高中數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐思考與理解

張棟梁

[摘? 要] 著眼于知識(shí)生成、學(xué)生認(rèn)知、解題方法技能、教材以及編者意圖進(jìn)行的教學(xué)，能使學(xué)生逐漸獲得領(lǐng)悟解題的數(shù)學(xué)機(jī)智和靈活、深刻的思維能力.因此，教師應(yīng)有的放矢地對(duì)教材所呈現(xiàn)的思維鏈進(jìn)行加密、拓展并厘清次序、設(shè)置階梯、搭建平臺(tái)，使學(xué)生能夠在更為豐滿的教學(xué)設(shè)計(jì)中獲得更多的體驗(yàn).

[關(guān)鍵詞] 知識(shí)生成;認(rèn)知;方法技能;教材

[?]問題的提出

本文是筆者針對(duì)某節(jié)有遺憾的公開課所做出的思考，此節(jié)公開課的主題是向量方法的理解，執(zhí)教教師在教學(xué)中通過引例與練習(xí)題將綜合法和向量法進(jìn)行了對(duì)比，兩個(gè)法向量的夾角轉(zhuǎn)化成二面角的平面角的生成方法因?yàn)榻處煹恼n前預(yù)設(shè)不足使得很多學(xué)生最終選擇了死記硬背，很多學(xué)生因此對(duì)其中的轉(zhuǎn)化規(guī)律無法理解，筆者以為可以做如下思考與優(yōu)化.

很多教師在兩個(gè)法向量的夾角轉(zhuǎn)化成二面角的平面角的規(guī)律中往往會(huì)提及“反向”與“同向”這兩個(gè)關(guān)鍵詞，“反向”指的是兩個(gè)向量方向相反，“同向”指的是兩個(gè)向量的方向相同. 當(dāng)二面角的平面角是0°時(shí)，兩個(gè)半平面的法向量方向可以相同并形成0°的夾角;當(dāng)二面角的平面角是180°時(shí)，兩個(gè)半平面的法向量方向可以相反并形成180°的夾角.不過，二面角的平面角在0°和180°之間時(shí)，此時(shí)的“反向”或“同向”往往與常規(guī)內(nèi)涵是不一致的，學(xué)生較難理解和記憶. 因此，教師在法向量的夾角轉(zhuǎn)化成二面角的平面角的規(guī)律的教學(xué)中一定要進(jìn)行優(yōu)化，將兩個(gè)法向量的起點(diǎn)移至二面角的“張口”內(nèi)并引導(dǎo)學(xué)生理解，使學(xué)生能夠在兩個(gè)平面的法向量均指向?qū)?yīng)的半面角的內(nèi)部或外部時(shí)理解二面角的平面角和兩個(gè)法向量夾角的補(bǔ)角相等，當(dāng)兩個(gè)平面的法向量指向不同時(shí)理解二面角的平面角和兩個(gè)法向量的夾角相等，這就是很多教師經(jīng)常強(qiáng)調(diào)的“同進(jìn)同出互補(bǔ)（圖1）”和“一進(jìn)一出相等（圖2）”.

此規(guī)律的操作可分為以下三步：①將兩個(gè)法向量的起點(diǎn)移至空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)并判斷其空間方向;②在二面角的“張口”內(nèi)任意找一點(diǎn)P并過P點(diǎn)分別作兩個(gè)法向量平行的“小”法向量;③判斷兩個(gè)“小”法向量和對(duì)應(yīng)的半平面之間是射出還是射入的關(guān)系. 以下面具體問題為例進(jìn)行說明.

例：如圖3，已知△ABC與△DBC所在的平面相互垂直，AB=BC=BD，∠CBA=∠DBC=120°，求二面角A-BD-C的大小.

分析：過A點(diǎn)作CB的垂線并與其延長(zhǎng)線交于點(diǎn)O，連OD，易證明OD，OA，OC兩兩垂直. 設(shè)AB=BC=BD=2，結(jié)合條件可得平面ABD的法向量n=（1，，1），平面BDC的法向量m=（0，0，1），cos〈n，m〉==. 將向量n的起點(diǎn)移至坐標(biāo)原點(diǎn)，向量n即指向平面xOy第一象限的上方. 在二面角A-BD-C的“張口”內(nèi)任取一點(diǎn)，取在線段AC上，將兩個(gè)法向量進(jìn)行平移即可得到更“小”的法向量n1，m1（加細(xì)表示其相反向量），由圖3可得，“小”法向量n1，m1（加粗）的方向?qū)ζ浒肫矫鎭碚f均為射出，此時(shí)二面角A-BD-C等于π-〈n1，m1〉;對(duì)n1，m1的相反向量（加細(xì)）進(jìn)行觀察可得其方向?qū)τ谄浒肫矫鎭碚f均為射入，此時(shí)二面角A-BD-C等于π-〈n1，m1〉;對(duì)“小”法向量n1的相反向量（加細(xì)）進(jìn)行觀察可知其方向是射入平面ABD，m1（加粗）方向是射出平面BCD，此時(shí)二面角A-BD-C等于〈-n1，m1〉. 另外，直接觀察所求二面角為鈍二面角還是銳二面角對(duì)于解題來說是最為簡(jiǎn)捷的. 不過，值得教師注意的是，并不是所有的二面角都很容易觀察可得其為哪一種二面角，此時(shí)對(duì)其進(jìn)行考量就必須更加理性了.

