一個解非線性方程的必要條件及動態(tài)齊次平衡法

韓松 何曉瑩 周紅衛(wèi) 郭艷鳳 王素梅

摘? ?要：對已知的求解非線性偏微分方程方法中不同的輔助方程進行關(guān)聯(lián)性研究，得到其中一些方法的輔助方程均出自于一個導出的二階駐定（自治）方程及其等價方程，并給出相關(guān)的結(jié)論;另外給出一個求解非線性偏微分方程的推廣的新方法——動態(tài)齊次平衡法，并通過實例給出方程的新精確行波解，其中包括新解形式——參數(shù)方程形式的隱式精確解.

關(guān)鍵詞：輔助函數(shù)方程;二階駐定（自治）方程;動態(tài)齊次平衡法;動態(tài)解;隱式精確解

中圖分類號：O175.2? ? ? ? ? DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2019.04.015

0? ? 引言

在過去的幾十年中，為了研究孤立波，數(shù)學家尋找到許多非線性偏微分方程（NPDE）的求解方法，例如雙曲正切函數(shù)展開法[1-2]、齊次平衡法[3-4]、[F]輔助函數(shù)法[5-6]、[GG]展開法[7-8]、雅可比橢圓函數(shù)展開法[9]、同宿測試法[10-11]、三波展開法[12]等，為人們尋找非線性偏微分方程的精確行波解提供有效的工具.

目前人們也僅僅是利用這些方法（或者是它們的推廣方法）來求一些方程的精確解，而對這些方法之間的關(guān)聯(lián)性問題考慮并不多，例如，這些不同的方法中所使用的輔助方程各不相同，能否用一個統(tǒng)一的方程來替代？要研究非線性偏微分方程，需解決3個重要問題：

[①]找到一個方程或它的等價方程，將求解非線性偏微分方程各種方法中的不同輔助方程全部或部分的統(tǒng)一，或者說待定函數(shù)是非線性偏微分方程的解所滿足的必要條件;

[②]找到一個一般化的方法去求解非線性偏微分方程的精確解;

[③]構(gòu)造方程有意義的解.

對問題[①]，本文在理論上對這些求解方法的內(nèi)在聯(lián)系進行探究，首次提出這些求解方法中的輔助方程均來自于一個導出方程——二階駐定（自治）方程以及它的等價方程，同時對該駐定方程及其等價方程在取不同特殊形式時的情形與不同的求解方法進行關(guān)聯(lián)性討論并給出相關(guān)定理和推論. 在此基礎上，對問題[②]，本文介紹一種新的較一般化的推廣方法——動態(tài)齊次平衡法，利用這種方法對KdV方程進行求解，一些新的精確行波解，例如參數(shù)方程形式的隱式精確解被找到，這是以往人們沒有見到的新解形式，另外，此前文獻求出過的解也可以通過此方法獲得.

1? ? 輔助函數(shù)方程的關(guān)聯(lián)性研究及其結(jié)論

考慮[（k+1）]維非線性偏微分方程的一般形式：

[F（u， ut， ux1， ux2， …， uxk， …）=0]，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （1）

其中，[u=u（x1， x2， …， xk， t）]為[k+1]元未知函數(shù). 顯然常見的[（1+1）]維、[（2+1）]維等非線性偏微分方程均為方程（1）的特例.

作行波變換也就是集成變換：

[ξ=b1x1+b2x2+…+bkxk+ct]，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（2）

則函數(shù)[u]化為關(guān)于變量[ξ]的一元未知函數(shù)[u=u（ξ）]，其中系數(shù)[b1]，[b2]，…，[bk]，[c]為常數(shù)，將變換（2）代入方程（1）則化為常微分方程：

[H（u， cu， b1u， b2u， …， bku， …）=0].? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（3）

假定方程（3）的擬解為函數(shù)[G=G（ξ）]的表達式[GG]的多項式：

[u=a0+a1GG+a2GG2+…+anGGn=i=0naiGGi]，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （4）

其中，多項式的次數(shù)[n]為待定正整數(shù)，[ai （i=0， 1， 2， …， n）]為待定系數(shù)，[G=G（ξ）≠0]為待定函數(shù)，且[G=dGdξ]，[ξ=b1x1+b2x2+…+bkxk+ct]，則擬解（4）中的待定函數(shù)[G=G（ξ）]所滿足的關(guān)系——輔助方程有如下的結(jié)論：

定理1（必要條件）若函數(shù)[G=G（ξ）]滿足如下二階駐定方程（或二階自治方程）：

[GG=p0+p1GG+p2GG2+…+pmGGm]，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（5）

則方程（3）的解[u]的各階導數(shù)[u， u， …， u（l）]（[l]為正整數(shù)）均可以表示為函數(shù)[G=G（ξ）]的表達式[GG]的多項式，其中系數(shù)[pj （j=0， 1， 2， …， m）]均為常數(shù)， [G=G（ξ）≠0]，且式（5）也可以簡記為：

[GG=j=0mpjGGj];

另外式（5）還可變形為：

[Gm-1G=p0Gm+p1Gm-1G+p2Gm-2（G）2+…+pm（G）m]，

或簡記為：

[Gm-1G=j=0mpjGm-j（G）j].

