基于離散時間觀測帶有馬爾可夫切換的隨機網絡系統(tǒng)的反饋控制

葉志勇，王澤權，唐朝君，匡 艷

(重慶理工大學 理學院， 重慶 400054)

隨著網絡通信、控制和計算技術之間的相互滲透和發(fā)展，網絡系統(tǒng)已經廣泛應用于各個領域之中。作為科學和工程控制領域的新興學科，網絡系統(tǒng)一直受到廣大研究者的關注，并且網絡系統(tǒng)在物理學、計算機科學、生物學等也有著廣泛的應用[1-7]。

近20年來，學者們對隨機微分方程的穩(wěn)定性的控制問題已進行了廣泛深入的研究，取得了很多優(yōu)秀的成果[8-12]。文獻[13]指出：如果給定的隨機微分方程是不穩(wěn)定的，則可以通過設計一個反饋控制μ(x(t),r(t),t)使其達到穩(wěn)定狀態(tài)。然而這種有規(guī)律的反饋控制要求在所有的時間上對狀態(tài)進行連續(xù)觀測，在經濟上這種方法是非常昂貴的，實際上連續(xù)情況的觀測也可能無法實現(xiàn)。所以毛學容等[14]提出了基于離散時間狀態(tài)觀測的隨機微分方程的反饋控制問題，即在離散時間觀測的基礎上設計一個反饋控制μ(x([t/τ]τ),r(t),t)，使其控制更加合理和實用。毛學榮等[14]設計了幾類重要的隨機微分方程基于離散時間觀測的反饋控制器。

在實際中，網絡本身在某個時刻會受到不可預料的外部或者內部擾動，這是無法避免的。所以，本文討論的是帶有馬爾可夫切換的隨機網絡系統(tǒng)基于離散時間觀測的一致性問題，通過使用普希茨條件，直接研究基于離散時間觀測的反饋控制系統(tǒng)本身，對τ建立一個更好的上界，得到了帶有馬爾可夫切換的隨機網絡系統(tǒng)穩(wěn)定性的條件，使網絡系統(tǒng)的各個節(jié)點達到同步。

1 基礎知識和模型建立

1.1 符號說明

1.2 模型描述

考慮帶有N個節(jié)點的復雜網絡，每個節(jié)點的動力學系統(tǒng)可表示為如下系統(tǒng)：

dxi(t)=f(xi(t),r(t),t)dt+

g(xi(t),r(t),t)dB(t)

(1)

其中初始值x(0)=x0∈Rn，r(0)=r0∈S，xi(t)∈Rn(i=1,2,…,N)，f∶Rn×S×R+→Rn，g∶Rn×S×R+→Rn×m。r(t)是t≥0時概率空間上右連續(xù)的馬爾科夫鏈，取值為有限的狀態(tài)空間S={1,2，…，N}，生成元為Γ=(γij)N×N。當θ>0時，從時間t在模態(tài)i到時間t+θ在模態(tài)j的轉移概率為：

P{r(t+θ)=j|r(t)=i}=

現(xiàn)在設計一個基于離散時間狀態(tài)的反饋控制μi(x([t/τ]τ),r(t),t)，使各個節(jié)點在方程(2)下趨于同步。方程(2)如下：

dxi(t)=(f(xi(t),r(t),t)+

μi(x([t/τ]τ),r(t),t))dt+

g(xi(t),r(t),t)dB(t)

(2)

令ξ=(ξ1,ξ2,…,ξn)T是Laplacian矩陣L的左特征向量，特征值為0，ξT1=1。因為ξTL=0,所以有

(3)

同時，令

(4)

為了方便討論，接下來引入一些假設、定義及引理。

定義1(伊藤(It)公式)[15]首先考慮一個隨機微分方程：

dx(t)=f(t)dt+g(t)dB(t)

其中：t≥0，f(t)∈L1(R+,Rn)，g(t)∈L2(R+,Rn×m)，V(x,t)∈D2,1(Rn×R+,R)。定義在Rn×R+→R上的極小生成元LV：

LV=Vt(x,t,i)+Vx(x,t,i)f(t)+

(5)