[?]高中數(shù)學(xué)教學(xué)的理解

1. 須著眼于知識(shí)生成落實(shí)教學(xué)

數(shù)學(xué)概念、法則、定理、公理、公式的起源與發(fā)展都是人類長(zhǎng)期實(shí)踐所得的精髓，每一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的形成、應(yīng)用與發(fā)展都是合情合理且渾然天成的.因此，著眼于知識(shí)點(diǎn)生成落實(shí)具體教學(xué)才能幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué). 不僅如此，教師在設(shè)計(jì)教學(xué)過程時(shí)還應(yīng)對(duì)其中的思維過程進(jìn)行充分的展現(xiàn)與暴露，這有助于學(xué)生更好地掌握知識(shí)、方法并獲得思維品質(zhì)的發(fā)展. 除此以外，教師在具體教學(xué)過程中還應(yīng)及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)并調(diào)整教學(xué)路線，比如本文中所舉的具體例題中，教師就可以將兩個(gè)法向量如何轉(zhuǎn)化成二面角的平面角作為一個(gè)專門的課題來引導(dǎo)學(xué)生探究，以學(xué)習(xí)者的身份對(duì)學(xué)生的探究進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，使學(xué)生在探究、歸納、論證、體驗(yàn)以及反思等過程中形成對(duì)知識(shí)細(xì)節(jié)的把握.

2. 須著眼于學(xué)生認(rèn)知落實(shí)教學(xué)

學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)中已經(jīng)了解的內(nèi)容是教學(xué)過程中最有必要把握的環(huán)節(jié)，這有利于先行組織者對(duì)新舊知識(shí)關(guān)聯(lián)上的把握與設(shè)計(jì)，因此，教師在具體教學(xué)中應(yīng)全方位地挖掘?qū)W生的潛能并做到全面了解學(xué)生. 首先，教師應(yīng)對(duì)學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)進(jìn)行準(zhǔn)確的把握，由此切入進(jìn)行的教學(xué)設(shè)計(jì)能幫助學(xué)生在原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中順利實(shí)現(xiàn)知識(shí)的同化與順應(yīng)，不僅如此，教師由此做出的教學(xué)取舍與調(diào)整也更能激發(fā)學(xué)生的積極思考與潛能發(fā)揮. 其次，教師應(yīng)遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律落實(shí)教學(xué)，迎合學(xué)生心理需求與思維方式的教學(xué)設(shè)計(jì)能更好地激起學(xué)生的情感體驗(yàn)，教學(xué)也會(huì)因此更具針對(duì)性與實(shí)效性并更好地促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展.

3. 須著眼于方法技能落實(shí)教學(xué)

學(xué)生因?yàn)閭€(gè)人經(jīng)驗(yàn)的不足往往在很多問題上難以自主獲得一題多解的體驗(yàn)，但實(shí)際上，一題多解能夠更好地將不同內(nèi)容的橫向聯(lián)系融合起來并促進(jìn)學(xué)生的思維更為廣闊，因此，教師在很多問題的解決中一定要引導(dǎo)、鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行一題多解并因此獲得更深、更廣的思維體驗(yàn). 一般來說，問題與問題之間的差異、問題中不變的規(guī)律往往會(huì)在一題多變的訓(xùn)練中獲得充分的暴露，因此，教師在解題教學(xué)中也應(yīng)進(jìn)行充分審視與預(yù)設(shè)并進(jìn)行具有針對(duì)性的引導(dǎo).多題同解往往需要學(xué)生在解題時(shí)站在整體的高度進(jìn)行思考與探索，這對(duì)于學(xué)生的思維來說是要求最高的，學(xué)生必須具備直達(dá)問題本質(zhì)的洞察力才能對(duì)數(shù)學(xué)問題形成直達(dá)本質(zhì)的理解與洞悉. 當(dāng)然，這所有的形式都必須建立在扎實(shí)的基本知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)之上，這對(duì)于學(xué)生思維的敏捷性、深刻性和批判性來說都是極具意義的.

也有一些學(xué)生總能在解題過程中展現(xiàn)出極高的領(lǐng)悟解題的數(shù)學(xué)機(jī)智，這源于其對(duì)問題本質(zhì)的深刻理解以及數(shù)學(xué)思想方法的準(zhǔn)確提煉. 因此，教師在具體的解題教學(xué)中不能僅僅停留于淺層次的分析上，觸及問題本質(zhì)的深入分析才能幫助學(xué)生更好地產(chǎn)生創(chuàng)造性的思路和方法.