證明 由式（5）兩端同時減去[GG2]得：[GG-GG2=j=0mpjGGj-GG2]，從而有[GG-（G）2G2=j=0mpjGGj-GG2]，由于[GG'=GG-（G）2G2]，因此得到如下方程：

[GG'=p0+p1GG+（p2-1）GG2+…+pmGGm].? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （6）

顯然由同解原理可知，方程（5）和方程（6）是同解方程（此時要求[G=G（ξ）≠0]）.那么對解[u]進行求導數(shù)運算時，無論是求導數(shù)[u， u， …， u（l）]中的哪一個，當中總會出現(xiàn)的導數(shù)項[GG']均可用方程（6）的右端表達式替代，這樣方程（3）的解[u]的各階導數(shù)[u， u， …， u（l）]總可以表示為函數(shù)[G=G（ξ）]的表達式[GG]的多項式，其中導數(shù)的階數(shù)[l]為正整數(shù).? 證畢.

一方面，定理1說明，只要[G=G（ξ）≠0]滿足方程（5）、方程（6）中的任意一個，那么非線性偏微分方程（1）的解（當然也是方程（3）的解）就可以用[GG]的多項式（4）來表示. 換句話說，如果需要構(gòu)造方程（1）解的形式，那么可以從構(gòu)造[G=G（ξ）]的形式入手去找尋，只要函數(shù)[G=G（ξ）]滿足方程（5）、方程（6）中的任意一個即可. 從檢索的結(jié)果來看，這兩個方程是本文第一次提出，是新的輔助方程. 另一方面，定理1還說明，若方程（3）的解[u]及其它的各階導數(shù)都可以化為[GG]的多項式，那么方程（3）的左端就可以化為[GG]的多項式，即方程（3）化為[j=0sBjGGj=0]的形式，這就為后面獲取聯(lián)立代數(shù)方程組提供必要條件，這也是求解非線性偏微分方程精確解的關(guān)鍵.

由定理1的證明過程和方程的同解原理可以得到如下推論：

推論1? 方程（6）是一個齊次方程，它與二階駐定方程（5）為等價方程，其中函數(shù)[G=G（ξ）≠0].

推論2? 如果函數(shù)[G=G（ξ）]滿足方程（5） 、方程（6）中的任意一個，則方程（3）的解（4）均可表示為函數(shù)[G=G（ξ）]的表達式[GG]的多項式.

推論3? 假設[F=GG]，其中[F=F（ξ）]，[ξ]的表達式為式（2），則方程（6）變形為：

[F=p0+p1F+（p2-1）F2+…+pmFm]，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（7）

是Riccati方程的推廣形式，與方程（5）、方程（6）是等價方程.

注意：方程（7）解出的是[F=F（ξ）]，而方程（5）、方程（6）解出的是[G=G（ξ）]，通過[F=GG]方程（3）的解（4）可以表示為：

[u=a0+a1F+a2F2+…+anFn=i=0naiFi]，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（8）

這是常見的[F]輔助函數(shù)法中擬解形式，而式（7）是所滿足推廣的輔助方程，即，若[F=F（ξ）] 由方程（7）解得，則方程（3）的解是[F]的多項式（8）.

由定理1及其推論1—推論3可得如下結(jié)論：

推論4? 將方程（5）、方程（6）解出的[G=G（ξ）]，或者方程（7）解得的[F=F（ξ）]，將式（2）分別代入式（4）或式（8），則可得到非線性偏微分方程（1）的行波解.

下面給出由方程（5）—方程（7）在特殊情形下所確定的，對應于幾種非線性偏微分方程求解方法的輔助方程形式，并由此看出這3個方程所具有的普遍性.

定理2? 當[m=1]時，方程（5）變形為：

[G-p1G-p0G=0]，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（9）

這是[GG]展開法中的輔助方程[G+pG+qG=0]的形式，這里[p=-p1]，[q=-p0];而當[m=0]時，方程（5）變形為：

[G-p0G=0]，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（10）

這也是[GG]展開法中的輔助方程[G+pG+qG=0]的特殊形式，此時[p=-p1=0]，[q=-p0].

定理2說明[GG]展開法中的輔助方程只是方程（5）的特例.

