教學(xué)中如何關(guān)注學(xué)生的思維進(jìn)程

江顯清

在提出“怎樣計(jì)算平行四邊形的面積”這一問題后，教師讓學(xué)生盡情猜想，然后動(dòng)手驗(yàn)證（課前學(xué)生自己剪的平行四邊形紙片，上畫沒有方格、也沒有標(biāo)上高）。

匯報(bào)時(shí)——

生1：我認(rèn)為平行四邊形面積的計(jì)算方法是用底高。（然后介紹了自己的驗(yàn)證方法：沿著平行四邊形中間的一條高，將平行四邊形剪拼成長(zhǎng)方形……）

生2：我也認(rèn)為平行四邊形面積的計(jì)算方法是用底東高。（然后介紹了他的驗(yàn)證方法：沿著平行四邊形上邊端點(diǎn)引的一條高，將平行四邊形剪拼成長(zhǎng)方形……）

生3：我沒能猜出平行四邊形面積的計(jì)算方法，我是這樣來求的——他將平行四邊形紙片剪成兩個(gè)直角三角形和一個(gè)長(zhǎng)方形，然后將兩個(gè)直角三角形拼成一個(gè)長(zhǎng)方形…）

生4：我覺得平行四邊形的面積是用長(zhǎng)乘寬。因?yàn)槠叫兴倪呅稳菀鬃冃?，可以轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形。

......

學(xué)生展示究后，教師引導(dǎo)學(xué)生們一一評(píng)價(jià)，著重解決第一

二、三種方法有什么相同點(diǎn)，為什么都要沿著高剪。

在評(píng)價(jià)第四種方法時(shí)，教師說：“這位同學(xué)提出了一個(gè)十分有價(jià)值的問題！請(qǐng)這位同學(xué)再說說是怎么想的。”

生4：我用四支鉛筆搭成一個(gè)長(zhǎng)方形，再輕輕一推就成了一個(gè)平行四邊形。長(zhǎng)方形的面積是長(zhǎng)乘寬，所以平行四邊形的面積也是長(zhǎng)乘寬。

師：非常感謝這位同學(xué)！他大膽地猜想平行四邊形的面積是相鄰的這兩條邊的乘積。（發(fā)言的同學(xué)滿臉自豪）現(xiàn)在，同意的請(qǐng)舉手，不同意的請(qǐng)舉手。（同意的只有五位，絕大多數(shù)不同意）哪位來說說為什么不同意？

生5：（指著圖）鐘過來以后，這條邊短了。（看得出同學(xué)們沒有認(rèn)可）

師：現(xiàn)在我來解決這個(gè)問題，可以嗎？（拿出一個(gè)可以活動(dòng)的平行四邊形框架）這四條邊的長(zhǎng)度沒法改變。它的面積是相鄰的這兩條邊的乘積嗎？（說“是”的比原先多了）平行四邊形容易變形，（拉動(dòng)后）面積變了嗎？能用相鄰的兩條邊長(zhǎng)度相乘嗎？（學(xué)生在思考）

生4：華老師，我能借用一下您的平行四邊形嗎？

師：可以可以！

生4：（快步上前，將平行四邊形框架反方向拉成一個(gè)長(zhǎng)方形）這樣就能用相鄰的兩條邊相?。ㄍ瑢W(xué)們和聽課的老師都笑了）

師：贊成用相鄰兩條邊的長(zhǎng)度相乘的，請(qǐng)舉手。（絕大多數(shù)學(xué)生舉手了）非常好！他找了個(gè)“行”的例子。那你再看呢？（順著他的方向，教師鯕拉動(dòng)平行四邊形框架，直到幾乎重合）

生6：我發(fā)現(xiàn)問題了！兩條邊長(zhǎng)度沒變，乘積也就不變，可是面積變了。（認(rèn)為“行”的學(xué)生也不說話了）

教師看時(shí)機(jī)已到，于是總結(jié)說：“前三種方法，是通過剪拼，將平行四邊形轉(zhuǎn)化成了長(zhǎng)方形，面積有沒有變？（生齊：沒有。）第四種方法是將平行四邊形拉成了長(zhǎng)方形，面積有沒有變？（生齊變了。）兩者都是轉(zhuǎn)化成了長(zhǎng)方形，但我們是要計(jì)算原平行四邊形的面積，轉(zhuǎn)化以后的面積能不能變？（生齊：不能。）

忽然，生4喊了起來：“華老師，您誤導(dǎo)！”

全場(chǎng)大笑。

教師更是開懷大笑。

在笑聲中教師對(duì)生4說：“你說得太好了！不過，我不是誤導(dǎo)，而是導(dǎo)誤！并且，你的想法是有道理的。你的想法啟發(fā)了大家，計(jì)算平行四邊形的面積并不一定要用底來高，用相鄰兩條邊的長(zhǎng)度相乘再乘上一個(gè)變動(dòng)的量就可以了，那是將來到高中就要學(xué)到的！”

