1）支筆”的規(guī)律，構(gòu)建了“鴿巢問(wèn)題”的模型，使知識(shí)得到了升華。在解決問(wèn)題時(shí)注重讓學(xué)生找到實(shí)際問(wèn)題與“鴿巢問(wèn)題”模型之間的聯(lián)系，將方法遷移類推，加以解釋，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，促進(jìn)了學(xué)生邏輯推理能力的發(fā)展。