賞析線段和的最小值問題

陳靜雅

【摘 要】線段和最小值問題考察的是學生數(shù)形結合的能力，綜合性較強。因此，它始終是中考的一大熱點.解決此類問題的原理是線段公理和垂線段最短定理，但試題一般會綜合考察軸對稱、旋轉、平移、函數(shù)等知識。本文運用基本模型及其變形來解析2019年中考相關題目。

【關鍵詞】初中幾何;線段和最小值;線段公理;垂線段最短

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2019）34-0114-02

1? ?基本模型

1.1? 垂線段最短

過直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短。

1.2? 線段公理

兩點之間線段最短。

①線段公理變式1：即人教版八年級上冊13.4課題學習最短路徑問題。

②線段公理變式2：如圖1，已知點A、B為射線ON和OM外的兩個定點，P、Q分別為射線ON和OM上的兩個動點，確定當PA+PQ+BQ最小時，P、Q的位置。

方法：分別過點A、B做射線ON、OM的對稱點A′、B′，連接AB′，此時AB′與ON、OM的交點P1、Q1即為所求。（通過軸對稱變換，將折線“掰直”）

③線段公理變式3：如圖2，已知點A、B分別為直線l外同側的兩個點，P1、P2分別為直線l上的兩個動點（P2在P1右側），且P1P2=1，確定當AP1+BP2+P1P2最小時，P1的位置。

方法：將點B水平向左平移1個單位得到B′，過點B’做l的對稱點B’″，連接AB″，此時AB″與l的交點P即為所求。（通過平移，將兩條被P1P2分開的線段移在一起，再通過軸對稱變換將折線“掰直”即可找到P1。）

2? ?運用基本模型來解2019年部分省市中考相關題目

例1（2019濰坊）如圖3，直線y=x+1與拋物線y=x2﹣4x+5交于A，B兩點，點P是y軸上的一個動點，當△PAB的周長最小時，S△PAB=____。

解析：由題意可知，點P在y軸上運動，A、B為y軸外的兩個定點。要確定P點的位置使PA+PB最小，因此我們可確定本題的模型為變式1。確定點P位置只需作點B關于y軸的對稱點B′，連接B′A與y軸的交點即為P。根據(jù)函數(shù)、方程、對稱的相關知識，即可求出點P、C、B的坐標，所以S△PAB=S△PCB-S△PAC=2.4.

例2（2019達州）如圖4，拋物線y=﹣x2+2x+m+1（m為常數(shù)）交y軸于點A，與x軸的一個交點在2和3之間，頂點為B。④點A關于直線x=1的對稱點為C，點D、E分別在x軸和y軸上，當m=1時，四邊形BCDE周長的最小值為+。其中正確判斷的序號是____。

解析：由題意可知，D、E分別為x軸和y軸上的動點，B、C分別為x軸和y軸外的兩個定點，題目是求BE+ED+DC的最小值.因此可確定本題的模型為變式2，求四邊形BCDE周長的最小值，即求BE+ED+DC的最小值，要求BE+ED+DC的最小值，就要把折線“掰直”，其中B、C為定點，E、D為動點，所以根據(jù)將軍飲馬，分別作出C、B關于x、y軸的對稱點C′、B′。因此，BE+ED+DC就轉化為B′E+ED+DC′，B′E+ED+DC′的最小值就為C′B′，根據(jù)函數(shù)和對稱相關知識即可求出C′B′=，進而可求出四邊形BCDE周長的最小值為.

例3（2019成都）如圖5，在邊長為1的菱形ABCD中，∠ABC=60°，將△ABD沿射線BD的方向平移得到△A′B′D′，分別連接A′C、A′D′、B′C，則A′C+B′C的最小值為____。

解析：由題意可知A′、B′，以及A′、B′所在的直線都是動的，但兩個動點A′、B′之間的距離不變，這與變式2模型類似，所以將A′C平移至B′C′（如圖5），此時A′C+B′C最小值就是B′C’’+B′C，而此模型正是將軍飲馬的模型。所以連接AB′，B′C″+B′C的最小值就是AC″。因為A′B′移動的方向和長度固定，所以C″的位置是固定的.進而根據(jù)相關幾何知識即可求出AC″=.

例4（2019長沙）如圖6，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于點E，D是線段BE上的一個動點，則CD+BD的最小值是？

解析：由于定點B和動點D在同一條線段上，所以本題不是將軍飲馬的問題。因此解題的關鍵是要把線段CD和D“掰直”，但是還不知道BD代表哪一條線段，所以要想辦法將BD轉化成一條可視的線段.而且一般情況下，一條帶倍數(shù)的線段可以通過三角函數(shù)將其轉化為另一條線段，所以通過tanA=2可以計算出cosA=，因此，可以聯(lián)想到將BD轉化為以BD為斜邊，且有一個角等于∠A的三角形中的一條直角邊。所以過D作DF⊥AB于點F，此時BD=FD，因此BD+CD=FD+CD，這時FD+CD就可以“掰直”了，“掰直”之后就是CF，接下來根據(jù)垂線段最短，所以CF的最小值為CG=。

據(jù)不完全統(tǒng)計在今年各省市的中考試題中，成都市、達州市、武漢市、宿遷市的填空壓軸，長沙市選擇題壓軸以及重慶市大題壓軸題都考察了相關知識。這類題目綜合性強，難度較大，雖然考察的內(nèi)容與問題原型相比會有一些變化，但是仔細閱讀題目，尋找與問題原型共通的地方，根據(jù)問題原型的解決辦法去尋找題目的突破口，才是解決問題的方法。

參考文獻

[1]朱廣科.線段和（差）最值問題的變式探究與啟示[J].數(shù)理化學習（初中版），2016（11）.