轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

黃培芳

隨著二十一世紀(jì)經(jīng)濟的飛速發(fā)展，知識經(jīng)濟的來臨，“科教興國”戰(zhàn)略的確立以及新一輪基礎(chǔ)教育改革的實施，高中數(shù)學(xué)課程改革也進(jìn)入一個重要時期。特別是在新的課程標(biāo)準(zhǔn)下，數(shù)學(xué)思想的教學(xué)顯得更為重要。高中數(shù)學(xué)中蘊含的數(shù)學(xué)思想很多，基本的數(shù)學(xué)思想有轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、方程思想、函數(shù)思想等，而轉(zhuǎn)化思想是這些思想中最基本的數(shù)學(xué)思想，也是一種最基本的思維策略，更是一種有效的數(shù)學(xué)思維方式。下面舉一些例子來說明數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想在函數(shù)和幾何教學(xué)中的應(yīng)用，更好地利用數(shù)學(xué)思想來提高學(xué)生的素質(zhì)，以便學(xué)生今后能用這種數(shù)學(xué)思想方法來解決實踐中遇到的各種問題。

一、轉(zhuǎn)化思想在函數(shù)中的應(yīng)用

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點和難點，由于函數(shù)的抽象性給教學(xué)帶來了一定的困難，如果能合理運用轉(zhuǎn)化思想來教學(xué)，能讓學(xué)生在遇到未知問題時迅速把它轉(zhuǎn)化，從而求解。如某些數(shù)學(xué)問題，在題目或結(jié)論中出現(xiàn)“至少”“至多”或者“不”之類的否定詞的時候，可從問題的結(jié)論入手，或者從命題的條件或結(jié)論的反面思考從而解決問題。

例1? 已知a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=alnx+x2-4x

（1）是否存在實數(shù)a，使得f（x）在x=1處取極值？證明你的結(jié)論。

（2）設(shè)g（x）=（a-2）x，若存在x0∈? ? ? ? ?，使得f（x0）≤g（x0）成立，求實數(shù)a的取值范圍。

分析：（1）先求出函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)。假設(shè)存在實數(shù)a，使f（x）在x=1處取極值，則f′（1）=0，解出a的值。根據(jù)x=1的左右單調(diào)性是否相同，即可判斷x=1是不是極值點;

（2）在? ? ? ? ? ?上存在一點x0，使得f（x0）≤g（x0）成立，（x0-lnx0）a≥x02-2x0，而要求a的取值范圍，需把a分離出來，要分離a 必須先確定a前面的系數(shù)x0-lnx0的符號，構(gòu)造函數(shù)F（x）=x-lnx再求F（x）的導(dǎo)數(shù)，F(xiàn)′（x）=? ? ? ? （x>0）

∴當(dāng)0

當(dāng)x>1時，F(xiàn)′（x）>0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞增;

∴F（x）≥F（1）=1>0，即x-lnx>0，（x>0）.

所以不等式可轉(zhuǎn)化為? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，再構(gòu)造出函數(shù)G（x）=? ? ? ? ? ? ? ?（x∈? ? ? ? ? ?）。

從而把問題轉(zhuǎn)化成a≥G（x）min，對G（x）求導(dǎo)，確定G（x）的單調(diào)性，求出G（x）的最小值，即可求出a的取值范圍。

點評：本題第（2）小題考查解決存在型不等式，通過轉(zhuǎn)化思想把它轉(zhuǎn)化為用導(dǎo)數(shù)解決單調(diào)性的問題，培養(yǎng)了學(xué)生運用知識解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力和運算能力。

二、轉(zhuǎn)化思想在解析幾何中的應(yīng)用

解析幾何是高中數(shù)學(xué)的一個重要組成部分，它是以解析幾何學(xué)的基本內(nèi)容和思想為背景材料，用代數(shù)方法研究平面幾何問題。因而在解析幾何的學(xué)習(xí)中充分利用轉(zhuǎn)化思想，就可以起到化繁為簡、事半功倍的效果。

例2? 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：? ? ? ? ? ? ? ? （a>b>0）的左、右焦點，A，B分別是橢圓E的左、右頂點，且? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

（1）求橢圓E的離心率;

（2）已知點D（1，0）為線段的OF2中點，M為橢圓E上的動點（異于點A、B），連結(jié)MF1并延長交橢圓E于點N，連結(jié)MD、ND并分別延長交橢圓E于點P、Q，連結(jié)PQ，設(shè)直線MN、PQ的斜率存在且分別為K1、K2，試問是否存在常數(shù)λ，使得K1+λK2=0恒成立？若存在，求出λ的值;若不存在，說明理由。

