基于“學(xué)力”視角，探覓數(shù)學(xué)概念教學(xué)

【摘要】“概念”是小學(xué)數(shù)學(xué)的“細(xì)胞”，也是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的基石。概念具有多種特質(zhì)，如過(guò)程性、結(jié)構(gòu)性和抽象性。在小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，要激活學(xué)生建構(gòu)之需、呈現(xiàn)學(xué)生建構(gòu)之態(tài)、彰顯學(xué)生建構(gòu)之美。

【關(guān)鍵詞】“學(xué)力”視角 數(shù)學(xué)概念 概念教學(xué)

概念是數(shù)學(xué)的“細(xì)胞”，是數(shù)學(xué)教學(xué)的“基石”。學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，無(wú)論是“數(shù)與代數(shù)”“空間與圖形”還是“統(tǒng)計(jì)與概率”等都繞不開(kāi)概念?；趯W(xué)生“學(xué)力”發(fā)展視角，教師要將概念學(xué)習(xí)與學(xué)生數(shù)學(xué)思考、探究等結(jié)合起來(lái)，從而讓概念成為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基石，成為學(xué)生展開(kāi)數(shù)學(xué)活動(dòng)、體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法的重要載體。

一、詮釋：數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵

在“認(rèn)知心理學(xué)”看來(lái)，所謂“概念”，是指“符號(hào)所代表一類具有共同標(biāo)準(zhǔn)屬性的對(duì)象、事物。”無(wú)論是內(nèi)涵還是外延，概念都是動(dòng)態(tài)和不斷發(fā)展的。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，概念主要是反映事物數(shù)量關(guān)系和空間圖形的本質(zhì)屬性的思維形式，它排除事物物理、化學(xué)等非數(shù)學(xué)屬性，聚焦于數(shù)、形等數(shù)學(xué)特征，因而具有普遍意義。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，不僅要理解概念內(nèi)涵，而且要把握其外延;不僅要洞察其本質(zhì)，而且要建構(gòu)結(jié)構(gòu)。因此，學(xué)生理解、掌握、習(xí)得數(shù)學(xué)概念通常有兩種方式：概念形成和概念同化。所謂“概念形成”，是指從具體例證出發(fā)，通過(guò)歸納法抽取共同的本質(zhì)屬性，這是一個(gè)“從無(wú)到有”的過(guò)程。所謂“概念同化”，是指“將新概念納入學(xué)生已有概念結(jié)構(gòu)之中”，從而形成新的概念結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，這是一個(gè)“從舊到新”的過(guò)程。

二、尋繹：數(shù)學(xué)概念的特質(zhì)

數(shù)學(xué)概念具有過(guò)程性和結(jié)果性、具象性和抽象性等相輔相成的特質(zhì)。一般而言，數(shù)學(xué)概念形成之初是以過(guò)程性、具象性形態(tài)出現(xiàn)的，而數(shù)學(xué)概念誕生之態(tài)是以結(jié)果性、抽象性和結(jié)構(gòu)性形態(tài)出現(xiàn)的。學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)正確認(rèn)識(shí)和理解，是在數(shù)學(xué)概念不斷形成、發(fā)展、完善中形成的。

1.過(guò)程表征讓思維可見(jiàn)

數(shù)學(xué)概念本身具有高度抽象性，而學(xué)生思維卻是具體形象的。因此，數(shù)學(xué)概念必須借助具體形象的表征來(lái)實(shí)現(xiàn)。如“加法”，必須建立在物體合并操作基礎(chǔ)之上，只有通過(guò)合并操作，才能讓學(xué)生形成最初的“加”的概念，這就是概念形成。再如抽象的“乘法”，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生計(jì)算具有多個(gè)相同加數(shù)的算式，從而讓學(xué)生自主建構(gòu)“乘法概念”，這就是概念同化。概念產(chǎn)生過(guò)程反映了概念豐富的歷史背景和誕生過(guò)程，有助于將抽象數(shù)學(xué)問(wèn)題和學(xué)生看不見(jiàn)的思維過(guò)程呈現(xiàn)出來(lái)。

2.結(jié)構(gòu)表征助學(xué)力發(fā)展

每一個(gè)數(shù)學(xué)概念都不是孤立地存在的，而是與其他相關(guān)數(shù)學(xué)概念存在千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系。概念理解不僅是掌握此一概念或彼一概念的內(nèi)涵，更要洞悉此一概念與彼一概念的關(guān)系、結(jié)構(gòu)。良好的概念結(jié)構(gòu)有助于概念同化，有助于促進(jìn)學(xué)生學(xué)力發(fā)展。如教學(xué)“小數(shù)的認(rèn)識(shí)”，在理解小數(shù)的意義基礎(chǔ)上，教師要引導(dǎo)學(xué)生溝通小數(shù)與分?jǐn)?shù)的聯(lián)系，即小數(shù)是不帶分母的十進(jìn)分?jǐn)?shù);要溝通小數(shù)與整數(shù)的聯(lián)系，讓學(xué)生準(zhǔn)確把握“數(shù)位順序表”，為小數(shù)計(jì)算法則教學(xué)奠定基礎(chǔ)。這樣的教學(xué)，能促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)表征力的發(fā)展。