按照建構(gòu)主義理論，在新的學(xué)習(xí)中，學(xué)習(xí)者通常基于以往的經(jīng)驗(yàn)去推出合平邏輯的假設(shè)，新知識(shí)是以已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為生長(zhǎng)點(diǎn)而“生長(zhǎng)”起來的。學(xué)生在學(xué)習(xí)平行四邊形的面積計(jì)算之前，僅僅學(xué)習(xí)過長(zhǎng)方形和正方形的面積計(jì)算，而長(zhǎng)方形和正方形的面積實(shí)質(zhì)上都是用相鄰兩條邊的長(zhǎng)度的乘積來計(jì)算的。這就是學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)。所以在探求平行四邊形面積計(jì)算方法時(shí)，學(xué)生想到用相鄰兩條邊長(zhǎng)度的乘積來計(jì)算，完全是一種合情推理，是自然而真實(shí)的想法。

從生4的前兩次回答可知，他是沿著“平行四邊形容易變形，

可以把它拉成長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的面積是長(zhǎng)乘寬，所以平行四邊形的面積也是長(zhǎng)乘寬”這個(gè)思路去想的。生4的思路得出了錯(cuò)誤的結(jié)論，其他同學(xué)的剪拼思路得出了正確結(jié)論，那么二者的實(shí)質(zhì)區(qū)別在哪里？生4的思路隱含的假設(shè)是：平行四邊形在變形中，面積不變。生5的回答表明他認(rèn)為，平行四邊形在拉動(dòng)變形中，邊長(zhǎng)有了變化，所以他不同意生4的看法。生5的想法隱含的假設(shè)是兩個(gè)平行四邊形在拉動(dòng)變形中，邊長(zhǎng)變了;因?yàn)檫呴L(zhǎng)變了，所以面積也變了。生5認(rèn)為平行四邊形在拉動(dòng)變形中，邊長(zhǎng)變了，這一觀點(diǎn)顯然是錯(cuò)誤的，因而沒有得到同學(xué)們的認(rèn)可。生5用錯(cuò)誤的理由來否定生4的觀點(diǎn)，說明了反對(duì)生4觀點(diǎn)的同學(xué)他們的理解也并不全都是正確的。這是在表面正確下所隱藏的錯(cuò)誤，如果沒有暴露出來，教師很難發(fā)現(xiàn)。

在教師引導(dǎo)學(xué)生糾正錯(cuò)誤的過程中，有幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)值得關(guān)注和思考：一是當(dāng)教師拿出可以活動(dòng)的平行四邊形框架后，要學(xué)生思考這四條邊的長(zhǎng)度沒法改變。它的面積是相鄰的這兩條邊的乘積嗎”時(shí)，說“是”的同學(xué)反倒比原先多了。為什么會(huì)增加？新增加的這些人是怎樣想的？新增加的這些人他們?cè)日J(rèn)為不能用相鄰兩條邊的乘積來計(jì)算平行四邊形的面積，現(xiàn)在認(rèn)為能，是什么促使他們改變了觀點(diǎn)？是因?yàn)榇藭r(shí)他們認(rèn)識(shí)到平行四邊形框架在拉動(dòng)變形中邊的長(zhǎng)度不變。這說明他們還有這樣一個(gè)沒有明確表達(dá)出來的觀點(diǎn)平行四邊形的邊長(zhǎng)不變，面積也就不變。那么，新增加的這些人原來認(rèn)為平行四邊形在拉動(dòng)變形中邊的長(zhǎng)度變還是不變？合乎邏輯的推論只能和生5一樣，認(rèn)為會(huì)變的?？梢?，生5的想法不是奇特的孤立現(xiàn)象。

二是當(dāng)教師拉動(dòng)平行四邊形框架使它發(fā)生變形后問學(xué)生：“面積變了嗎？能用相鄰的兩條邊長(zhǎng)度相乘嗎”時(shí)，絕大多數(shù)學(xué)生并沒有像起初那樣堅(jiān)定地表示不能用相鄰的兩條邊長(zhǎng)度相乘來計(jì)算平行四邊形的面積，而是陷入了思考。這種思考也反映了一種猶豫或疑惑，此時(shí)學(xué)生明確知道，邊的長(zhǎng)度沒有變化，他們的疑惑一定是不能確定在拉動(dòng)變形中平行四邊形的面積變了沒有：說沒變吧，似乎直觀看到有變化;說有變化吧，又與自己已有的想法（邊長(zhǎng)不變，面積也不變）相矛盾?？梢妼?duì)于小學(xué)生來說，在初步知道平行四邊形面積等于底乘高的條件下，即使知道下面兩個(gè)平行四邊形的邊長(zhǎng)對(duì)應(yīng)相等，學(xué)生仍不容易斷定左邊平行四邊形的面積大于右邊平行四邊形的面積。

