“看見”內(nèi)在聯(lián)系 體悟數(shù)學思想

唐劍嵐 王君畬

【摘?要】“圓的面積”是小學六年級上冊的重點內(nèi)容，其公式的推導一直是教與學的重難點，也是培育學生數(shù)學推理的良好素材。傳統(tǒng)教學主要采用剪紙拼接的方式實現(xiàn)化圓為方，進而推導出圓的面積公式。這是一種“掐頭去尾燒中斷”的教學方式，比較生硬，且難以突顯知識的內(nèi)在聯(lián)系和知識的發(fā)生發(fā)展過程，也難以滲透數(shù)學思想，容易導致學生滿足于“知其然而不知其所以然”。文章試圖將Hawgent皓駿動態(tài)數(shù)學技術(shù)深度融入其中，讓學生“看見”知識的內(nèi)在聯(lián)系，體悟數(shù)學思想的魅力，提高推理素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】圓的面積;Hawgent皓駿動態(tài)數(shù)學;數(shù)學思想;創(chuàng)課

一、創(chuàng)課背景與問題

北師大版數(shù)學六年級上冊“圓的面積”是小學階段重要的學習內(nèi)容，也是培育學生數(shù)學推理素養(yǎng)的良好素材，其中圓面積公式的推導是教與學的重難點。傳統(tǒng)教學主要采用剪紙拼接的方式實現(xiàn)化圓為方，以推導出圓的面積公式。這是一種“掐頭去尾燒中斷”的教學方式，比較生硬，且難以凸顯知識的內(nèi)在聯(lián)系和知識的發(fā)生發(fā)展過程，也難以滲透數(shù)學思想，容易導致學生滿足于“知其然而不知其所以然”。

在學習本節(jié)內(nèi)容之前，學生已經(jīng)歷了應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想、剪切拼接等方式探討平行四邊形、三角形、梯形等由直線圍成的圖形面積。圓是由曲線圍成的圖形，從圖形的外在特點來看，與其他圖形的聯(lián)系不大，故其面積公式的推導既是重點又是難點。如何在突出重點和破解難點的同時，提升學生的數(shù)學推理素養(yǎng)？本文將Hawgent皓駿動態(tài)數(shù)學技術(shù)深度融入其中，讓學生“看見”知識的內(nèi)在聯(lián)系，體悟數(shù)學思想的魅力，提高數(shù)學推理素養(yǎng)，提升教學有效性，為優(yōu)化圓面積的教學提供一些參考。

二、創(chuàng)課設(shè)計與實錄

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》指出，數(shù)學知識的教學應(yīng)注重學生對所學知識的理解，體會數(shù)學知識之間的關(guān)聯(lián)。數(shù)學思想蘊涵在數(shù)學知識形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，學生在積極參與教學活動的過程中，通過獨立思考、合作交流，逐步感悟數(shù)學思想，積累活動經(jīng)驗，提高數(shù)學素養(yǎng)[1]?；谡n程標準理念和現(xiàn)實訴求，本次創(chuàng)課主要包括三個環(huán)節(jié)。環(huán)節(jié)一，設(shè)計“化圓形為長方形”活動，引導學生探尋圓與長方形等圖形的內(nèi)在聯(lián)系，突顯轉(zhuǎn)化思想與方法的價值;引導學生基于平板電腦進行自主探究和合作交流，通過動手操作Hawgent皓駿動態(tài)數(shù)學積件，體驗化圓為方的三部曲——先分割（均分成“小三角形”）后拼接再求和，加強“方”“圓”知識的內(nèi)在聯(lián)系。環(huán)節(jié)二，設(shè)計“化圓形為三角形”活動，再次引導學生自主學習和合作學習，應(yīng)用Hawgent皓駿動態(tài)數(shù)學積件實現(xiàn)轉(zhuǎn)化的三部曲——先分割（無數(shù)圓周長的累積）后拼接再求和。環(huán)節(jié)三，設(shè)計“化圓形為其他圖形”的活動，引導學生體悟極限和轉(zhuǎn)化思想，類比前兩種推導方法，將圓形近似轉(zhuǎn)化成三角形和梯形，進一步體悟轉(zhuǎn)化思想的魅力，感受合情推理的價值[2]。根據(jù)上述創(chuàng)課設(shè)計思路，研究者進行了以下創(chuàng)課。