3.抽象表征促進(jìn)創(chuàng)造可能

揭示數(shù)學(xué)概念過(guò)程是逐級(jí)抽象的。因此，在概念抽象化的過(guò)程中，學(xué)生獲得的并非只是形式定義，也包括豐富、鮮活的表象。這種概念逐級(jí)抽象化過(guò)程有助于促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造。如“認(rèn)識(shí)厘米”，重要的不是認(rèn)識(shí)厘米概念本質(zhì)——“1米的百分之一”，而是掌握厘米概念表象。教師借助“田字格”“回形針”等，讓學(xué)生建立“1厘米”表象。只有清晰概念表象，才能真正把握“厘米”。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生會(huì)產(chǎn)生系列創(chuàng)造想法，如厘米有“圖釘”長(zhǎng)、有“訂書(shū)釘”寬、有“大拇指指頭寬”，等等。并且，有了“厘米”概念表象，學(xué)生就嘗試著創(chuàng)造“厘米尺”。當(dāng)學(xué)生借助“厘米”概念表象自主建構(gòu)“米尺”后，反過(guò)來(lái)就能真正理解“厘米”概念本質(zhì)。

三、深探：數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)

數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)過(guò)程實(shí)質(zhì)上就是數(shù)學(xué)概念的不斷精致化、結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化的過(guò)程。即可以基于學(xué)生的前概念，對(duì)學(xué)生前概念進(jìn)行適度提煉、加工、改造，也可以創(chuàng)生數(shù)學(xué)新概念。數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)既追求學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)把握，也追求學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的主動(dòng)習(xí)得。筆者認(rèn)為，這里重要的是要處理好數(shù)學(xué)概念與學(xué)生的思維對(duì)象之間的關(guān)系。

1.概念建構(gòu)，激活學(xué)生建構(gòu)之需

學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)概念的根本動(dòng)力是學(xué)生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)與新概念之間是否平衡。瑞士杰出教育心理學(xué)家皮亞杰深刻指出，學(xué)生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)與新概念之間是否平衡，決定著學(xué)生數(shù)學(xué)概念建構(gòu)的效度。作為教師，要善于捕捉學(xué)生與概念之間的差異，并根據(jù)這種差異創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，激活學(xué)生內(nèi)在的建構(gòu)之需。

例如，教學(xué)“素?cái)?shù)與合數(shù)”，教師可以借助學(xué)生學(xué)習(xí)“因數(shù)和倍數(shù)”的經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生用不同數(shù)量的小正方形拼長(zhǎng)方形。通過(guò)拼長(zhǎng)方形，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考：為什么有些數(shù)量的小正方形只能拼一種規(guī)格的長(zhǎng)方形，而有些數(shù)量的小正方形可以拼多種規(guī)格的長(zhǎng)方形？為什么拼一種長(zhǎng)方形的規(guī)格的寬都是1？這種認(rèn)知沖突，有助于學(xué)生建構(gòu)“素?cái)?shù)和合數(shù)”的概念。學(xué)生聯(lián)想到探究“因數(shù)和倍數(shù)”時(shí)，也是借助小正方形拼長(zhǎng)方形。由此，學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)到：如果一個(gè)數(shù)的因數(shù)只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，以這個(gè)數(shù)為數(shù)量的小正方形拼成的長(zhǎng)方形就只有一種規(guī)格，而其他數(shù)量的小正方形拼成的長(zhǎng)方形的規(guī)格就絕對(duì)不止一種。概念建構(gòu)，彰顯了學(xué)生的數(shù)學(xué)探究之美、思維之美。

實(shí)踐表明，只有建立在學(xué)生內(nèi)需基礎(chǔ)上的概念建構(gòu)，才有可能真正發(fā)揮學(xué)生主觀能動(dòng)性、創(chuàng)造性。這種概念建構(gòu)在給予學(xué)生知識(shí)、技能的同時(shí)，也生成了更為豐富的教學(xué)價(jià)值。

2.概念建構(gòu)，呈現(xiàn)學(xué)生建構(gòu)之態(tài)

概念建構(gòu)是一個(gè)復(fù)雜的過(guò)程，包括概念的引入、抽象、形成和內(nèi)化。概念建構(gòu)過(guò)程不可能一蹴而就，而是一個(gè)循序漸進(jìn)甚至反復(fù)的過(guò)程。因?yàn)閷W(xué)生對(duì)概念的真正內(nèi)化也并不一定是一帆風(fēng)順的。作為教師，要引導(dǎo)學(xué)生循序漸進(jìn)地建構(gòu)概念，呈現(xiàn)概念的建構(gòu)之態(tài)。概念的逐步建構(gòu)讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)向更深處漫溯。

