淺談新課標(biāo)下空間想象力的培養(yǎng)

許武榮

數(shù)學(xué)空間想象力是數(shù)學(xué)能力的三大基本能力之一，也是新課程目標(biāo)和考試大綱所要求培養(yǎng)的能力之一。空間想象力是對(duì)空間形式的觀察、分析、抽象的能力，主要表現(xiàn)為識(shí)圖、畫(huà)圖和對(duì)圖像的想象能力。它主要包括四個(gè)方面的要求：1、能根據(jù)條件作出正確的圖形，根據(jù)圖形想象出直觀形象;2、能正確地分析出圖形中基本元素及其相互關(guān)系;3、能對(duì)圖形進(jìn)行分解、組合;4、會(huì)運(yùn)用圖形與圖表等手段形象地解釋揭示問(wèn)題的本質(zhì)。

空間想象力雖然從小學(xué)開(kāi)始培養(yǎng)，再經(jīng)歷初中的發(fā)展，但對(duì)它的培養(yǎng)歷來(lái)是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一大難題。在培養(yǎng)高中生空間想象力的過(guò)程中常會(huì)遇到生活體驗(yàn)有限、空間識(shí)別力低、空間形象感知力差的學(xué)生。那么，如何有效地培養(yǎng)高中學(xué)生的空間想象能力呢？下面從四方面進(jìn)行探討：

一、使學(xué)生學(xué)好有關(guān)空間形式的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)

培養(yǎng)和提高空間想象力的根本在于學(xué)好有關(guān)空間形式的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)。中學(xué)數(shù)學(xué)中有關(guān)空間形式的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，不僅包括幾何方面的知識(shí)，還有數(shù)形結(jié)合方面的內(nèi)容，如數(shù)軸、坐標(biāo)法、函數(shù)圖像、方程與曲線，幾何量的度量與計(jì)算等內(nèi)容，都可以通過(guò)數(shù)量分析方法，對(duì)幾何圖形加深理解，形成圖像具有具體化，形象化的特點(diǎn)，所以解決某些問(wèn)題時(shí)恰當(dāng)?shù)匕褦?shù)和形結(jié)合起來(lái)，可以化難為易、化繁為簡(jiǎn)，從而有助于培養(yǎng)學(xué)生空間想象力。

二、培養(yǎng)空間觀念

空間觀念是培養(yǎng)空間想象能力的基礎(chǔ)，是指物體的大小、形狀及相互位置關(guān)系在腦中留下的表象?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》描述了空間觀念的主要表現(xiàn)，其中包括“能夠由實(shí)物的形狀想象出幾何圖形，由幾何圖形想象出實(shí)物的形狀，進(jìn)行幾何體與其三視圖、展開(kāi)圖之間的轉(zhuǎn)化”。

空間觀念是創(chuàng)新精神所需的基本要素，沒(méi)有觀念，幾乎談不上任何發(fā)明創(chuàng)造，因?yàn)樵S許多多的發(fā)明創(chuàng)造都是以實(shí)物的形態(tài)呈現(xiàn)的，作為設(shè)計(jì)者要先從自己的想象出發(fā)畫(huà)出設(shè)計(jì)圖，然后根據(jù)設(shè)計(jì)圖做出實(shí)物模型，再根據(jù)模型修改設(shè)計(jì)，直至最終完善成型。

培養(yǎng)空間觀念可以從以下三方面著手：

1、通過(guò)觀察、測(cè)量實(shí)物和模型，培養(yǎng)學(xué)生的空間感

空間觀念是從現(xiàn)實(shí)生活中積累的豐富幾何知識(shí)體驗(yàn)出發(fā)，從經(jīng)驗(yàn)活動(dòng)的過(guò)程中逐步建立起來(lái)的，這是學(xué)生理解和發(fā)展空間觀念的寶貴資源。培養(yǎng)空間觀念要以生活經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，重視現(xiàn)實(shí)世界中有關(guān)空間與圖形的問(wèn)題?？臻g觀念可以通過(guò)實(shí)物和模型，使之直觀形象化。實(shí)物包括我們?cè)谏钪心芤?jiàn)到的所有物體，如大樓、桌子等;模型是指為了用來(lái)學(xué)習(xí)、教學(xué)或?qū)嶒?yàn)而照實(shí)物的形狀和結(jié)構(gòu)按比例制成的物體，如圓錐體、正四面體等。

人們認(rèn)識(shí)事物的本質(zhì)特點(diǎn)及其規(guī)律，總是從具體到抽象，從感性到理性的。我們應(yīng)當(dāng)指導(dǎo)學(xué)生觀察、剖析、測(cè)量、制作實(shí)物和模型，因?yàn)閷?shí)物和模型直觀性很強(qiáng)，容易為學(xué)生認(rèn)識(shí)和理解，也有助于加深學(xué)生對(duì)空間幾何體特征的認(rèn)識(shí)，逐步形成空間觀念。所以利用實(shí)物和模型進(jìn)行學(xué)習(xí)或教學(xué)，是培養(yǎng)學(xué)生空間感不可缺少的途徑。離開(kāi)實(shí)物和模型，空間觀念既難于建立，更難于向高層次發(fā)展。