定理3? 當[m=2]時，輔助方程（6）化為：

[GG'=p0+p1GG+（p2-1）GG2].? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（11）

若取特殊值[p0=-1]，[p1=0]，[p2=2]，則有[GG=-tanhξ]及[GG=-cothξ]，分別滿足的輔助方程為：

[tanhξ'=1-tanh2ξ].? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （12）

[cothξ'=1-coth2ξ].? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （13）

式（12）和式（13）分別是[tanh]函數(shù)展開法和[coth]函數(shù)展開法中的輔助方程形式.

證明? 設[F=GG]，并取[p0=-1]，[p1=0]，[p2=2]，則方程（11）化為[F=-1+F2]，積分易得[F=1+Ce2ξ1-Ce2ξ]，其中[C]為積分常數(shù). 若取[C=-1]，則[F=GG=-tanhξ]，回代式（11）即得輔助方程（12）;若取[C=1]，則[F=GG=-cothξ]，回代式（11）即得輔助方程（13）.證畢.

在定理3中，如果對[GG=-tanhξ]積分并取積分常數(shù)為[1]，易得[G=G（ξ）][=sechξ];若對[GG=-cothξ]積分并取積分常數(shù)為[1]，易得[G=G（ξ）=cschξ]. 在某些非線性偏微分方程的求解中，由于方程的解（4）或解（8）中的次數(shù)恰好只有常數(shù)項及偶次項，從而可以通過恒等式[tanh2ξ=1-sech2ξ]或[coth2ξ=1+csch2ξ]將方程的解化為[sechξ]或者[cschξ]的多項式，此方法稱為[sech]函數(shù)展開法或者[csch]函數(shù)展開法. 例如，假設方程的解具有形式為[u=a0+a2F2]，其中它只有常數(shù)項及二次項，將[F=-tanhξ]及[tanh2ξ=1-sech2ξ]代入得[u=a0+a2tanh2ξ][=（a0+a2）][-a2sech2ξ]，方程的解可用[sech]函數(shù)來表示，故[sech]函數(shù)展開法在假設方程的擬解時用[sech]函數(shù)的多項式表示，當方程有解時，擬解中的奇次項系數(shù)均為0;從另一個角度來看，只有當非線性偏微分方程的解含有常數(shù)項及偶次項時才能用[sech]函數(shù)展開法或者[csch]函數(shù)展開法求解，這表明[sech]及[csch]函數(shù)展開法的局限性，而[tanh]及[coth]函數(shù)展開法則不受此影響. 另外，定理3說明[sech]及[csch]函數(shù)展開法、[tanh]及[coth]函數(shù)展開法中的輔助方程也只是方程（6）的特例.

定理4? 當[m=2]時，輔助方程（6）化為方程（11）. 若取特殊值[p0=1]，[p1=0]，[p2=2]及另一組特殊值[p0=-1]，[p1=p2=0]，則有[GG=tanξ]及[GG=cotξ]，分別滿足輔助方程：

[tanξ'=1+tan2ξ]，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（14）

[cotξ'=-1-cot2ξ]，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（15）

式（14）和式（15）分別是[tan]函數(shù)展開法和[cot]函數(shù)展開法中的輔助方程形式.

證明 設[F=GG]，并取[p0=1]，[p1=0]，[p2=2]，則方程（11）化為[F=1+F2]，積分易得[F=GG=tanξ]，其中積分常數(shù)取0，回代式（11）即得輔助方程（14）; 取[p0=-1]，[p1=0]，[p2=0]，則方程（11）化為[F=-1-F2]，積分易得[F=GG=cotξ]，其中積分常數(shù)取零，回代（11）即得輔助方程（15）. 證畢

在定理4中，如果對[GG=tanξ]積分并取積分常數(shù)為[1]，易解得[G=G（ξ）=secξ];如果對[GG=cotξ]積分并取積分常數(shù)為[1]，解得[G=G（ξ）=sinξ]. 在某些非線性偏微分方程的求解中，由于方程的解（4）或? 解（8）中的次數(shù)恰好只有常數(shù)項及偶次項，從而可以通過恒等式[tan2ξ=sec2ξ-1]或[cot2ξ=csc2ξ-1]將方程的解化為[secξ]或者[cscξ]的多項式，由此可將這種方法稱為[sec]函數(shù)展開法或者[csc]函數(shù)展開法. 另外，? ? ? 定理4說明[tan]函數(shù)展開法、[cot]函數(shù)展開法、[sec]函數(shù)展開法、[csc]函數(shù)展開法中的輔助方程也是方程（6）的特例.

定理5? 方程（7）是[F]輔助函數(shù)法中常見推廣的輔助方程，此時方程（3）的解可用式（8）表示;若取? ?[m=2]時，方程（7）變?yōu)椋?/p>

[F=p0+p1F+（p2-1）F2]，? ? ? ? ? ? ?; ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （16）

該方程是齊次平衡法中輔助函數(shù)[F]所滿足的Riccati方程，這里[p2≠1].