例如，學(xué)生在學(xué)習(xí)“百分?jǐn)?shù)的意義”這一內(nèi)容前，已經(jīng)學(xué)習(xí)了“分?jǐn)?shù)的意義”。因此，在借助經(jīng)驗(yàn)幫助學(xué)生理解了“百分?jǐn)?shù)的意義”后，教師要引導(dǎo)學(xué)生比較“分?jǐn)?shù)”和“百分?jǐn)?shù)”，逐步深化學(xué)生對(duì)百分?jǐn)?shù)意義的認(rèn)識(shí)，進(jìn)而呈現(xiàn)學(xué)生的建構(gòu)之態(tài)。如“百分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)在意義上有什么不同？”“百分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)的特征有什么異同？”這樣的問(wèn)題，能讓學(xué)生將目光聚焦于百分?jǐn)?shù)的概念，對(duì)之進(jìn)行辨析。如“90%”和“9/10”，兩者有著相等個(gè)數(shù)的計(jì)數(shù)單位，都是90個(gè);前者的計(jì)數(shù)單位是1%，后者的計(jì)數(shù)單位是1/10;前者強(qiáng)調(diào)平均分，后者強(qiáng)調(diào)一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾;前者不可以表示量，只可以表示率，后者既可以表示量又可以表示率，等等。正是在逐層比較建構(gòu)中，學(xué)生逐步抽象出百分?jǐn)?shù)的概念。這種概念的理解不僅停留于意義層面，而是深入到特征、應(yīng)用層面。

數(shù)學(xué)概念建構(gòu)要警惕過(guò)早形式化。只有引導(dǎo)學(xué)生逐層建構(gòu)，才能悟得概念精髓。要讓數(shù)學(xué)概念在直觀中顯影、在理性中定格、在內(nèi)化中成像。不僅要讓學(xué)生能夠進(jìn)行操作表征、形象表征，也要讓學(xué)生進(jìn)行符號(hào)、意義表征。

3.概念建構(gòu)：彰顯學(xué)生建構(gòu)之美

課改以來(lái)，許多教師都有意識(shí)地重視數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程，但由此也讓部分教師走入另一個(gè)極端，只注重概念具體性，而弱化了概念的“數(shù)學(xué)味”。學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解比較膚淺，學(xué)生概念理解水平被具象捆綁，失去了自由生長(zhǎng)力量。數(shù)學(xué)概念要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行多向厘析，彰顯建構(gòu)之美。

例如，教學(xué)“三角形高”這個(gè)概念，就不能讓學(xué)生形成固著形態(tài)表象，必須通過(guò)各種變式（如高的方向、高的位置等）凸顯概念本質(zhì)內(nèi)涵。引導(dǎo)學(xué)生突破原有固著表象（銳角三角形中從上往下的“高”的概念等），形成“從三角形的頂點(diǎn)到對(duì)邊的垂直距離”的關(guān)于“三角形的高”的本質(zhì)認(rèn)識(shí)。在教學(xué)中，教師可以借助幾何畫板，首先讓學(xué)生畫出銳角三角形的一條高，然后旋轉(zhuǎn)銳角三角形，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到“高不一定是豎直方向的，也可以是水平方向的或斜著的”;接著，還是借助幾何畫板，將銳角三角形拉成直角三角形，學(xué)生就能直觀感知到另外兩條高重合到三角形的邊上;繼續(xù)拉三角形，將直角三角形拉成鈍角三角形，學(xué)生就能直觀感知到另外兩條高位于鈍角三角形的外部。動(dòng)態(tài)的展現(xiàn)讓學(xué)生領(lǐng)略到數(shù)學(xué)之美，學(xué)生也能深刻認(rèn)識(shí)到“三角形高”的“從頂點(diǎn)到對(duì)邊垂直”的本質(zhì)。

概念教學(xué)要變“靜態(tài)”為“動(dòng)態(tài)”。動(dòng)態(tài)變式，能讓學(xué)生舍棄數(shù)學(xué)概念的非本質(zhì)屬性，把握概念的本質(zhì)屬性。這種動(dòng)態(tài)的變化過(guò)程，不應(yīng)過(guò)分“求新”，也不能盲目“求變”，而應(yīng)通過(guò)動(dòng)態(tài)化的過(guò)程、形式凸顯概念的本質(zhì)內(nèi)涵。

學(xué)生數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)是一個(gè)由淺入深、由此及彼、由表及里的逐步深化過(guò)程。在概念教學(xué)中，教師要關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)思考、探究，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷概念的數(shù)學(xué)化過(guò)程。數(shù)學(xué)概念始于學(xué)生經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展于自主建構(gòu)，終結(jié)于結(jié)構(gòu)理解。數(shù)學(xué)概念是實(shí)現(xiàn)學(xué)生思維躍遷的平臺(tái)，是發(fā)展學(xué)生學(xué)力的重要依托。

【參考文獻(xiàn)】

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