路面病害預(yù)測的數(shù)學(xué)模型

摘??要：本文建立的是路面凹凸變化的數(shù)學(xué)模型，隨著我國的經(jīng)濟(jì)建設(shè)高度快速發(fā)展，城市路面和高速公路的路面損毀嚴(yán)重，尤其是北方嚴(yán)寒地帶。實(shí)時(shí)提取道路統(tǒng)計(jì)數(shù)字，根據(jù)數(shù)字的統(tǒng)計(jì)規(guī)律建立數(shù)學(xué)模型，預(yù)測路面病害，從而及時(shí)修補(bǔ)和保養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：路面凹凸;數(shù)學(xué)模型;高程

1?引言

時(shí)間序列分析是統(tǒng)計(jì)學(xué)科的一個(gè)重要分支內(nèi)容，在數(shù)字信號(hào)處理、管理科學(xué)、預(yù)測等方面得到了廣泛應(yīng)用。在實(shí)際路面測量中，只能測到路面不平度的有限數(shù)據(jù)，利用時(shí)間序列分析的主要任務(wù)就是根據(jù)觀測數(shù)據(jù)的特點(diǎn)為數(shù)據(jù)建立盡可能合理的統(tǒng)計(jì)模型，然后利用模型的統(tǒng)計(jì)特性去解釋數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，以達(dá)到控制或預(yù)報(bào)的目的。

本文研究的是路面測量的數(shù)據(jù)采集，用數(shù)據(jù)驗(yàn)證時(shí)間序列的變化模型，由此可預(yù)測道路路面病害。通過論述了路面凹凸變形的時(shí)序建模方法、實(shí)際檢驗(yàn)和模型應(yīng)用，獲得道路實(shí)測數(shù)據(jù)的時(shí)序模型，為路面病害程度做預(yù)測。通過長時(shí)間研究實(shí)踐證明，所采用的時(shí)序道路建模具有可操作性。

2??時(shí)間序列數(shù)學(xué)模型

時(shí)間序列方法是定量預(yù)測方法之一。主要包括一般統(tǒng)計(jì)分析（如自相關(guān)分析，譜分析等），統(tǒng)計(jì)模型的建立與推斷，以及關(guān)于時(shí)間序列的最優(yōu)預(yù)測、控制與濾波等內(nèi)容。經(jīng)典的統(tǒng)計(jì)分析都假定數(shù)據(jù)序列具有獨(dú)立性，而時(shí)間序列分析則側(cè)重研究數(shù)據(jù)序列的互相依賴關(guān)系。后者實(shí)際上是對離散指標(biāo)的隨機(jī)過程的數(shù)據(jù)進(jìn)行的統(tǒng)計(jì)分析。例如，記錄了某路段的不同時(shí)段的路面高程，建立探究數(shù)據(jù)所包含的動(dòng)態(tài)依存關(guān)系，所以又可看作是隨機(jī)過程統(tǒng)計(jì)的一個(gè)組成部分的數(shù)學(xué)模型，可以對未來時(shí)段路面的高程變化進(jìn)行判斷，并借以對路面凹凸變化的未來進(jìn)行預(yù)報(bào)。

時(shí)間序列趨勢分析目的：有些時(shí)間序列具有非常顯著的趨勢，我們分析的目的就是要找到序列中的這種趨勢，并利用這種趨勢對序列的發(fā)展作出合理的預(yù)測。

通過數(shù)據(jù)分析，線性擬合的使用場合為長期趨勢呈現(xiàn)出線形特征的場合。參數(shù)估計(jì)方法為最小二乘估計(jì)。

其模型為

非線性擬合的使用場合為長期趨勢呈現(xiàn)出非線形特征的場合。其參數(shù)估計(jì)的思想是把能轉(zhuǎn)換成線性模型的都轉(zhuǎn)換成線性模型，用線性最小二乘法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。實(shí)在不能轉(zhuǎn)換成線性的，就用迭代法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。

其模型有

時(shí)間序列預(yù)測法可用于短期預(yù)測、中期預(yù)測和長期預(yù)測。根據(jù)對資料分析方法的不同，又可分為：簡單序時(shí)平均數(shù)法、加權(quán)序時(shí)平均數(shù)法。

簡單平均數(shù)法：也稱算術(shù)平均法。即把若干歷史時(shí)期的統(tǒng)計(jì)數(shù)值作為觀察值，求出算術(shù)平均數(shù)作為下期預(yù)測值。這種方法基于下列假設(shè)：“過去這樣，今后也將這樣”，把近期和遠(yuǎn)期數(shù)據(jù)等同化和平均化，因此只能適用于事物變化不大的趨勢預(yù)測。如果事物呈現(xiàn)某種上升或下降的趨勢，就不宜采用此法。