定理5說明[F]輔助函數(shù)法、齊次平衡法中的輔助方程只是方程（7）的特例. 另外，[F]輔助函數(shù)法以及推廣的齊次平衡法中常見輔助方程的一般形式為：

[（F）2=p0+p1F+（p2-1）F2+…+pmFm]，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （17）

該形式較輔助方程（7）更一般化，但是在將其解[F=F（ξ）]（有的話）代入解（8）并求導數(shù)時，該解（8）并不一定能表示為[F]的解析多項式形式，主要原因是其中含有根式[±p0+p1F+（p2-1）F2+…+pmFm]，所以在求解方程的過程中，往往是取系數(shù)及次數(shù)的特殊值，使得根式去掉;否則就用橢圓函數(shù)來表示其結(jié)果，即雅可比橢圓函數(shù)展開法的一般做法. 而最一般化的輔助方程中，[F]的冪次應該是任意[r]（[r=1，? 2，? 3，…]）次即[（F）r]的形式，比如[（F）3]、[（F）4]等等，亦即輔助方程應是[（F）3=p0+p1F+（p2-1）F2+…+pmFm]，[（F）4=p0+p1F+（p2-1）F2+…+pmFm]等形式.但在實際應用上未見到過，這說明能解出非線性偏微分方程的精確解的關(guān)鍵是[F]的解析多項式的獲得，而選取[r=1]，一般是能夠達到這一目的（雖然此時對應的方程（7）比方程（17）等要特殊）.

從定理2—定理5還可以看出，[GG]展開法、[tanh]及[coth]函數(shù)展開法、[sech]及[csch]函數(shù)展開法、[tan]及[cot]函數(shù)展開法、[sec]及[csc]函數(shù)展開法、[F]輔助函數(shù)法以及齊次平衡法中的輔助函數(shù)方程均可以從等價式（5）—? ? ? 式（7）中導出，可見這3個等價方程的重要性和普遍性.

2? ? 動態(tài)齊次平衡法

解出非線性偏微分方程精確解的關(guān)鍵問題是解出[F]的解析式從而獲得其精確解，那么，對于最一般化的輔助方程[（F）r=p0+p1F+（p2-1）F2+…+pmFm]而言，由于當[r=1]時一般能夠達到求出[F]的解析式這一目的，可選用輔助式（7）：[F=p0+p1F+（p2-1）F2+…+pmFm]. 如果取[m=2]，也就是選擇試用齊次平衡法中的輔助方程（16）：[F=p0+p1F+（p2-1）F2]時，通過齊次平衡原理所求得并確定的非線性偏微分方程的解[u=a0+a1F+a2F2+…+anFn]中的次數(shù)[n]一定是最小正整數(shù)值，這樣的解稱為最終解. 而所謂動態(tài)齊次平衡法是打破這種次數(shù)的限制，一般選擇[m>2]，例如選定[m=3]或者[m=4]，這樣通過齊次平衡原理確定的解（稱之為動態(tài)解）[u=a0+a1F+a2F2+…+anFn]中的次數(shù)[n]一般大于上述最小正整數(shù)值.如此處理的好處是：當[m>2]時，比如取[m=3]，則由輔助函數(shù)方程[F=p0+p1F+（p2-1）F2+p3F3]中解出的解[F]遠比從[F=p0+p1F+（p2-1）F2]中解出的多，甚至于解出許多未曾見過的解（此時計算量遠比[m=2]時要大），例如下面KdV方程求解過程中就解出關(guān)于[F]的隱函數(shù)方程的情形，從而就出現(xiàn)非線性偏微分方程的所謂參數(shù)方程形式的“隱式精確解”的類型，而這樣的解未曾報道，屬于新解.但注意在最后回代（指可以解出[F]的顯示解的情形，而[F]的隱函數(shù)情形是無法回代的）所有參數(shù)關(guān)系后所得方程的最終解[u=a0+a1F+a2F2+…+anFn]一定還是最小值[n]的多項式.這是因為，當回代所有參數(shù)關(guān)系后，那些高于最小值[n]的多項式的項一定會消掉，這也是驗證所求解是否正確的方法之一（另一種方法就是所求解的回代驗證）.

動態(tài)齊次平衡法的基本步驟：

Step1? 將非線性偏微分方程（1）通過行波變換（2）化為常微分方程（3），并假設方程（3）的擬解為式（8），而擬解中的[F=F（ξ）]滿足輔助函數(shù)方程（7），但方程（7）的次數(shù)[m>2]必須選定，比如3次、4次等等.

