一個野代數(shù)的二維的不可分解表示

劉雨喆 章超

摘 要：在表示型的研究中，野代數(shù)Γ=k〈x，y〉扮演重要角色，但通常描述其表示是非常困難的。本文主要利用Belitskii算法得到代數(shù)Γ所有二維表示的同構(gòu)類，等價地，得到二階矩陣對的Belitskii標準形，并得到該線性矩陣問題的Belitskii標準形的參數(shù)數(shù)。

關(guān)鍵詞：

箭圖表示;矩陣對;Λ-穩(wěn)定;野表示型

中圖分類號：O154

文獻標識碼： A

代數(shù)表示型問題是代數(shù)表示理論中的基本問題之一。所謂表示型問題，即研究有限維k-代數(shù)的不可分解模的分類問題。域k上的有限維代數(shù)自然地分為兩類：表示有限的代數(shù)和表示無限的代數(shù)。這里，表示有（無）限代數(shù)是指模范疇中具有有（無）限多個不可分解對象。對于表示無限的代數(shù)，Donovan-Freislich猜想它們可以分為更細致的兩類， 即馴（tame）表示型代數(shù)和野（wild）表示型代數(shù)[1]。 粗略地說，一個代數(shù)是馴表示型代數(shù)當且僅當它的不可分解表示可以由一個連續(xù)變量來量化，而野表示型代數(shù)具有由任意多變量量化的不可分解表示。后來Drozd利用矩陣方法證明了上述雙分定理[2]。更細致地說，表示野代數(shù)的定義依賴于代數(shù)Γ=k〈x，y〉的表示范疇。通常來說，完全描述野代數(shù)的表示范疇是不可能的。代數(shù)Γ本身也是表示野代數(shù)。

由Gabriel圖化理論，代數(shù)Γ同構(gòu)于箭圖Q=（Q0，Q1）對應(yīng)的箭圖代數(shù)kQ，其中點集Q0={1}，箭向集Q1={α∶1→1;β∶1→1}。由文獻[3]中表示理論可知，代數(shù)kQ的n維表示即為Y=（kn，A，B），其中A，B為n階方陣。給定代數(shù)kQ的另外n維表示Y′=（kn，A′，B′），MM′當且僅當存在可逆矩陣P，使得P-1AP=A′，P-1BP=B′。

因而計算該代數(shù)表示的同構(gòu)類問題，等價于解線性矩陣問題：給定矩陣對（A，B），是否存在可逆矩陣P，使P-1AP，P-1BP同時為在某一確定意義下的標準形。對任意給定的矩陣對，Belitskii約化算法卻是確定其相似標準形的一個有效算法[4-6]。Jordan標準形理論表明一定存在可逆矩陣P，使得P-1AP為Jordan形矩陣。Belitskii算法的基本思想是在保持J不變的情況下，繼續(xù)約化M=P-1BP時，矩陣集合只能是Λ={S∈GLn（k） SJ=JS}，其中GLn（k）表示數(shù)域上的全體可逆n階矩陣組成的一般線性群。Belitskii標準形的參數(shù)數(shù)，粗略地說，是代數(shù)群G={S∈Λ det（S）≠0}作用在由這些矩陣M構(gòu)成的代數(shù)簇上的一個量化參數(shù)，它的定義依賴于單個矩陣M在共軛作用下的G-軌道的維數(shù)與余維數(shù)[7]。本文中我們總假定k為代數(shù)閉域。本文主要計算代數(shù)Γ=k（x，y）

參考文獻：

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（責任編輯：周曉南）