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    利用同構(gòu)特點(diǎn)巧解數(shù)學(xué)問題

    2017-01-20 21:02李鎧辰
    考試周刊 2017年1期
    關(guān)鍵詞:增函數(shù)同構(gòu)化簡(jiǎn)

    李鎧辰

    在求解函數(shù)與方程的問題中,往往會(huì)出現(xiàn)一些除變量外完全相同的結(jié)構(gòu)式,解題時(shí)若能利用其同構(gòu)的特點(diǎn),尋求與問題的某種內(nèi)在聯(lián)系,深刻分析、正確思維和豐富聯(lián)想,使之簡(jiǎn)單明了,起到化簡(jiǎn)、轉(zhuǎn)化和橋梁作用,從而找到解決問題的思路、方法.這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)、類比、化歸等思想,滲透著猜想、試驗(yàn)、探索、概括等重要方法,是一種富有創(chuàng)造性的解決問題的方法.本文列舉函數(shù)、不等式、數(shù)列中的常見問題解析如下.

    題型一:利用同構(gòu)特點(diǎn)解決方程問題

    在方程中的應(yīng)用:如果方程f(a)=0和f(b)=0呈現(xiàn)同構(gòu)特征,則a,b可視為方程f(x)=0的兩個(gè)根.

    例1.若函數(shù)f(x)=+m在區(qū)間[a,b]上的值域?yàn)閇,](b>a≥1),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是?

    【解析】∵f(x)為增函數(shù)∴f(a)=,f(b)=-?圯+m=+m=

    ∴a,b為方程+m=在[1,+∞)上的兩個(gè)根,即m=-有兩個(gè)不同的根,

    令t=(t≥0)?圯x=t+1,

    所以方程變形為:m=(t+1)-t=(t-2t+1),結(jié)合圖像可得:m∈(0,].

    【點(diǎn)評(píng)】注意到f(x)是增函數(shù),從而得到f(a)=,f(b)=,即+m=+m=,發(fā)現(xiàn)兩個(gè)式子為a,b的同構(gòu)式,進(jìn)而將同構(gòu)式視為一個(gè)方程,而a,b為該方程的兩個(gè)根,m的取值只需要保證方程有兩根即可.

    題型二:利用同構(gòu)特點(diǎn)解決不等式問題

    在不等式中的應(yīng)用:如果不等式的兩側(cè)呈現(xiàn)同構(gòu)特征,則可將相同的結(jié)構(gòu)構(gòu)造為一個(gè)函數(shù),進(jìn)而和函數(shù)的單調(diào)性找到聯(lián)系.可比較大小或解不等式.

    例2.已知函數(shù)φ(x)=,a為正常數(shù),若g(x)=lnx+φ(x),且對(duì)任意x,x∈(0,2],x≠x,都有>-1,求a的取值范圍.

    【解析】g(x)=lnx+,不妨設(shè)x

    g(x)-g(x)>x-x?圯g(x)+x>g(x)+x,

    設(shè)h(x)=g(x)+x=lnx++x,則由h(x)>h(x)恒成立和x

    只需h(x)在(0,2]單調(diào)遞增即可,∴h′(x)≥0恒成立.

    ∵h(yuǎn)′(x)=-+1∴-+1≥0

    即a≤(x+1)+恒成立

    所以只需a≤[(x+1)+]

    令p(x)=(x+1)+

    ∴p′(x)=2(x+1)+=

    ∴p(x)在(0,)單調(diào)遞減,在(,2)單調(diào)遞增,∴p(x)=p()=

    ∴0

    【點(diǎn)評(píng)】觀察到已知不等式為輪換對(duì)稱式,所以考慮定序以便于化簡(jiǎn),令x>x,則不等式變形為g(x)-g(x)>x-x,將相同變量放置一側(cè),可發(fā)現(xiàn)左右具備同構(gòu)特點(diǎn),所以將相同結(jié)構(gòu)視為函數(shù)h(x)=g(x)+x,從而由x>x且h(x)>h(x)可知只需h(x)為增函數(shù)即可.從而只需不等式h′(x)≥0恒成立即可,求出a的范圍.

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