Step2? 利用齊次平衡原理及確定次數(shù)[m]的輔助函數(shù)方程（7），通過對方程（3）的最高次冪非線性項與最高階導數(shù)項的冪次進行平衡，可獲得擬解（8）的多項式次數(shù)[n]的確切值，確定次數(shù)[n]的擬解為動態(tài)解.注意該次數(shù)[n]往往比非線性偏微分方程最終解的多項式次數(shù)要大許多，而這個方程最終解的次數(shù)，可通過輔助方程（16）來平衡確定.

Step3? 首先把Step2中獲得的方程的動態(tài)解（8）代入方程（3），并利用輔助方程（7），將方程（3）化為左端是[F]的多項式的方程，其次令[F]的多項式的系數(shù)及常數(shù)項為0，從而得到一個包含各參數(shù)的代數(shù)方程組，最后，利用符號運算軟件解出參數(shù)之間的關(guān)系式.

Step4? 將求出的各參數(shù)關(guān)系式及式（2）代入動態(tài)解（8）之中整理后得非線性偏微分方程（1）的解，整理后的解的次數(shù)一定是Step2中提到的那個最終解的多項式的次數(shù)，不過若是解出的是類似于KdV方程中的所謂參數(shù)形式的隱式精確解，則上面的整理是實現(xiàn)不了的，只能通過近似計算來實現(xiàn).

3? ? 應用

考慮KdV方程：

[ut+uux+δ uxxx=0].? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（18）

作行波變換：

[u=u（ξ）=u（ax+bt）]，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（19）

從而方程（18）可化為如下常微分方程：

[bu+auu+δa3u=0].? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（20）

設方程（20）的擬解為：

[u=a0+a1F+a2F2+…+anFn=i=0naiFi]，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（21）

其中，[F=F（ξ）]滿足的輔助方程為方程（7）當[m=4]時的特殊情形：

[F'=p0+p1F+p2F2+p3F3+p4F4]，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（22）

其中，[p0]、[p1]、[p2]、[p3]、[p4]為常數(shù).

這里將輔助方程（7）中的[p2-1]換為[p2]不影響輔助方程（22）的計算和討論.

利用輔助方程（22）以及齊次平衡原理對方程（20）中的[u]及[uu]進行平衡可知[n+（n+3）=n+9]，解得[n=6]，故擬解（21）可表示為如下動態(tài)解的形式：

[u=a0+a1F+a2F2+a3F3+a4F4+a5F5+a6F6]，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（23）

若用[F=p0+p1F+p2F2]來平衡則[n=2]，即方程（18）的最終解為[u=a0+a1F+a2F2]的形式，是[F]的二次多項式，而動態(tài)解（23）的形式為[F]的6次多項式.

利用輔助方程（22），對解（21）求[u]、[u]，將它們以及[u]代入方程（20），則該方程可化為如下方程：

[B0+B1F+B2F2+…+B15F15=0]，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（24）

其中，左端[F]多項式的常數(shù)項[B0]以及各項系數(shù)[B1，? …，? B15]包含[15]個參數(shù)：[δ];[a]、[b]; [a0]、[a1]、[a2]、[a3]、[a4]、[a5]、[a6];[p0]、[p1]、[p2]、[p3]、[p4].

令常數(shù)項[B0]以及各項系數(shù)[B1，? …，? B15]等于0，得到一個包含[15]個參數(shù)的代數(shù)方程組，利用符號運算軟件Maple解出如下解組.

解組1：

[δ=-a212a2p22];[a=a]，[b=b];[a0=-ba+8a22p0+a21p212a2p2]，[a1=a1]，[a2=a2]，

[a3=a4=a5=a6=0];[p0=p0]，[p1=a1p2a2]，[p2=p2]，[p3=p4=0].

解組2：

[δ=δ];[a=a]，[b=b];[a0=-ba+a2δ（20p42-72p1p22p3-108p21p23）27p23]，

[a1=32a2δ（p32-9p1p2p3）27p23]，[a2=-16a2δ（p22+3p1p3）]，[a3=-64a2δ p2p3]，

[a4=-48a2δ p23]，[a5=a6=0];[p0=9p1p2p3-2p3227p23]，[p1=p1]，[p2=p2]，[p3=p3]，[p4=0].

解組3：

[δ=δ];[a=a]，[b=b];

[a0=-ba+9a2δ（4 896p2p43p4+2 304p22p23p24-807p63-32 768p32p34）128 000p44]，

[a1=81a2δ（256p2p33p4-768p22p3p24-13p53）3 200p34]，

[a2=81a2δ（127p43-384p2p23p4-768p22p24）1 600p24]，[a3=27a2δ（11p33-96p2p3p4）20p4]，

[a4=-120a2δ（2 592p2p4+1 053p23）]，[a5=-162a2δ p3p4]，[a6=-108a2δ p24];

[p0=19p43-368p2p23p4+1 024p22p246 400p34]，[p1=4p2p3p4-p338p24]，[p2=p2]，[p3=p3]，[p4=p4].