分析：（1）由? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，易得

。所以得到a+c=5（a-c）所以2a=3c，故橢圓E的離心率為? ? 。

（2）中的條件較多，如果從結(jié)論來分析的話，學(xué)生可能會設(shè)存在λ，從而設(shè)法來求λ的值。但結(jié)合題目中的條件無從入手，而解析幾何就是用方程表示曲線，用代數(shù)的方法去研究幾何圖形。所以從已知條件入手，直接假設(shè)點的坐標(biāo)后進(jìn)行代入點D（1，0）為線段OF2的中點，所以c=2，從而a=3，b=? ? ，左焦點F1（-2，0），橢圓E的方程為? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。

設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4），則直線MD的方程為y=? ? ? ? ? （x-1），即x=? ? ? ? y+1，代入橢圓方程

整理得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

從而把它轉(zhuǎn)化為方程，再利用根與系數(shù)的關(guān)系得到

∴? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。從而? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，故點P? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。

同理，點Q? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。

∵三點M、F1、N共線，

∴? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，從而x1y2-x2y1=2（y1-y2）.

從而

故? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，從而存在滿足條件的常數(shù)λ=? ? ? ? 。

由條件代入直接轉(zhuǎn)化進(jìn)行求解是我們最基本的解題方法，而解析幾何的條件中很多是給出圖形的條件，因而當(dāng)我們考慮一個解析幾何問題時，首先應(yīng)該去考慮能否利用已知條件中的“形”，由“形”直接轉(zhuǎn)化到“數(shù)”來解決，而大部分題目的確都能通過這個轉(zhuǎn)化來解決。

三、轉(zhuǎn)化思想在立體幾何中的應(yīng)用

中學(xué)立體幾何的主要內(nèi)容，不外乎直線和平面、多面體和旋轉(zhuǎn)體兩大部分。在解決這兩部分內(nèi)容的某些空間問題時，僅憑空間有關(guān)描述是不能具體刻畫出它們的相對位置關(guān)系的。這時，我們常常運用轉(zhuǎn)化思想，使其轉(zhuǎn)化到平面圖形來，采用平面幾何的知識來準(zhǔn)確刻畫出空間關(guān)系。

例3? 已知正四棱錐P-ABCD 的底邊長和各側(cè)棱長均為13，M、N 分別是PA、BD上的點，且PM：MA=BN：ND=5：8。（1）求證：直線MN∥平面PBC;（2）求直線MN與平面ABCD所成的角的正弦。

分析：二面角是從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形，是空間角，可轉(zhuǎn)化為用二面角的平面角來度量它。求二面角的大小，一般的方法是先作出二面角的平面角，再求其大小。題中要求直線MN與平面ABCD所成的角，是先轉(zhuǎn)化為直線PE與平ABCD所成的角，再轉(zhuǎn)化成平面幾何的角∠PED，然后計算出sin∠PEO的大小而完成的。

解：（1）如圖，因為P-ABCD是正四棱錐，所以是ABCD正方形。連結(jié)AN并延長BC交于E，連結(jié)PE，因為AD∥BC，所以EN：AN=BN：ND。又由已知BN：ND=PM：MA，所以MN∥PE，PE在平面PBC內(nèi)，故MN∥平面PBC。

（2）由（1）知MN∥PE，所以MN與平面ABCD所成的角就是PE與平面ABCD所成的角。

設(shè)點P在底面ABCD的射影為O，連結(jié)OE、OP，則∠PEO為PE與平面ABCD所成的角。根據(jù)正三棱錐的性質(zhì)，得PO=

=? ? ? ? ，又根據(jù)（1）知BE：AD=BN：ND=5：8，所以BE=? ? ? 。

在△PBE中，∠PEO=60°，PB=13，BE=? ? ，由余弦定理得PE=? ? ?。在Rt△POE中， PO=? ? ? ? ，PE=? ? ?，所以sin∠PEO=

=? ? ? 。故直線MN與平面ABCD所成得角的正弦值為? ? ? ? ?。

立體幾何中空間向平面轉(zhuǎn)化的形式是多種多樣的。除此以外，立體幾何中有關(guān)度量問題也可以向平面度量轉(zhuǎn)化的，例如在空間角的度量中是轉(zhuǎn)化為平面角，用平面角的度量方法來度量的等。同時，空間圖形的面積也是轉(zhuǎn)化到平面圖形的面積來度量的。只要我們在教學(xué)和學(xué)習(xí)中，多加總結(jié)，注意運用，立體幾何的許多問題就會化難為易，得到解決。

轉(zhuǎn)化思想不僅應(yīng)用在函數(shù)和幾何方面，實際上轉(zhuǎn)化思想也應(yīng)用在三角函數(shù)、向量、數(shù)列、不等式等問題。縱觀整個高中學(xué)習(xí)過程，我們可以看到轉(zhuǎn)化思想是處理數(shù)學(xué)問題的一種基本思想，掌握數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法可以使數(shù)學(xué)問題更容易理解，更重要的是領(lǐng)會數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想是通向遷移大道的“光明之路”，形成“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”、樹立創(chuàng)新意識的關(guān)鍵，它能使學(xué)生在未來的學(xué)習(xí)中終身受益。