現(xiàn)實(shí)生活中有大量的空間與圖形的問(wèn)題，教學(xué)中應(yīng)為學(xué)生選擇和提供他們所熟悉的情境，使學(xué)生在現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的感知與操作過(guò)程中體會(huì)，為形成空間觀念打下基礎(chǔ)。教室是學(xué)生接觸最多的空間立體，我們天天生活在當(dāng)中，我們就可以利用它來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的空間感。例如：我們?cè)诮倘晥D前，利用黑板、地板、右手邊的墻構(gòu)成一個(gè)立體空間，對(duì)應(yīng)于課本上的三面投影體系。然后用粉筆盒當(dāng)作點(diǎn)、直尺當(dāng)作線、三角板當(dāng)作面，讓它們分別向黑板、地板、右側(cè)墻進(jìn)行投影，這樣很難理解的點(diǎn)、線、面投影過(guò)程就變得簡(jiǎn)單多了。只要教室這個(gè)空間立體在腦子里一旦形成，學(xué)生有了一定的空間感，再學(xué)習(xí)三視圖就簡(jiǎn)單多了。

2、通過(guò)看直觀圖，增強(qiáng)學(xué)生的空間感

直觀圖是指一個(gè)物體從直觀看上去的圖形。通過(guò)把空間圖形畫(huà)在平面內(nèi)，使得既富有立體感，又能表達(dá)出圖形各主要部分的位置關(guān)系和度量關(guān)系，因而看直觀圖成為增強(qiáng)空間感的關(guān)鍵，是由感性認(rèn)識(shí)向理性認(rèn)識(shí)轉(zhuǎn)化的橋梁。

無(wú)論是展示直觀圖給學(xué)生看，還是引導(dǎo)學(xué)生自己看，都應(yīng)從簡(jiǎn)單的平面圖形的直觀圖開(kāi)始，再到復(fù)雜一點(diǎn)的，接著是簡(jiǎn)單空間幾何體的直觀圖，最后是簡(jiǎn)單空間幾何體的組合的直觀圖。同時(shí)，在看圖時(shí)，提醒學(xué)生由圖想面，由面想體，從而形成“一圖為一體”的觀念。這樣學(xué)生在思維中儲(chǔ)存的立體信息越多，使用時(shí)提取的立體形象就越多，空間想象力就越強(qiáng)。

隨著信息技術(shù)的迅速發(fā)展，計(jì)算機(jī)為立體幾何的教學(xué)提供了有力的工具。在現(xiàn)實(shí)生活中沒(méi)法提供觀察的機(jī)會(huì)時(shí)，多媒體的運(yùn)用就能發(fā)揮其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，突破時(shí)間和空間的限制，生動(dòng)形象地再現(xiàn)事物發(fā)生和發(fā)展的過(guò)程。多媒體軟件的三維動(dòng)畫(huà)可以清晰、直觀地表達(dá)出每個(gè)形體的形成過(guò)程及其形狀和投影的關(guān)系，例如GeoGebra 動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件，利用這些軟件我們可以繪制生動(dòng)、形象的立體圖形，使學(xué)生通過(guò)對(duì)直觀圖透徹的觀察，增強(qiáng)空間感。

3、通過(guò)作圖，提高學(xué)生將實(shí)物幾何化的能力

空間觀念是形象思維與邏輯思維交替作用的思維過(guò)程，表達(dá)這種思維的最好語(yǔ)言，是幾何語(yǔ)言（即幾何圖形），它能最簡(jiǎn)捷最直觀地表達(dá)出空間形式。直觀圖是發(fā)展空間想像力的關(guān)鍵，是由感性認(rèn)識(shí)向理性認(rèn)識(shí)轉(zhuǎn)化的橋梁。作實(shí)物的直觀圖，實(shí)質(zhì)是空間圖形的平面化表示，而三視圖和展開(kāi)圖是對(duì)空間幾何體的另外兩種表示方法。