解組4：

[δ=δ];[a=a]，[b=b];[a0=-ba+9a2δ（5p63-64p1p33p24-1 024p21p44）1 024p44]，

[a1=81a2δ（p53-32p1p23p24）128p34]，[a2=-81a2δ（p43+64p1p3p24）64p24]，

[a3=-27a2δ（p33+4p1p24）p4]，[a4=-4054a2δ p23]，[a5=-162a2δ p3p4]，[a6=-108a2δ p24];

[p0=64p1p3p24-3p33256p34]，[p1=p1]，[p2=3p238p4]，[p3=p3]，[p4=p4].

討論KdV方程（18）的解.

情形1：將該解組1的參數(shù)關(guān)系代入式（19）、式（21）及式（22）得到方程（18）的解的一般形式：

[u=-ba+8a22p0+a21p212a2p2+a1F+a2F2]，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（25）

其中，[a≠0]，[a2≠0]，[p2≠0]，且[F=F（ξ）=F（ax+bt）]滿足如下輔助方程：

[F=p0+a1p2a2F+p2F2].? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （26）

這里解（25）正是方程（18）最終解的形式，它的次數(shù)是二次的，而它所滿足的輔助函數(shù)方程（26）就是齊次平衡法中的Riccati方程，說明此種情形就是利用齊次平衡法來求解KdV方程所得結(jié)果，顯然動態(tài)齊次平衡法的解中包含齊次平衡法中的解.

若取[a1=-1]，[a2=1]，[p0=1]，[p2=1]，則[δ=-112a2]，[p1=-1]，[a0=34-ba]，且有[F=1-F+F2]，積分并令積分常數(shù)為0，得[F=12+32tan32ξ]，由此有方程（18）的解為：

[u1=12-ba+34tan232（ax+bt）]，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （27）

其中[a≠0]，這是方程（18）的三角函數(shù)形式的周期孤立波解.

若取[a1=3]，[a2=1]，[p0=2]，[p2=1]，則[δ=-112a2]，[p1=3]，[a0=2512-ba]，且有[F=2+3F+F2]，積分并令積分常數(shù)為0，得[F=-32-12coth12（ax+bt）]，由此有方程（18）的解為：

[u2=-16-ba+14coth212（ax+bt）]，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（28）

其中[a≠0]，這是方程（18）的雙曲函數(shù)形式的孤立波解.

若取[a1=2]，[a2=1]，[p0=1]，[p2=1]，則[δ=-112a2]，[p1=2]，[a0=1-ba]，且有[F=1+2F+F2]，積分并令積分常數(shù)為0，得[F=-1-1ax+bt]，由此有方程（18）的解為：

[u3=-ba+1（ax+bt）2]，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （29）

其中[a≠0]. [ax+bt≠0]是方程（18）的有理函數(shù)形式的爆破解.

這里僅考慮方程（18）的3種類型解的情形.但由于以上參數(shù)取不同的特殊值時方程（18）的解還有很多，而篇幅有限，解組的討論僅給出一些特殊值時方程具有代表性的解，其他不再贅述. 另外注意到式（27）、式（28）僅有常數(shù)項和二次項，所以它們也可化為[sec]及[csch]函數(shù)的表達式.

情形2：類似解組1的情形.方程（18）的動態(tài)解的一般形式為：

[u=-ba+a2δ（20p42-72p1p22p3-108p21p23）27p23+32a2δ（p32-9p1p2p3）27p23F-]

[16a2δ（p22+3p1p3）F2-64a2δ p2p3F3-48a2δ p23F4]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （30）

其中，[a≠0]，[δ≠0]，[p3≠0]，且[F=F（ξ）=F（ax+bt）]滿足輔助方程：

[F=9p1p2p3-2p3227p23+p1F+p2F2+p3F3].? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （31）

若取[p1=p2=p3=1]，則[p0=727]，從而有[F=727+F+F2+F3]，積分并令積分常數(shù)為0，得：

[F=-13±6e23（ax+bt）31-e43（ax+bt）]，

代入式（30）可得方程（18）的解為：

[u4=-ba+329a2δ-163a2δcoth223（ax+bt）]，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（32）

其中，[a≠0]，[b]與[δ（δ≠0）]任意取值，這是方程（18）的雙曲函數(shù)形式的孤立波解.

注意，雖然動態(tài)解（30）是[F]的四次多項式，但在將[F]代入后整理所得的最終解（32）仍然是[coth]函數(shù)的二次形式. 另外還注意到解（32）中的[δ]無任何限制條件，而解組1中的所有解都限制[δ=-112a2]，這說明利用動態(tài)齊次平衡法比齊次平衡法可求得更具普遍意義的方程的解.

