發(fā)現(xiàn) 發(fā)展 領(lǐng)悟

蔣麗娟

【摘 要】本文詳細(xì)記述了“平均變化率”一課的教學(xué)過(guò)程。這節(jié)課的設(shè)計(jì)遵循由特殊到一般、由抽象到具體的原則，通過(guò)觀察、發(fā)展、領(lǐng)悟這三個(gè)環(huán)節(jié)，讓數(shù)學(xué)課堂成為“3D模式數(shù)學(xué)課堂”。最后總結(jié)出“3D數(shù)學(xué)課堂”教學(xué)的操作要領(lǐng)，并指出在教學(xué)活動(dòng)中要凸顯學(xué)生主體地位，以培養(yǎng)學(xué)生思維能力為核心，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)為目標(biāo)。

【關(guān)鍵詞】教學(xué)過(guò)程;教學(xué)反思;3D數(shù)學(xué)課堂

【中圖分類號(hào)】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A? 【文章編號(hào)】1671-8437（2019）34-0053-02

1? ?基本情況

1.1? 授課對(duì)象

高二物地組合普通班學(xué)生，基礎(chǔ)較弱，但課堂氛圍較活躍，善于合作交流共同探究新知。

1.2? 教材分析

本節(jié)課是蘇教版高中數(shù)學(xué)選修2-2第一章《導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》第一節(jié)《導(dǎo)數(shù)的概念》中的1.1.1《平均變化率》問(wèn)題。新課標(biāo)的要求是：借助生活中常見(jiàn)的實(shí)例分析、觀察發(fā)現(xiàn)平均變化率，進(jìn)而探究出瞬時(shí)變化率的過(guò)程，追尋導(dǎo)數(shù)概念的本質(zhì)，明白瞬時(shí)變化率就是導(dǎo)數(shù)，領(lǐng)悟?qū)?shù)的思想及其內(nèi)涵[1]。

1.3? 教學(xué)目標(biāo)

借助生活中常見(jiàn)的實(shí)例分析、觀察發(fā)現(xiàn)平均變化率，進(jìn)而探究出瞬時(shí)變化率的過(guò)程，追尋導(dǎo)數(shù)概念的本質(zhì)，明白瞬時(shí)變化率就是導(dǎo)數(shù)，領(lǐng)悟?qū)?shù)的思想及其內(nèi)涵，感悟用導(dǎo)數(shù)刻畫世界變化的精準(zhǔn)與奇妙。

1.4? 教學(xué)重點(diǎn)

平均變化率的概念和意義。

1.5? 教學(xué)難點(diǎn)

從數(shù)學(xué)的角度描述現(xiàn)實(shí)生活中變量變化的快慢，及如何構(gòu)建平均變化率的概念。

2? ?教學(xué)過(guò)程

2.1 觀察發(fā)現(xiàn)，通過(guò)問(wèn)題情境發(fā)現(xiàn)生活中的平均變化率

變化無(wú)處不在，或細(xì)微得不易察覺(jué)，或巨大得讓人驚嘆！

情境1：汽車加速性能的測(cè)定，保時(shí)捷911vs法拉利360。

問(wèn)題1：保時(shí)捷911速度從0增加到100公里/小時(shí)需4.1秒，而法拉利360需3.8秒，哪款車的加速性能更好？

問(wèn)題2：用什么數(shù)學(xué)表達(dá)式來(lái)描述汽車速度變化的快慢？

情境2：常州市2019年3、4月某幾天日最高氣溫記載（表1）。

問(wèn)題：根據(jù)上面的數(shù)據(jù)我們可以得到哪些信息？

師：4月19日到4月21日，氣溫忽然升高了14.8℃，人們都在驚嘆：“天氣熱得太快了！”而3月19日到4月19日，氣溫增加了15.1℃，甚至超過(guò)了14.8℃，人們卻不會(huì)發(fā)出上述感嘆，為什么？4月19日到4月21日氣溫變化快——陡增！數(shù)學(xué)意義是什么？觀察情境2的氣溫曲線圖，思考以下問(wèn)題：

思考1：“氣溫變化較快”時(shí)，圖象有何特征？（視覺(jué)化）

思考2：如何量化曲線的“陡峭”程度？（數(shù)量化）

總結(jié)與思考：如何刻畫變量f（x）在區(qū)間[x1，x2]上隨x變化（增加或減少）的“快”與“慢”？

2.2? 發(fā)展生成，根據(jù)發(fā)現(xiàn)歸納總結(jié)出平均變化率的具體定義

平均變化率定義：一般，給出函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率。

根據(jù)對(duì)情境2的具體分析，師生共同歸納兩點(diǎn)：

1）平均變化率的實(shí)際作用：反映函數(shù)變化快慢;

2）平均變化率的幾何意義：割線的斜率。

回頭再看前面的問(wèn)題，用平均變化率來(lái)解釋它們.

