一堂“意外”的數(shù)學(xué)課

張雄波

由于數(shù)學(xué)課的開(kāi)放性很強(qiáng)，我們的學(xué)生又是一群活潑可愛(ài)的少年，因此數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中也充滿(mǎn)了太多的不確定因素。我們?cè)趥湔n中的一些預(yù)設(shè)，并非會(huì)按照我們?cè)O(shè)想的那樣去完成。作為教師的我們?cè)谡n堂上充滿(mǎn)了太多的挑戰(zhàn)。這需要教師有一雙慧眼，能捕捉到課堂中有價(jià)值的信息，并將這種信息合理的，有效的利用，讓課堂中的意外變成教學(xué)中的精彩。

八年級(jí)數(shù)學(xué)12.2.1作軸對(duì)稱(chēng)圖形的最后一個(gè)內(nèi)容是“探究”問(wèn)題，我在課堂上經(jīng)歷了一系列意外，促成了良好的教學(xué)效果，自己對(duì)探究課的意義及組織有了更深的認(rèn)識(shí)，現(xiàn)把課堂教學(xué)過(guò)程實(shí)錄如下。

課本第42面給出了探究?jī)?nèi)容：

如圖12.2-8（1），要在燃?xì)夤艿纋上修建一個(gè)泵站，分別向A，B兩鎮(zhèn)供氣.泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線(xiàn)最短？

你可以在l上找?guī)讉€(gè) 試一試，能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

我們可以把管道l近似地看成一條直線(xiàn)，A，B兩鎮(zhèn)近似地看成兩個(gè) （圖12.2-8（2）），問(wèn)題就是要在l上找一 C，使AC與CB的和最小.設(shè)B′是 B關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng) ，本題就是要使AC與CB′的和最小.在連接AB′的所有線(xiàn)中，線(xiàn)段AB′最短.因此，線(xiàn)段AB′與直線(xiàn)l的交 C的位置即為所求.

為了證明 C的位置即為所求，我們不妨在直線(xiàn)l上任取一 C′（不與C重合），連接AC′，BC′，B′C′.

因?yàn)橹本€(xiàn)l是 B，B′的對(duì)稱(chēng)軸， C，C′在l上，所以CB=CB′，C′B=C′B′，

所以AC+CB=AC+CB′=AB′.

在△AC′B′中，

由三邊關(guān)系可得AB′<AC′+C′B′，

所以AC+CB<AC′+C′B，

即AC+CB最小.

同年級(jí)其他班的數(shù)學(xué)老師教過(guò)該節(jié)內(nèi)容，感覺(jué)學(xué)生似懂非懂。我擔(dān)心教學(xué)效果差，就向?qū)W生強(qiáng)調(diào)預(yù)習(xí)好該節(jié)內(nèi)容。課堂開(kāi)始，我問(wèn)：“多少人看懂了？”（沒(méi)有一個(gè)人舉手應(yīng)答），氣氛的沉悶讓我意外。就算我講下去，學(xué)生也只是被動(dòng)接受。

我說(shuō)：“現(xiàn)在同學(xué)們?cè)谥本€(xiàn)l上找個(gè) 試下，只要能說(shuō)出畫(huà)法和自認(rèn)為滿(mǎn)足要求的理由，不要太在乎對(duì)錯(cuò)，更不必受課本解法的影響。”學(xué)生行動(dòng)了，我看到學(xué)生甲找了一個(gè) ，就要他發(fā)言，甲說(shuō)：“先連接AB，再作線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)交l于 C，在 C處修泵站，理由是垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)：垂直平分線(xiàn)上的 到線(xiàn)段的兩個(gè)端 的距離相等?！蔽乙汇?，這與問(wèn)題要求毫不相關(guān)，正準(zhǔn)備否定，卻聽(tīng)到有學(xué)生發(fā)出輕聲同感“我也是這樣做?！边@樣一個(gè)錯(cuò)誤的答案也有部分人響應(yīng)，再次讓我意外。我改變主意（甲正用期盼的眼神望著我），說(shuō)：“甲勇于探索，找到了一個(gè) ，大家要向他學(xué)習(xí)，并且他把剛學(xué)過(guò)的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)用上了，得CA=CB，是否符合問(wèn)題的要求，暫時(shí)不討論，想問(wèn)的是，還有誰(shuí)像甲一樣探索找到了別的 ？”