情形3：由解組3，方程（18）的動態(tài)解的一般形式為：

[u=-ba+9a2δ（4 896p2p43p4+2 304p22p23p24-807p63-32 768p32p34）128 000p44+81a2δ（256p2p33p4-768p22p3p24-13p53）3 200p34F+81a2δ（127p43-384p2p23p4-768p22p24）1 600p24F2+27a2δ（11p33-96p2p3p4）20p4F3-120a2δ（2 592p2p4+1 053p23）F4-162a2δ p3p4F5-108a2δ p24F6]? ? ? ?（33）

其中，[a≠0]，[δ≠0]，[p4≠0]，且[F=F（ξ）=F（ax+bt）]滿足如下輔助方程：

[F=19p43-368p2p23p4+1 024p22p246 400p34+4p2p3p4-p338p24F+p2F2+p3F3+p4F4].? ? ? ? ? ? ? ? ? （34）

若取特殊值[p2=1]，[p3=6]，[p4=1]，則[p0=3116]，[p1=-24]，從而有[F=3116-24F+F2+6F3+F4]，積分并令積分常數(shù)為0，得關(guān)于[F=F（ξ）=F（ax+bt）]的隱函數(shù)方程：

[2arctanh2F+310-arctanh2F+3210=7510（ax+bt）]，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（35）

從而可得方程（18）的參數(shù)形式的隱式精確解為：

[u5=a0+a1F+a2F2+a3F3+a4F4+a5F5+a6F62arctanh2F+310-arctanh2F+3210=7510（ax+bt）]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （36）

其中，[F]為參數(shù)，[a≠0]，[δ≠0]， [a0=-ba-175 8158a2δ]，[a1=-5 1034a2δ]，[a2=30 3754a2δ]，[a3=2 430a2δ]，[a4=-2 025a2δ]，[a5=-972a2δ]，[a6=-108a2δ]

注意方程（35）并不能精確解出[F]，故? ? ?方程（18）的解（36）不能表示為顯示精確解，這樣的解屬于新解，它的圖形由Matlab通過數(shù)值計算方法作出如圖1所示.

若[p2=1]，[p3=0]，[p4=1]，則[p0=425]，[p1=0]，故[F'=425+F2+F4]，積分并令積分常數(shù)為0，得關(guān)于[F=F（ξ）=F（ax+bt）]的隱函數(shù)方程：

[2arctan（5F）-arctan5F2=655（ax+bt）]，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（37）

從而可得方程（18）的參數(shù)形式的隱式精確解為：

[u6=-ba-288125a2δ-97225a2δF2-6485a2δF4-108a2δF62arctan（5F）-arctan5F2=655（ax+bt）]，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （38）

其中，[F]為參數(shù)，[a≠0]，[δ≠0].

這里方程（37）不能精確解出[F]，故式（18）的解（38）不能表示為顯示精確解，這樣的解也屬于新解，它的圖形由Matlab通過數(shù)值計算方法作出如圖2所示.

情形4：由解組4此時方程（18）的動態(tài)解的一般形式為：

[u=-ba+9a2δ（5p63-64p1p33p24-1 024p21p44）1 024p44+81a2δ（p53-32p1p23p24）128p34F-81a2δ（p43+64p1p3p24）64p24F2-27a2δ（p33+4p1p24）p4F3-4054a2δ p23F4-162a2δ p3p4F5-108a2δ p24F6] （39）

其中，[a≠0]，[δ≠0]，[p4≠0]，且[F=F（ξ）=F（ax+bt）]滿足如下輔助方程：

[F'=64p1p3p24-3p33256p34+p1F+3p238p4F2+p3F3+p4F4].? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（40）

若取特殊值[p1=4]，[p3=0]，[p4=1]，則[p0=0]，[p2=0]，從而有[F'=4F+F4]，積分并令積分常數(shù)為0，可得[F=-2（1+coth6ξ）3]，代入（39）可得方程（18）的精確解為：

[u7=-ba+288a2δ-432a2δcoth2（6ax+6bt）]，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （41）

其中，[a≠0]，[b]與[δ（δ≠0）]可任意取值.

用動態(tài)齊次平衡法求解KdV方程（18）獲得類似于解（36）、解（38）一樣的新解，但由于獲得新解所依賴的輔助方程（34）需要大量計算去檢驗，可能會遺漏一些解，還需要做大量后續(xù)工作.