師：同學們，今天我們一起來探索圓的面積公式所隱藏的秘密。我們知道圓是由曲線圍成的圖形，從表面上看，與直線圍成的圖形如長方形、三角形等關(guān)系不大，但其實呢，它們之間隱藏著很深的秘密。到底是什么秘密呢？

（學生感到很疑惑。）

師：我們在推導平行四邊形、三角形、梯形面積公式時，采用了相同的方法。這種方法叫什么？

生1：剪拼或割補方法，把平行四邊形、三角形、梯形轉(zhuǎn)化成長方形。

師：我們通過剪拼方法將平行四邊形、三角形、梯形轉(zhuǎn)化為長方形進而求出它們的面積，這是數(shù)學轉(zhuǎn)化思想的魅力。那么圓是否也能轉(zhuǎn)化成我們熟悉的圖形，進而推導出它的面積公式呢？

生2：可是圓與長方形、三角形看起來有很大的不同，我們該怎么轉(zhuǎn)化呢？

師：其實，我們在推導圓周長公式時，也用到轉(zhuǎn)化思想，具體是怎么做的呢？

生3：我們運用了滾動法和繞繩法。

師：我們用滾動法、繞繩法實現(xiàn)化曲為直的轉(zhuǎn)化思想，那現(xiàn)在是否可以類比化曲為直，實現(xiàn)化圓為方呢？

師：再一起來回憶一下，在推導平行四邊形面積時，我們是怎樣轉(zhuǎn)化的？

生4：沿平行四邊形的高剪開得到一個三角形，再拼接到另外一邊。（生4動態(tài)演示Hawgent皓駿動態(tài)）

師：可是圓里面沒有高，我們該沿什么剪開？

生5：半徑或直徑吧。

師：很好，大家有想法了！接下來，我們開展小組合作學習，探索圓的面積公式。在合作學習中，我們要注意三點。（1）先自主探究，再相互交流，最后展示分享;（2）操作平板電腦里面的Hawgent皓駿動態(tài)數(shù)學積件，探究化圓為方的秘密，并思考這樣轉(zhuǎn)化的原因;（3）提出同全班分享的問題或困惑。

小圓（代表圓圓組匯報）：我們發(fā)現(xiàn)將圓平均分時，可以很好地拼成我們學過的圖形。（小圓動手操作Hawgent皓駿動態(tài)數(shù)學積件，如圖1。）首先，輸入數(shù)字8將圓平均分成8等份;接著，將8份圓展開，再把它們拼接起來，得到類似于平行四邊形的圖形;然后，繼續(xù)將圓平均分成16、32、128份等，重復前面的操作。如此細分下去，隨著分成的份數(shù)越多，我們發(fā)現(xiàn)拼成的圖形越來越像長方形。

生1：真神奇，為什么會出現(xiàn)這樣神奇的效果呢？

師：我們不光要看到圓變?yōu)殚L方形的過程，還要看到變化的結(jié)果，進一步發(fā)現(xiàn)它們的面積公式的秘密。（教師操作Hawgent皓駿動態(tài)數(shù)學積件，展示將圓無限細分的動態(tài)過程。）當圓變?yōu)殚L方形時，長方形的長和寬分別是多少？

小圓：這里的長是圓周長的一半，即πr，寬是圓半徑r。圓的面積等于圓周長的一半乘以圓半徑，故圓的面積公式為S=πr2。

師：你們現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)圓與長方形的神秘關(guān)系了吧?。ń處熢俅窝菔緦A無限細分的動態(tài)過程，讓學生再次經(jīng)歷化圓為方的過程，“看見”長方形的邊長和圓的周長與半徑的內(nèi)在聯(lián)系。）在這個推導過程中，我們應(yīng)用了什么方法，感受到了什么思想的魅力？