討論交流：

你能舉出一些用函數(shù)的平均變化率刻畫因變量隨自變量變化“快慢”的例子嗎？

函數(shù)平均變化率的數(shù)值如何刻畫因變量隨自變量變化（增加或減少）的“快慢”？

2.3? 領(lǐng)悟體驗(yàn)，在實(shí)際問(wèn)題中研究平均變化率

例1.甲獲利8萬(wàn)元，乙獲利2萬(wàn)元，那么，你能評(píng)價(jià)甲、乙兩人投資策略的優(yōu)劣嗎？變式：甲乙兩人做金融投資時(shí)投入的資金相同，甲4年后獲利8萬(wàn)元，乙在第4個(gè)月末掙到2萬(wàn)元，你能評(píng)價(jià)甲、乙兩人投資策略的優(yōu)劣嗎？

例2.小宇的二胎妹妹從出生到9歲的身高變化如圖所示，試分別計(jì)算從出生到3歲與6歲到9歲妹妹身高的平均變化率。

設(shè)計(jì)意圖：上述兩例是教材上的例題，在學(xué)生建立起平均變化率的概念之后，進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練，滲透算法、算理，加深對(duì)平均變化率概念的理解，側(cè)重于理解平均變化率的實(shí)際意義。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生回顧并體會(huì)直線的斜率的含義，并發(fā)現(xiàn)直線的斜率與平均變化率的關(guān)系.

例4.已知函數(shù)g（x）=x3，分別計(jì)算在下列區(qū)間上的平均變化率：

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生感知平均變化率在不同區(qū)間上發(fā)生的變化與聯(lián)系，從而找出相似之處，為后續(xù)引入瞬時(shí)變化率做好鋪墊。

2.4? 歸納總結(jié)，理清知識(shí)結(jié)構(gòu)，增加知識(shí)儲(chǔ)量

（1）f（x）在區(qū)間[x1，x2]隨x變化的快慢可用f（x）的平均變化率來(lái)刻畫.。

（2）f（x）在區(qū)間[x1，x2]上的平均變化率是曲線y=f（x）在區(qū)間[x1，x2]上變化趨勢(shì)的代數(shù)刻畫，曲線變化趨勢(shì)是平均變化率的直觀感知。

（3）f（x）在區(qū)間[x1，x2]上的平均變化率是在其局部區(qū)間上f（x）隨x變化的快慢以及曲線y=f（x）陡峭程度的一種粗略刻畫。

3? ?教學(xué)反思

在教學(xué)過(guò)程中還存在簡(jiǎn)單化處理簡(jiǎn)單概念的問(wèn)題，沒(méi)有充分的時(shí)間讓學(xué)生在課堂上大展身手。在引導(dǎo)過(guò)程中思維過(guò)于局限、不開(kāi)闊、快人快語(yǔ)，要把發(fā)現(xiàn)新知的機(jī)會(huì)拋給學(xué)生[2]。即使他們繞了點(diǎn)彎路，并沒(méi)有在兩次嘗試后給出平均變化率的本質(zhì)含義，只要大方向不錯(cuò)，不要著急去糾正他們，要讓他們通過(guò)自己思考總結(jié)出來(lái)，這樣學(xué)生會(huì)十分有成就感，容易激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。另外，在后續(xù)概念應(yīng)用環(huán)節(jié)，練大于想，應(yīng)該讓學(xué)生多感受一些特殊曲線的平均變化率，不要局限于熟悉的一次二次三次函數(shù)，思維要開(kāi)闊。對(duì)整體的把握還是到位的，也做好了前后呼應(yīng)，并為后續(xù)學(xué)習(xí)埋下伏筆，從學(xué)生的表現(xiàn)來(lái)看，大部分人都認(rèn)識(shí)到了平均變化率的極端情況就是瞬時(shí)變化率，為后續(xù)學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)打下很好的基礎(chǔ)。

【參考文獻(xiàn)】

[1]殷堰工.教材是開(kāi)展高中數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)的重要資源[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2011（5）.

[2]王建平.高中數(shù)學(xué)概念的教學(xué)模式研究[J].小作家選刊：教學(xué)交流，2012（8）.