4? ? 結(jié)論

目前偏微分方程的求法多種多樣，它們所借助的輔助方程表面看來也不盡相同從解偏微分方程的過程來看，作行波變換（2）后的偏微分方程已化為一個[u=u（ξ）]的常微分方程，而該方程所設的擬解是一個關(guān)于函數(shù)[G=G（ξ）]的表達式[G'G]的多項式函數(shù)[u（ξ）=i=0naiG'Gi]，在對擬解[u（ξ）]求導并回代方程時，將其化為[G'G]的多項式方程[j=0sBjG'Gj=0]，擬解[u（ξ）]的各階導數(shù)中只能包含表達式[G'G]及其冪次項（含常數(shù)項），而擬解[u（ξ）]在求導時，無論是求幾階導數(shù)，也無論[u（ξ）=i=0naiG'Gi]中的冪次[i]為多少次，其導數(shù)中均會出現(xiàn)[GG]這樣一項，故只要表達式[GG]也是一個關(guān)于[GG]的多項式，則上述方程化為多項式方程[j=0sBjGGj=0]的條件就能滿足，因此，就有了本文首先提出的具有普遍意義的輔助? ? ? ? ? ? 方程（5）：[GG=p0+p1GG+p2GG2+…+pmGGm]及其等價形式.對一些常見偏微分方程解法所用到的輔助方程與方程（5）及其等價形式進行關(guān)聯(lián)性分析研究，發(fā)現(xiàn)卻是輔助方程（5）及其等價形式的特殊情形，從另一個角度說明方程（5）及其等價形式所具有的普遍性，如果能從輔助方程中解出之前未成見過的新解，那么從偏微分方程中就可能找到更多的新解，這將是人們以后研究的一個方向.

參考文獻

[1]? ? ?FAN E. Extended tanh-function method and its applictions to nonlinear equation[J]. Phys. Lett. A，2000，277（4-5）：212-218.

[2]? ? ?SHANG Y， HUANG Y， YUAN W. The entended hyperbolic functions method and new exact soutions to the zakharov equations[J]. Appl. Math. Comput， 2008（200）：110-122.

[3]? ? ?WANG M L. Solitary wave solutions for variant Boussinesq equations[J]. Phys. Lett. A，1995，199（3-4）：169-172.

[4]? ? ?RADY A S A， OSMAN E S，KHALFALLAH M. The homogeneous balance and its application to the Benjamin-Bona-Mahoney （BBM） equation[J]. Appl. Math. Comput，2010，217（4）：1385-1390.

[5]? ? ?ZAYED E M E，ALURRFI K A E . Extended auxiliary equation method and its applications for finding the exact solutions for a class of nonlinear Schr¨odinger-type equations[J]. Appl. Math. Comput，2016，289（4）：111-131.

[6]? ? ?WANG M， LI X Z. Applications of F-expansion to periodic wave solutions for a new Hamiltonian amplitude equation[J]. Chaos Solitons & Fractals，2005，24（5）：1257-1268.

[7]? ? ?WANG M L，LI X Z，ZHANG J L. The （G′/G）-expandsion method and travelling wave solutioms of nonlinear evolution equations in mathematical physics[J]. Phys.Lett.A，2008，372（4）：417-423.

[8]? ? ?HAN S， ZHAO Z，WANG Q. The （G（k+1）/G（k））-expand method and travelling wave solutions of KdV equation[J]. Mathematic.Applicata，2014，27（4）：906-912.

[9]? ? ?LIU S K，F(xiàn)U Z T， LIU S D，et al. Jacobi elliptic function expansion method and periodic wave solutions of nonlinear wave equations[J]. Phys.Lett.A，2001，289（1-2）：69-74.

[10]? ?LI D L，ZHAO J X. New exact solutions to the（2+1）-dimensional Ito equation： extended homoclinic test technique[J]. Appl. Math. Comput，2009，215（5）：1968-1974.

[11]? ?WAMG C J，DAI Z D， LIANG L. Exact three-wave solution for higher dimensional KdV-type equation[J]. Appl. Math. Comput，2010，216（2）：501-505.

[12]? ?ZHAO Z H，DAI Z D，WANG C J. Extend three-wave method for the （1+2）-dimensional Ito equation[J]. Appl. Math. Coput，2010，217（5）：2295-2300.

Necessary conditions for solving nonlinear equations and dynamic

homogeneous balance method

HAN Song， HE Xiaoying， ZHOU Hongwei， GUO Yanfeng， WANG Sumei

（College of Science， Guangxi University of Science and Technology， Liuzhou 545006， China）

Abstract： In this paper， we study the correlation of different auxiliary functions for the known methods to solve nonlinear partial differential equations， auxiliary equations of some known methods can be? ?formulated as a second autonomous equation are obtained and some related conclusions are given. In addition， we give a new extension method which is called dynamic homogeneous balance method to solve nonlinear partial differential equations， and present one example to give the new exact traveling wave solutions with parametric form， which demonstrates the applications of dynamic homogeneous balance method.

Key words： auxiliary function; the second order autonomous equation; dynamic homogeneous balance method; dynamic solution; implicit exact solution.

（責任編輯：張玉鳳）