數(shù)學(xué)的奇偶性與勾股數(shù)

王建輝

我們先看這樣一些數(shù)：3=4+5，3+4=5;5=12+13，5+12-=13。7=24+25，7+24=25……

不難發(fā)現(xiàn)，任何一個大于1的奇數(shù)的平方都可寫成兩個連續(xù)整數(shù)的和，則這三個數(shù)是一組勾股數(shù).再如：9=40+41，且有9+40=41從而可得9、40、41是一組勾股數(shù).

勾股數(shù)的這一性質(zhì)是可以證明的。

證明：設(shè)給定的大于1的奇數(shù)為a，兩個連續(xù)整數(shù)為n、n+1，且有a=n+（n+1），即a=2n+1.

∵（n+1）=n+2n+1=n+（2n+1）=n+a，即a+n=（n+1）.

∴a、n、n+1是一組勾股數(shù).反之，若a、n、n+1是一組勾股數(shù)，則a=n+（n+1）.請同學(xué)們嘗試證明此結(jié)論.

我們再看一些數(shù)：

……

不難發(fā)現(xiàn)，任何一個大于2的偶數(shù)的平方的一半都可寫成兩個相差2的整數(shù)的和，則這三個數(shù)是一組勾股數(shù).再如：，且有10+24=26，從而可得10、24、26是一組勾股數(shù).

勾股數(shù)的這一性質(zhì)也可被證明.請同學(xué)們思考證明方法.

綜上所述，對于任意大于2的整數(shù)（奇數(shù)成偶數(shù)）都可根據(jù)上述方法，很快得兩個整數(shù)與之成為一組勾股數(shù)，這個任意大于2的整數(shù)通常作為三個整數(shù)中的最小一個.據(jù)此，我們可快速判斷某個三角形是否是直角三角形，亦可由已知直角三角形的兩邊很快得出第三邊.