其中：

(6)

2 主要結論

為了解決方程(2)的穩(wěn)定性問題，將反饋控制設置成：

(7)

其中xi, j(t)=xi(t)-xj(t)，i,j∈V，μ∈R。

隨機微分方程(2)通過式(4)和(7)寫成如下：

(8)

接下來是證明方程(8)穩(wěn)定性的主要理論。

引理1當τ>0，令

(9)

如果τ(τ≥0)足夠小并且滿足2K(τ)<1，則隨機微分方程(8)中的xi(t)的解滿足

(10)

證明存在一個整數(shù)v≥0，t∈[vτ,(v+1)τ)，令δ(t)=vτ，根據(jù)方程(8)可得

得到

然后利用格朗沃爾不等式得：

所以當t∈[vτ,(v+1)τ)時方程(10)成立。

定理1如果滿足下面的不等式：

(11)

ξmax=max{ξ1,ξ2,…,ξn}

語言中的絕大多數(shù)詞都擁有多個意義。傳統(tǒng)的語義研究沒有認識到多義詞各個義項之間的內在聯(lián)系，沒有對語義擴展的機制做出合理的解釋。認知語言學揭示了多義現(xiàn)象的本質，認為詞的多個意義中除了基本義之外，其他意義是通過隱喻和轉喻的方式由基本義擴展而來的。雷可夫指出，一詞多義起源于不同認知域之間以及同一認知域中不同元素之間的關系。詞的基本義與擴展義之間有直接的認知性關系。詞的各義項之間存在著理據(jù)性關系是因為詞義的擴展從主觀上來說主要是通過隱喻和轉喻思維來實現(xiàn)的。詞義擴展的方式主要有兩種:基于與中心義的相似性關系派生新義為詞義的隱喻性擴展，基于與中心義的鄰近關系派生新義為詞義的轉喻性擴展。

λ1=max{(LTL)?In}

λ2={(ξL)?In}

則基于離散時間觀測帶有馬爾可夫切換的隨機微分方程(8)是穩(wěn)定的。

證明首先建立一個適當?shù)腖yapunov泛函方程

(12)

利用伊藤公式得到隨機微分方程(8)的極小生成元如下:

(13)

通過方程(13)得：

(14)

同理：

(15)

將方程(9)(15)代入到方程(13)得：

(16)

(17)

同時，通過伊藤公式[18]得:

(18)

將式(17)代入到式(18)得：

(19)

由式(19)得Ω<0，所以方程(11)是穩(wěn)定的。

3 實驗仿真

本文考慮的是一個隨機混雜系統(tǒng)

dx(t)=[A(r(t))x(t)+C(r(t))G(r(t))x(δ(t))]dt+

B(r(t))x(t)dB(t)

根據(jù)定理1，借助Matlab求得可行的解為：

G1=(1,0)，G2=(0,1)

根據(jù)實驗的仿真結果，利用Matlab繪制隨機切換和狀態(tài)響應圖，見圖1～3。

圖1 隨機切換

圖2 狀態(tài)響應1

圖3 狀態(tài)響應2

圖1表示在r(0)=1的馬爾可夫鏈切換的一種可能狀態(tài)，圖2、圖3顯示的是在給定的初始值x1(0)=-2和x2(0)=1以及離散時間τ=10-3條件下的響應狀態(tài)，可以看出所考慮的系統(tǒng)在相應的條件下最終可以達到穩(wěn)定。

4 結束語

本文研究的是基于離散時間觀察并帶有馬爾可夫切換的網絡系統(tǒng)模型，通過建立李雅普諾夫泛函方程，計算網絡系統(tǒng)的極小生成元，得到基于離散時間觀測穩(wěn)定性的充分條件，把系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題轉換為線性矩陣不等式的問題。同時可以將本文方法應用到多智能體系統(tǒng)中，討論在離散時間狀態(tài)下的多智能體分布式反饋控制。最后，對本文的結果進行數(shù)值模擬，驗證了結果的正確性和有效性。