對(duì)微積分中無窮小量的一點(diǎn)探討

李玉榮

摘要：通過無窮小量的發(fā)展歷史可以看到無窮小量在微積分中占有十分重要的地位，而對(duì)于無窮小量可以比較它們收斂于零的速度快慢，尤其是等價(jià)無窮小量在求極限的過程中發(fā)揮著重要作用。

關(guān)鍵詞：無窮??；微積分；極限

1、無窮小的發(fā)展歷史

人們對(duì)無窮小的認(rèn)識(shí)經(jīng)歷了一個(gè)漫長(zhǎng)的過程，直到十八世紀(jì)，仍然沒有較完善的解釋無窮小概念。由于微積分的誕生不是嚴(yán)格按照“邏輯線路”生成的，包括牛頓和萊布尼茨本人都對(duì)微積分的那個(gè)“微小量”的處理是否合法產(chǎn)生過懷疑，許多人也發(fā)現(xiàn)了那個(gè)“微小量”在邏輯中產(chǎn)生的悖論，以至于被嘲諷為“無窮小精靈”。無窮小是什么，無窮小究竟能不能是零，我們?cè)鯓哟_切地描述它，這些問題引起了數(shù)學(xué)界乃至哲學(xué)界長(zhǎng)達(dá)一個(gè)半世紀(jì)的爭(zhēng)論，并引發(fā)了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。

比較著名的芝諾悖論可以看作是此次危機(jī)的萌芽：跑得很快的阿希里趕不上在他前面的烏龜。直到19世紀(jì)20年代，一些數(shù)學(xué)家才比較關(guān)注于微積分的嚴(yán)格基礎(chǔ)。從波爾查諾、阿貝爾、柯西、狄里赫利等人的工作開始，到威爾斯特拉斯、狄德金和康托的工作結(jié)束，中間經(jīng)歷了半個(gè)多世紀(jì)，基本上解決了矛盾，為數(shù)學(xué)分析奠定了一個(gè)嚴(yán)格的基礎(chǔ)。

2、無窮小的重要性

無窮小量在微積分中占有十分重要的地位，如果將微積分比喻為一座大廈，那無窮小就存在于每一塊磚石之中，無法將其分離。正確理解無窮小量的概念有助于理解微積分的本質(zhì)。從微積分的產(chǎn)生到無窮小概念的建立，這個(gè)歷史過程生動(dòng)地表明：一種新的數(shù)學(xué)方法，不能長(zhǎng)期停留在形象直觀的階段上，必須在不斷深化認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，由定性認(rèn)識(shí)轉(zhuǎn)化為定量認(rèn)識(shí)，形成概念和理論的系統(tǒng)，否則，就不可能做出科學(xué)的抽象，也不可能適應(yīng)社會(huì)經(jīng)濟(jì)以及數(shù)學(xué)自身發(fā)展的需要。

3、無窮小的比較

對(duì)于一對(duì)函數(shù)而言，它們?cè)谀骋稽c(diǎn)的極限可能都是無窮小，但是趨近于零的速度卻有快有慢，有的快一些有的慢一些，那么，我們要怎樣比較這種快慢呢？

我們知道，誰趨近于零，誰的絕對(duì)值就越小。所以比較α、β趨近于零的快慢就可以用除法。只要兩個(gè)數(shù)一相除，那么它們的相對(duì)大小就比較出來了，由于它們是動(dòng)態(tài)的函數(shù)，只要時(shí)時(shí)刻刻滿足這個(gè)規(guī)律，這個(gè)關(guān)系就不會(huì)變。另外由于這兩個(gè)函數(shù)是同一極限過程中的無窮小，那么由相對(duì)大小就可以比較出誰更快的接近于0了。

4、等價(jià)無窮小量

無窮小量是指某變化過程中極限為0的變量。而等價(jià)無窮小量是指在某變化過程中比值極限為1的兩個(gè)無窮小量。等價(jià)無窮小量在求極限問題中非常重要。恰當(dāng)?shù)氖褂玫葍r(jià)無窮小量代換常常使極限問題大大簡(jiǎn)化，但是有時(shí)卻不能使用等價(jià)無窮小量代換。

例如在有加減的情況下不能隨便運(yùn)用等價(jià)無窮小代換求極限，問題在于兩個(gè)無窮小相加減可能因?yàn)榈碗A部分相消而變成更高階的無窮小量。

例如：

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編.高等數(shù)學(xué)第七版.高等教育出版社.2014年7月

[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編. 數(shù)學(xué)分析第四版. 高等教育出版社. 2010年7月

（武警警官學(xué)院 基礎(chǔ)部 四川成都 610213）