三是當(dāng)生4將平行四邊形框架反方向拉成一個(gè)長(zhǎng)方形，并說“這樣就能用相鄰的兩條邊相乘”后，絕大多數(shù)學(xué)生都舉手贊成用相鄰兩條邊的長(zhǎng)度相乘來求平行四邊形的面積。這是一個(gè)令人驚奇的現(xiàn)象，又是一個(gè)真實(shí)的現(xiàn)象：絕大多數(shù)學(xué)生竟然從正確倒向了錯(cuò)誤！生4提供的例子，是學(xué)生確認(rèn)的長(zhǎng)方形面積的計(jì)算方法，此時(shí)又和他們已有的“邊長(zhǎng)不變，面積也不變”的錯(cuò)誤想法聯(lián)系了起來，所以他們走出了剛才的疑惑和猶豫，做出了他們認(rèn)為正確但實(shí)際錯(cuò)誤的決定。雖然前邊學(xué)生已經(jīng)發(fā)現(xiàn)平行四邊形面積的計(jì)算方法是用底乘高，但此時(shí)沒有學(xué)生發(fā)現(xiàn)在平行四邊形的拉動(dòng)變形中，邊長(zhǎng)沒變，從而底沒變，但高變了，從而面積也變了。這說明學(xué)生先前的正確認(rèn)識(shí)還不夠清晰鞏固，處于一個(gè)比較低的層次，容易受到錯(cuò)誤信息的干擾，還不足以發(fā)現(xiàn)“用底乘高求平行四邊形的面積”與“用相鄰兩條邊的長(zhǎng)度相乘求平行四邊形的面積”之間的矛盾。可見正確建構(gòu)并不容易，一帆風(fēng)順的建構(gòu)也可能是膚淺的建構(gòu)。正所謂“正確，可能只是一種模仿;錯(cuò)誤，卻絕對(duì)是一種經(jīng)歷”。

為什么生4會(huì)產(chǎn)生這樣的想法？這既與他獨(dú)特的思路有關(guān)，還與他自主選取的與其他學(xué)生不同的驗(yàn)證手段有關(guān)。生4是拉動(dòng)能變形的平行四邊形，其他學(xué)生則是剪拼平行四邊形紙片。平行四邊形紙片在剪拼中形狀在變，面積不變;平行四邊形在拉動(dòng)變形中雖然邊長(zhǎng)不變，但面積卻變了，而且這種變化學(xué)生不易察覺。面積變還不是困難的實(shí)質(zhì)所在，實(shí)質(zhì)是對(duì)小學(xué)生來說，不能確定變化前后平行四邊形的面積之間有什么關(guān)系。

總結(jié)以上可知，生4的思路與其他同學(xué)的思路的實(shí)質(zhì)區(qū)別是：后者是等積變形，前者是不等積變形，而且是不能確定變形前后面積之間倍數(shù)關(guān)系的不等積變形，因此是錯(cuò)誤的。（由此也可推知，在為了求面積（或體積、周長(zhǎng)）而進(jìn)行的轉(zhuǎn)化變形中，我們最希望的是等積變形，其次是能確定變形前后面積（或體積、周長(zhǎng)）之間倍數(shù)關(guān)系的不等積變形。）

鄭毓信先生說過：現(xiàn)代教學(xué)思想的一個(gè)重要觀點(diǎn)，就是認(rèn)為學(xué)生的錯(cuò)誤不可能單純依靠正面的示范和反復(fù)的練習(xí)得到糾正，而必須是一個(gè)“自我否定”的過程。又由于所說的“自我否定”是以“自我反省”，特別是內(nèi)在的“觀念沖突”作為必要的前提的，因此為了有效地幫助學(xué)生糾正錯(cuò)誤，教師就應(yīng)十分注意如何提供（或者說創(chuàng)造）適當(dāng)?shù)耐獠凯h(huán)境來促進(jìn)學(xué)生的“自我反省”和“觀念沖突”。

促進(jìn)學(xué)生的“自我反省”和“觀念沖突”實(shí)際就是促進(jìn)學(xué)生思維的充分參與，促進(jìn)學(xué)生的有效建構(gòu)。教師要?jiǎng)?chuàng)造適當(dāng)?shù)耐獠凯h(huán)境來促進(jìn)學(xué)生的“自我反省”和“觀念沖突”，就必須關(guān)注學(xué)生真實(shí)的思維過程，準(zhǔn)確把握學(xué)生原有的內(nèi)在觀念。也只有這樣，教師創(chuàng)設(shè)的外部環(huán)境才能具有針對(duì)性，觀念的沖突才是真槍實(shí)彈的，新知識(shí)意義的建構(gòu)和原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的改組才能是有效的。在本案例中，正是由于教師準(zhǔn)確把握了學(xué)生原有的觀念一一邊長(zhǎng)不變，面積也就不變，所以當(dāng)教師繼續(xù)拉動(dòng)平行四邊形框架，直到幾乎重合時(shí)邊長(zhǎng)還沒變，但面積已經(jīng)小得無法否認(rèn)它的變化了，新的無可駁的事實(shí)與學(xué)生的原有觀念產(chǎn)生了激烈的沖突，學(xué)生思想上的“自我否定”實(shí)現(xiàn)了，他們的錯(cuò)誤得到了徹底糾正，新知識(shí)意義的建構(gòu)和原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的改組得到了有效實(shí)現(xiàn)。