受甲的鼓舞，乙主動(dòng)舉手答：“過(guò) A作l的垂線(xiàn)段，垂足為 C，在 C處修泵站，理由是垂線(xiàn)段最短?！蔽矣行└吲d，因?yàn)樗膯?wèn)答與問(wèn)題的要求近了 ，正要評(píng)價(jià)（丙急忙舉手，有觀 迫切表達(dá)），我稍遲疑，還是讓丙先說(shuō)?！斑^(guò) B作l的垂線(xiàn)段，垂足為 C，在C處修泵站，理由是垂線(xiàn)段最短，我用的道理和乙雖然一樣，但我的做法照顧了B鎮(zhèn)的人，畢竟他們離管道l遠(yuǎn)些，所以我認(rèn)為自己的作法更好。”丙的話(huà)音剛落，班上馬上出現(xiàn)了兩派，和乙關(guān)系好的學(xué)生力挺乙的觀 ，丙也有不少擁護(hù)者，一時(shí)爭(zhēng)論難下，又有學(xué)生開(kāi)始調(diào)和：“兩個(gè)人的都對(duì)。”大家望著我，等我來(lái)評(píng)判。我說(shuō)：“大家量一下兩種情況下的CA+CB?！睂W(xué)生在書(shū)上畫(huà)圖，很快測(cè)量出乙的CA+CB=0.6+2.6=3.2 cm，丙的CA+CB=2.2+1.5=3.7 cm（丙的擁護(hù)者很失落，但仍有不服氣的神色），丙站起說(shuō)：“我和乙用的同樣的道理，如果說(shuō)我的錯(cuò)，那么他的也不一定對(duì)?！毙碌囊惠啝?zhēng)論又開(kāi)始……，又有學(xué)生調(diào)和：“就在乙和丙找的兩個(gè)垂足之間再找，可能是兩個(gè)垂足的中 吧！”甲也說(shuō)：“我的作法中，C 也在乙和丙的兩個(gè)垂足之間，乙和丙不一定對(duì)，那么我的有可能對(duì)?！睕](méi)有統(tǒng)一的觀 ，教室里學(xué)生自發(fā)的爭(zhēng)論，各抒己見(jiàn)，久違的活躍氣氛讓我意外。（我既欣喜，又焦急，看表已過(guò)了近17分鐘，仍沒(méi)進(jìn)入正確的做法和分析，真不知今天的教學(xué)任務(wù)能不能完成）

不能破壞學(xué)生好不容易形成的積極性，我開(kāi)始引導(dǎo)說(shuō)：“大家認(rèn)真思考了，也都有一定的道理，但因?yàn)橛衅嬷庪y以說(shuō)服他人，請(qǐng)同學(xué)們按我的提示分步進(jìn)行分析。”教室變得十分安靜，我說(shuō)：“首先，泵站C的地 有人認(rèn)為是乙、丙所說(shuō)的垂足，也有人認(rèn)為在這兩個(gè)垂足之間，都自覺(jué)地把C當(dāng)成了一個(gè)動(dòng) 來(lái)研究，請(qǐng)問(wèn)動(dòng) C還會(huì)在其他位置嗎？再研究一下。”很快乙舉手答：“如果在我所說(shuō)的垂足的左邊，CA與CB都會(huì)變大，不可能。”丙也舉手答：“如果在我所說(shuō)的垂足的右邊，CA與CB也都變大，不可能?！蔽依^續(xù)引導(dǎo)：“看來(lái)泵站C只能在乙、丙所說(shuō)的垂足上或兩個(gè)垂足之間了，但同學(xué)們剛才的討論始終沒(méi)有一致結(jié)論，是否應(yīng)該把CA，CB中的一條線(xiàn)段換下位置，再求和的最小值？”（學(xué)生若有所思，3分鐘后有學(xué)生陸續(xù)舉手）在我示意下，丁回答：“我發(fā)現(xiàn)課本上把CB換成CB′了。”我問(wèn)：“B′是怎么作的？CB=CB′嗎？AC+CB′在什么情況下最??？”丁說(shuō)：“B關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng) 是B′。因?yàn)閷?duì)稱(chēng)的線(xiàn)段相等，所以CB=CB′。A，C，B′共線(xiàn)時(shí)，AC+CB′最小，理由是兩 之間線(xiàn)段最短。”（我在與丁的一問(wèn)一答中，觀察到許多學(xué)生緊皺的眉頭舒展開(kāi)，露出會(huì)意的笑容）我問(wèn)：“聽(tīng)懂了丁的分析的同學(xué)請(qǐng)舉手?！比鄬W(xué)生都自信地舉起手。這又一次讓我意外，難道學(xué)生突然變聰明了，可能是他們今天積極思考、聽(tīng)講認(rèn)真、學(xué)得主動(dòng)的緣故吧！（我看了下時(shí)間，剛過(guò)了30分鐘，估計(jì)今天的教學(xué)任務(wù)可完成）