生（齊）：我們感受到了割補、轉(zhuǎn)化思想的魅力，Hawgent皓駿動態(tài)數(shù)學積件太厲害了。

師：我們通過無限分割和有意（強調(diào)按照我們想要的圖形）拼接，將圓轉(zhuǎn)化為長方形，再次體驗了轉(zhuǎn)化的魅力，這在大學里叫做無限分割、以曲代直、拼接求和的極限思想和微積分思想。除了這樣的方法，我們可以將圓轉(zhuǎn)化為三角形等圖形來推導圓的面積嗎？請小組繼續(xù)合作探究，借助Hawgent皓駿動態(tài)數(shù)學積件，探索圓與三角形的神秘關(guān)系。

小方（代表方方組匯報）：通過操作Hawgent皓駿動態(tài)數(shù)學積件看到，整個圓面由無數(shù)個半徑大小有序變化從0到r的圓拼接繞成，沿著這些圓的半徑剪開，展開并有序拼接這些圓，就轉(zhuǎn)化成了等腰三角形，而求圓的面積就轉(zhuǎn)化成求等腰三角形的面積。我們就神奇地發(fā)現(xiàn)圓與三角形的關(guān)系了。（小方動手操作Hawgent皓駿動態(tài)數(shù)學積件，如圖2。）

生2：的確很神奇??！那等腰三角形的面積是多少？底和高分別是多少？

師：生2提問得很好。這個等腰三角形的底與圓的什么有關(guān)系，高又是多少呢？

小方：三角形的底就是圓的周長，即2πr，高是圓的半徑r，故圓的面積公式為S=πr2。

師：小方解釋得很好。（教師再次演示無限分割、以曲代直、拼接求和的動態(tài)過程，讓學生“看見”三角形與圓的內(nèi)在聯(lián)系。）在這個推導過程中，我們應(yīng)用了什么方法，感受到了什么思想的魅力？

小方：應(yīng)用了推導圓周長的化曲為直的轉(zhuǎn)化方法——無限分割和有意拼接，我們再次感受到了無限分割、以曲代直、拼接求和等極限思想的魅力。

師：小方總結(jié)得很好！從這兩個推導的過程中，我們深刻地體悟到了無限分割、以曲代直、拼接求和等思想方法的魅力。除了上面兩種轉(zhuǎn)化方法，我們還可以將圓轉(zhuǎn)化為更多的圖形進而推導圓的面積嗎？我們再次小組探究，類比前兩種轉(zhuǎn)化方法，將圓平均分成16份或17份，看看還能發(fā)現(xiàn)什么秘密？

師：這個想法很好。你們是如何想到的？

小靜：類比前兩種推導方法想到的，但這其實是一種近似求解的方法。

師：有道理，近似求解也是一種方法。這種方法也能夠推導出圓的面積公式，主要原因還是極限思想的作用。本節(jié)課我們獲得了三種推導圓面積公式的方法，感受到了轉(zhuǎn)化思想的神奇魅力。其實借助今天的轉(zhuǎn)化思想，推導圓的面積公式還有不需要拼接的方法，這就留給同學們課后進行思考吧！

三、創(chuàng)課評析與反思

技術(shù)深度融入教學，不只是技術(shù)本身有優(yōu)勢，更關(guān)鍵的是將技術(shù)與教學對象（誰來教學）、教學內(nèi)容（教學什么）、教學方法（怎樣教學）和教學評價（教學得如何）“五位一體”深度融合，才能形成生生不息的教學生產(chǎn)力[3]。針對“圓的面積公式為什么是這樣，與長方形、三角形等圖形的面積公式究竟有什么關(guān)系”的問題，筆者調(diào)研后發(fā)現(xiàn)，九成以上的教師和學生只知道圓的面積公式是S=πr2，但不知道為什么是這樣子，處于一種“知其然而不知其所以然”的狀態(tài)，更談不上“知何以知其所以然”。這也是筆者做這個研究的初心。本文試圖將信息技術(shù)深度融入圓的面積公式教學，努力解決“圓的面積公式為什么是這樣”的問題。本次創(chuàng)課應(yīng)該是信息技術(shù)深度融入數(shù)學教學的典范，具有兩個突出的亮點。

