轉(zhuǎn)化思想在解中學(xué)數(shù)學(xué)題中的應(yīng)用

徐雁明

【摘要】數(shù)學(xué)教學(xué)的核心在于數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)。轉(zhuǎn)化思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本數(shù)學(xué)思想之一，也是數(shù)學(xué)思想方法的核心。轉(zhuǎn)化思想是指在分析解決問題時(shí)把那些待解決問題通過某種轉(zhuǎn)化過程，化歸為一類已經(jīng)解決或比較容易解決的問題，最終求得原問題的解答。因此，解題時(shí)要善于將復(fù)雜化簡(jiǎn)單，陌生化熟悉，一般化特殊，數(shù)形互化等。

【關(guān)鍵詞】中學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)解題；轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用十分廣泛，在較為綜合的數(shù)學(xué)問題解決當(dāng)中離不開轉(zhuǎn)化思想——把復(fù)雜的問題化為簡(jiǎn)單的形式，把抽象的問題化為具體的，把不熟悉的化為熟悉的，甚至數(shù)化為形。所謂分析和解決問題的能力，就是不斷轉(zhuǎn)化的能力，同時(shí)邏輯思維的過程，也是不斷轉(zhuǎn)化的過程。數(shù)學(xué)問題的設(shè)計(jì)都是圍繞著最基本的數(shù)學(xué)概念、定理、知識(shí)、方法而進(jìn)行的，都是為考查“三基”服務(wù)。因此，無論問題設(shè)計(jì)得多么復(fù)雜，總能經(jīng)過適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，把問題歸結(jié)到最基本的知識(shí)。為此，在解答數(shù)學(xué)問題時(shí)要善于將復(fù)雜、陌生的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單、熟悉的問題來解決，轉(zhuǎn)化思想是解答數(shù)學(xué)問題的重要思想。

一、 “一般”化為“特殊”：對(duì)一些“成立”問題，常?？梢匀讉€(gè)“特殊值”進(jìn)行分析

例1. 證明：對(duì)任意m∈R，直線y-mx+

3m+2=0恒通過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。

分析：對(duì)任意實(shí)數(shù)m，直線總過定點(diǎn)，因此，當(dāng)m=0或m=1時(shí)，直線也過定點(diǎn)。所以，定點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)滿足方程組

這里便體現(xiàn)著“一般”（對(duì)任意實(shí)數(shù)m，直線總過定點(diǎn)）化到“特殊”（m=0，m=1時(shí)，直線也過定點(diǎn)）的轉(zhuǎn)化。

解：令m=0，m=1，有 ， 則有 。把它代入原直線方程得到式子：-2-3m+3m+2=0。此式對(duì)任意實(shí)數(shù)m恒成立，所以對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，直線 y-mx+3m+2=0恒過定點(diǎn)（3，-2）。

二、“不熟悉”轉(zhuǎn)化為“熟悉”：常?？梢园褬O坐標(biāo)中不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)來解決，復(fù)數(shù)中不熟悉的式子轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)式（實(shí)行公式應(yīng)用轉(zhuǎn)化）

例2 .求在極坐標(biāo)系下的圓

的圓心坐標(biāo)。

分析：我們學(xué)習(xí)極坐標(biāo)方程的時(shí)間較短，接觸不多，對(duì)其不太熟悉。因此，我們較難知道 是怎么樣的圓，但化為直角坐標(biāo)后，求圓的圓心坐標(biāo)是我們很熟悉的。應(yīng)該注意的是，最終結(jié)果是圓心的極坐標(biāo)形式，而不是直角坐標(biāo)的形式。

解：把極坐標(biāo)與普通方程的互化公式：

代入極坐標(biāo)方程，得到圓的直角坐標(biāo)方程： ，所以，

因此圓心的直角坐標(biāo)為 ，再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)形式為 ，

即圓 的圓心坐標(biāo)為 。

三、“未知”化為“已知”，把問題的特定量通過題意條件轉(zhuǎn)化到已知部分去求解

例3.設(shè)f（x）是 上的奇函數(shù)，

f（x+2）=-f（x），0≤x≤1，f（x）=x，則f（7.5）等于 （A.0.5 B.-0.5 C.1.5 D.-1.5）

分析：f（7.5）不在0≤x≤1上，我們無法直接求出f（7.5）的值 ，必須對(duì)f（7.5）作適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化使f（7.5）最后在0≤x≤1。

解： f（7.5）=- f（5.5）= f（3.5）=- f（1.5）= f（-0.5）

又f（x）是奇函數(shù)， f（-0.5）=- f（0.5）=-0.5，故答案為B。

四、“立體”化為“平面”，在某些立體問題中需要考慮其展開圖，而立體幾何中的計(jì)算一般是轉(zhuǎn)化成解平面三角形的相關(guān)問題

例4.在母線長為20cm，上下底面半徑分別為5cm，10cm的圓臺(tái)中，從母線AB的中點(diǎn)M拉一根繩子，圍繞圓臺(tái)側(cè)面轉(zhuǎn)到B點(diǎn)， ①求繩子的最短長度；②求此狀態(tài)的繩子和圓臺(tái)上底圓周的最短距離。