接著，我訓(xùn)練學(xué)生寫(xiě)出規(guī)范的做法，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼f(shuō)明過(guò)程。接近尾聲，戊舉手提問(wèn)：“您作的是 B關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng) B′，再連接AB′交l于 C，在 C處修泵站;我認(rèn)為也可以作 A關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng) A′，再連接A′B交l于 C，在 C處修泵站。那有兩個(gè) C怎么辦呢？”學(xué)生們沒(méi)想到戊提出個(gè)新的答案，又開(kāi)始議論起來(lái)，也有人動(dòng)筆畫(huà)圖。在集體研究中大家發(fā)現(xiàn)兩個(gè)修泵站的 在作出的圖中竟是重合的。至此問(wèn)題圓滿(mǎn)解決（距離下課還有5分鐘，我布置了相關(guān)練習(xí)題，學(xué)生們躍躍欲試，后來(lái)從作業(yè)的批改來(lái)看，完成的情況良好）。

一直以來(lái)，我自以為對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解和分析都很透徹，教學(xué)中盡顯自己的主導(dǎo)作用，但效果平平。這堂探究課對(duì)學(xué)生放手，產(chǎn)生了意外的效果。在本節(jié)課初，我檢查預(yù)習(xí)情況時(shí)氣氛的沉悶，甲的錯(cuò)誤答問(wèn)讓我意外，但這是班級(jí)的現(xiàn)狀，不能回避。我沒(méi)有選擇自己主講，也沒(méi)有選擇批評(píng)學(xué)生。接著乙和丙大膽地探究，以及圍繞著兩個(gè)人的結(jié)論展開(kāi)的一輪又一輪的討論使學(xué)習(xí)氣氛異?；钴S，讓我意外，這是我的寬容、鼓勵(lì)激發(fā)了學(xué)生潛在的積極性和智慧，出現(xiàn)百家爭(zhēng)鳴的局面。最后，學(xué)生的探究活動(dòng)在老師的引導(dǎo)下達(dá)到新的高度，丁給出精彩的回答，戊提出有價(jià)值的疑惑，學(xué)生接受知識(shí)的能力如此之高，又一次讓我意外，這只說(shuō)明在探究活動(dòng)中學(xué)生一旦真正參與，成為學(xué)習(xí)的主人，全身心投入，學(xué)習(xí)就會(huì)成為樂(lè)趣，既輕松又高效。

探究性教學(xué)成為時(shí)代寵兒，源于它符合新的教育理念，信任學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，營(yíng)造寬松且不乏競(jìng)爭(zhēng)性的課堂氛圍，師生積極互動(dòng)，共同發(fā)展，讓學(xué)生在探索、討論、實(shí)踐、質(zhì)疑中學(xué)習(xí)。探究性教學(xué)不但讓學(xué)生獲得知識(shí)，更讓學(xué)生獲得學(xué)習(xí)的能力。我的一堂課意外的良好效果正是一個(gè)有力的證據(jù)。

葉瀾教授說(shuō)過(guò)：課堂應(yīng)是向未知方向挺進(jìn)的旅程，隨時(shí)都有可能發(fā)現(xiàn)意外的通道和美麗的圖景，而不是一切都必須遵循固定線(xiàn)路而沒(méi)有激情行程。因?yàn)閿?shù)學(xué)問(wèn)題的開(kāi)放性很強(qiáng)，所以數(shù)學(xué)課堂上的教學(xué)中會(huì)有很多的不確定性。而且學(xué)生也在接受各種各樣的有意義的信息，因此教師對(duì)他們的經(jīng)驗(yàn)水平、知識(shí)積累乃至認(rèn)知潛能等諸多方面都不可能預(yù)設(shè)到位，因此教師在課堂上實(shí)施的教學(xué)過(guò)程中充滿(mǎn)了很大的挑戰(zhàn)。這就要求教師用他的智慧將課堂中的一次次意外，轉(zhuǎn)變成教學(xué)中的一次次亮 。

教師在備課時(shí)必須要考慮到不同的學(xué)生對(duì)同一問(wèn)題可能會(huì)有不同的思考，對(duì)可能出現(xiàn)的問(wèn)題準(zhǔn)備相應(yīng)的解決方法。只有這樣，當(dāng)“意外”發(fā)生時(shí)才能從容不迫、應(yīng)對(duì)自如。其次，教師還要有一雙慧眼，透視課堂，敏銳捕捉“意外”中有價(jià)值的信息，并合理地利用到課堂中來(lái)，靈活地進(jìn)行調(diào)整，讓“意外”的課堂，不再“意外”。