加權(quán)平均數(shù)法：把各個(gè)時(shí)期的歷史數(shù)據(jù)按近期和遠(yuǎn)期影響程度進(jìn)行加權(quán)，求出平均值，作為下期預(yù)測值。

3?建立道路時(shí)間序列數(shù)學(xué)模型

3.1?采集數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理

本文所用到的數(shù)據(jù)是對實(shí)際路段測得。是采用電腦自動(dòng)化檢測技術(shù)、將采集的數(shù)據(jù)存入在檢測車上的便攜式處理器，進(jìn)行數(shù)據(jù)處理。檢測車可以同時(shí)測量一個(gè)行車道斷面的16個(gè)點(diǎn)，并且可以連續(xù)密集的采集路面表面的數(shù)據(jù)。實(shí)際檢驗(yàn)具有一定的精準(zhǔn)性，驗(yàn)證該儀器的測量相對誤差均在1%以下，如表3-1所示，完全可以滿足工程要求[4]。

本文所采用的數(shù)據(jù)是道路綜合所得，橫向一共有16個(gè)測點(diǎn)，每點(diǎn)間隔0.2米，截取其中50米路段的數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)際建模。

3.2?確定模型參數(shù)和檢驗(yàn)?zāi)Ｐ瓦m用性

根據(jù)所測得和選定的參數(shù)，得到模型參數(shù)的估計(jì)值。常用的估計(jì)模型參數(shù)的方法有矩方法、最小二乘法和極大似然法。當(dāng)樣本滿足正態(tài)分布且足夠長時(shí)，采用最小二乘法估計(jì)參數(shù)可得到與采用極大似然法基本一致的結(jié)果，最小二乘法就是使得殘差平方和達(dá)到最小條件下所得到的對未知參數(shù)的估計(jì)值?？梢酝ㄟ^對時(shí)序模型的譜估計(jì)轉(zhuǎn)化得到對模型參數(shù)的估計(jì)，而其中參數(shù)化的譜估計(jì)以最大熵譜估計(jì)方法為代表，與AR模型的線性自回歸不同，ARMA模型的回歸是非線性的，不能用最小二乘法估計(jì)出模型的參數(shù)，而需用非線性最小二乘法——泰勒級(jí)數(shù)展開線性化或廣義最小二乘法，其計(jì)算過程復(fù)雜、計(jì)算量很大。常用矩方法估計(jì)ARMA模型參數(shù)，也可用二級(jí)最小二乘法估計(jì)模型參數(shù)，即首先導(dǎo)出一足夠高階的AR模型，然后利用AR模型估計(jì)ARMA模型的輸入輸出互相關(guān)特性并進(jìn)而確定其參數(shù)。

3.4進(jìn)行模型適用性檢驗(yàn)，時(shí)序方法中發(fā)展了一系列的準(zhǔn)則以檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷倪m用性，這些準(zhǔn)則主要有：白噪聲檢驗(yàn)準(zhǔn)則，殘差平方和檢驗(yàn)準(zhǔn)則。適用性檢驗(yàn)對于時(shí)序模型而言，實(shí)質(zhì)上就是模型定階，尤其對ARMA模型，可以稱這些準(zhǔn)則為定階準(zhǔn)則。如果模型通過了適用性檢驗(yàn)則模型是正確的，且具有所需的模擬精度，該模型能被外推用于道路數(shù)據(jù)庫模型中。

由于時(shí)間序列模型建立在嚴(yán)密的統(tǒng)計(jì)學(xué)理論基礎(chǔ)之上，因此對樣本的容量、樣本的性質(zhì)有一定的要求。首先，它要求樣本容量最好要50個(gè)以上只有這樣才使得后模型診斷與檢驗(yàn)有意義;其次，它要求樣本時(shí)間序列必須是一個(gè)平穩(wěn)過程。

選擇的樣本除了滿足上述兩個(gè)條件以外還要要滿足使用近期的數(shù)據(jù)這樣對以后路面研究的實(shí)用性更強(qiáng)。本文的樣本選取長度為50米。由于檢測車每隔0.2米一測，所以一共250個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，顯然，該序列為隨機(jī)時(shí)間序列，其容量滿足條件要求。

作者簡介：王佳秋（1964.08-），女，漢族，江蘇蘇州人，廣東科技學(xué)院，教授，碩士，研究方向?yàn)橄到y(tǒng)科學(xué)。