分析：空間中解決此問題難度較大，因?yàn)榱Ⅲw幾何比較抽象，我們應(yīng)把圓臺(tái)的側(cè)面展開到平面上，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題。

解：如圖，設(shè)圓臺(tái)側(cè)面展開圖的圓心角為α，OA=r 則有

解得r=20

由10π=αr 和r=20

得α=π/2

∴繩子的最短長度為

作OD⊥MB， 則

∴ED=24-20=4cm，則繩子和圓臺(tái)上底圓周間的最短距離為4cm

五、“幾何條件”轉(zhuǎn)化為“代數(shù)式”（或代數(shù)方程），在解析幾何中常常涉及到一些幾何條件，如線段長度，直線垂直等，應(yīng)轉(zhuǎn)化為成相應(yīng)的代數(shù)式或方程

例5.直線l=mx+1與橢圓C： ，交于A、B兩點(diǎn)，以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形OAPB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn)P的軌跡方程。

分析：設(shè) ，因?yàn)镺A、OB為平行四邊形OAPB的鄰邊，令E為OP的中點(diǎn)，則E也為AB的中點(diǎn)，通過適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，可以求出點(diǎn)P的軌跡方程。

解：設(shè) ，OP的中點(diǎn)為E，則E的坐標(biāo)為（ ， ）。 由

消去y，得

由韋達(dá)定理得 則有

即AB的中點(diǎn)為E

，于是 消去m，得點(diǎn)P的軌方程為。

六、“多”化“少”，一個(gè)式子往往有多個(gè)變量或成分，利用題意或適當(dāng)?shù)姆椒ǎ瑴p少變量或變式成分，讓問題易于處理和判別

例6.求拋物線上的點(diǎn)，使得該點(diǎn)與點(diǎn)P（5，0）的距離取最小值。

解：在拋物線任意取一點(diǎn) m（x，y），則y2=4x

∴當(dāng)x=3時(shí)， 取最小值4，即拋物線上的點(diǎn)到P點(diǎn)的距離的最小值為4。

七、“動(dòng)”與“靜”的轉(zhuǎn)化，數(shù)學(xué)中許多靜止?fàn)顟B(tài)的圖象的位置與形態(tài)可以運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)理解為運(yùn)動(dòng)的特殊位置和形態(tài)，能使靜止的圖形具有活力，而運(yùn)動(dòng)從它的反面找到它的量度，從可變性中挖掘其內(nèi)在確定性

例7. 如圖邊長為2a正三角形ABC頂點(diǎn)A、B，分別在x軸和y 軸上移動(dòng)，求頂點(diǎn)C 原點(diǎn)O的距離d的最小值和最大值.

分析：動(dòng)三角形ABC看作相對(duì)定點(diǎn)O不動(dòng)，而O相對(duì)三角形ABC運(yùn)動(dòng)。此時(shí)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)軌跡為以AB為直徑的圓，問題就轉(zhuǎn)化為求C到圓上的點(diǎn)的距離的最大值和最小值。

解：將三角形ABC固定，原點(diǎn)O相對(duì)三角形ABC運(yùn)動(dòng)，其軌跡是以AB為直徑的圓。設(shè)其圓心為p，半徑為a，則

由平面幾何知，可得 。

八、“數(shù)”“形”轉(zhuǎn)化，數(shù)與形是數(shù)學(xué)研究的兩類不同對(duì)象，但對(duì)同一個(gè)問題往往可以用數(shù)與形兩種形式規(guī)劃，二者相互溝通和轉(zhuǎn)化，既可以發(fā)揮數(shù)的嚴(yán)密性，又可以體現(xiàn)形的直觀性

例8.已知實(shí)數(shù)x，y滿足

求y/x的最大值。

分析：本題直接求解較為困難，但是把問題轉(zhuǎn)化為求直線OP斜率的最大值。

解：畫出 的圖形 ，設(shè)直線OP的方程為y=kx，則有當(dāng)直線與圓相切時(shí)，直線的斜率最大。

∴當(dāng)圓點(diǎn)（2，0）到直線的距離為d，且半徑 時(shí)，直線與圓相切。

即 ，解得 ，∴斜率 最大值為 。

總之，這些不同類型的轉(zhuǎn)化，遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能概括“轉(zhuǎn)化思想”的豐富內(nèi)容，而且這些類型也不是絕對(duì)的，而是互相交叉、互相滲透的。譬如“一般”化“特殊”， “不熟悉” 化“熟悉”等，特別是“數(shù)” 與“形”轉(zhuǎn)化，我們常用的一些思想方法，對(duì)此我們是熟悉的，還要“熟練”的。教師在平時(shí)的教學(xué)中要善于引導(dǎo)和鼓勵(lì)學(xué)生在學(xué)習(xí)上和生活中經(jīng)常運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，這樣，將能解決更多的數(shù)學(xué)問題。

參考文獻(xiàn)：

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