1.“信息技術(shù)+活動單”，發(fā)揮“雙主”作用

一般而言，活動單是教師設(shè)計讓學生經(jīng)歷學習活動的清單。這種活動往往不好發(fā)揮教師的主導作用。因此，這里設(shè)計的活動單（三個具體活動：化圓為長方形、化圓為三角形、化圓為其他圖形），不僅能充分發(fā)揮學生的主體作用，還能充分發(fā)揮教師的主導作用。這三個具體活動，一方面讓學生有效開展合作探究，引導學生基于Hawgent皓駿動態(tài)數(shù)學積件，優(yōu)化學習方式;另一方面，便于教師提問、點撥與啟發(fā)，推進學生有效經(jīng)歷學習活動的過程，體悟活動結(jié)果。譬如，當學生能夠說出三角形與圓的關(guān)系時，教師再次演示無限分割、以曲代直、拼接求和的動態(tài)過程，讓學生“看見”三角形與圓的內(nèi)在聯(lián)系，并再次追問“這個推導過程，我們應(yīng)用了什么方法，感受到了什么思想的魅力？”在信息技術(shù)的助力下，教師的點撥活動可能更有效引導學生有序經(jīng)歷圓面積的推導過程，促進學生有效、深刻地體悟?qū)崿F(xiàn)數(shù)學推理背后的轉(zhuǎn)化思想及其原理。

2.“信息技術(shù)+提問鏈”，“看見”內(nèi)在聯(lián)系，體悟數(shù)學思想

從理論上來說，絕大多數(shù)數(shù)學知識是具有內(nèi)在聯(lián)系的，只是有些是顯性聯(lián)系，有些是隱性聯(lián)系。其中，圓與長方形、三角形等圖形的內(nèi)在聯(lián)系是隱性的，要讓學生“看見”它們的內(nèi)在聯(lián)系，體悟數(shù)學思想，在傳統(tǒng)課堂上是難以做到的。這里設(shè)計的“信息技術(shù)+提問鏈”，可謂“雙鏡觀察”，可助力實現(xiàn)授人以“魚”的同時授人以“漁與欲”[3]。信息技術(shù)扮演“放大鏡”的角色，可以幫助學生看清事物的內(nèi)在聯(lián)系，特別有助于學生自我反思習慣的養(yǎng)成。譬如在本文中，借助Hawgent皓駿動態(tài)數(shù)學積件，通過聚焦“化圓為長方形”和“化圓為三角形”的過程，視覺化圓與長方形、圓與三角形的聯(lián)系。而提問鏈扮演“望遠鏡”的角色，可以幫助學生站得高、看得遠、走得穩(wěn)，特別有助于數(shù)學思維品質(zhì)的提升。譬如，教師通過提問鏈“那么圓是否也能轉(zhuǎn)化成我們熟悉的圖形，進而推導出它的面積公式呢？”“在這個推導過程中，我們應(yīng)用了什么方法，感受到了什么思想的魅力？”“這個等腰三角形的底與圓的什么有關(guān)系，高又是多少呢？”等深度追問，引導學生不僅僅看到了圓與其他圖形的顯性聯(lián)系，而且深度體驗到了化圓為方、化曲為直、近似求解的轉(zhuǎn)化思想和極限思想的魅力，提升了學生的數(shù)學思維品質(zhì)。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2011.

[2]毛亞峰.借助操作，深化“轉(zhuǎn)化”思想：“圓的面積”教學實踐與思考[J].小學教學參考，2019（5）：19-21.

[3]唐劍嵐.“魚漁欲”三位一體優(yōu)化數(shù)學教學的理念與策略：以“三角形的內(nèi)角”課例片段分析為例[J].基礎(chǔ)教育研究，2015（9）：5-10.