實(shí)現(xiàn)由實(shí)物和模型到圖形的過(guò)渡，要使學(xué)生擺脫對(duì)直觀圖形的依賴(lài)，必須進(jìn)行作圖訓(xùn)練。對(duì)一般的高中生來(lái)講，把空間幾何體體現(xiàn)在平面上是比較困難的。教師應(yīng)當(dāng)按照作圖的法則，作出示范，使學(xué)生掌握作圖的方法和要領(lǐng)。同時(shí)，作圖訓(xùn)練應(yīng)由易到難，循序漸進(jìn)，先訓(xùn)練作平面圖形的直觀圖，再作空間幾何體的的直觀圖、三視圖和展開(kāi)圖。畫(huà)好后引導(dǎo)學(xué)生將圖形與實(shí)物模型作對(duì)比，再根據(jù)直觀圖想象其實(shí)際形狀，逐步擺脫模型。在訓(xùn)練作圖的過(guò)程中，要求學(xué)生會(huì)畫(huà)，而且要畫(huà)出很強(qiáng)的立體感。所以，加強(qiáng)作圖的訓(xùn)練，將實(shí)物幾何化是培養(yǎng)空間觀念的最好途徑。

例如，讓學(xué)生從前方、左邊、上方三個(gè)角度觀察粉筆盒，讓學(xué)生作出它的直觀圖、三視圖和展開(kāi)圖來(lái)。復(fù)雜一點(diǎn)的，可以指導(dǎo)學(xué)生觀察一個(gè)獎(jiǎng)杯，然后作出它的直觀圖和三視圖。

三、培養(yǎng)建構(gòu)表象的能力

建構(gòu)表象的能力是指在文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、三視圖和展開(kāi)圖刺激指導(dǎo)下構(gòu)想空間幾何體的能力。文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言是數(shù)學(xué)的三種基本語(yǔ)言，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生運(yùn)用三種語(yǔ)言進(jìn)行交流是高中新課程數(shù)學(xué)必修系列課程的基本要求。三種語(yǔ)言能否靈活互譯是決定這種交流成敗的關(guān)鍵因素。培養(yǎng)學(xué)生看到任何一種語(yǔ)言，都能運(yùn)用另外兩種語(yǔ)言進(jìn)行準(zhǔn)確的描述與刻畫(huà)，即三種語(yǔ)言靈活互譯的能力。這種互譯能力正是學(xué)生與客觀的空間世界進(jìn)行自然交流的基礎(chǔ)。

學(xué)生通過(guò)觀察、測(cè)量、折紙實(shí)驗(yàn)以及制作實(shí)物和模型，通過(guò)看空間幾何體的直觀圖，對(duì)空間幾何體已經(jīng)有了一定量的積累。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在課堂內(nèi)外，通過(guò)文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、三視圖和展開(kāi)圖的刺激，在大腦中分析圖形的基本元素之間的位置關(guān)系和度量關(guān)系，在大腦中構(gòu)想空間幾何體。

例如，（離開(kāi)模型、圖形）試想象正方體ABCD-A1B1C1D1中：

①在各棱所在的直線中，與直線AB平行的直線有哪些？

②在各棱所在的直線中，與直線AB相交的直線有哪些？

③在各棱所在的直線中，與直線AB異面的直線有哪些？

通過(guò)空間幾何體量的輸入，再進(jìn)行一定的訓(xùn)練，使空間幾何體能在頭腦中正確地反映出來(lái)，可以培養(yǎng)學(xué)生建構(gòu)表象的能力。另外，大膽想象是培養(yǎng)構(gòu)建空間表象的有效途徑。

四、培養(yǎng)表象操作能力

表象操作能力是指對(duì)大腦中建立的表象進(jìn)行加工或操作以便建構(gòu)新表象的能力。將平面圖形折疊成空間幾何體、或?qū)⒖臻g幾何體的表面展開(kāi)，或?qū)⒖臻g幾何體進(jìn)行割補(bǔ)，或在復(fù)雜圖形中尋找基本元素的關(guān)系等等，讓學(xué)生綜合所學(xué)圖形在腦海中形成的既定表象，形成新的表象，是培養(yǎng)表象操作能力的好方法。

圖例1考察學(xué)生對(duì)投影規(guī)律“長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等”掌握的熟練程度，ABCD四個(gè)答案中，ACD很明顯不符合“高平齊”，因?yàn)閮?nèi)部投影的下方變短了，只有B符合故其正確。圖例2考察學(xué)生空間發(fā)散思維能力，學(xué)生能否根據(jù)立體圖找到對(duì)應(yīng)的線面投影位置，從而完成補(bǔ)線的任務(wù)，正確判斷出ABC三面的空間位置。此類(lèi)圖形都能較好的培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力。

圖例1：選擇正確的左視圖（ ?）.

圖例2：參照立體示意圖，補(bǔ)畫(huà)三視圖中漏畫(huà)的圖線，并填寫(xiě)方位。

總之，空間想象力的培養(yǎng)不是一朝一夕的事，它是一個(gè)漸進(jìn)的過(guò)程，貫穿整個(gè)高中的學(xué)習(xí)與教學(xué)。幾何知識(shí)來(lái)源于社會(huì)實(shí)踐，應(yīng)還原于社會(huì)生活?？臻g想象必須依賴(lài)于學(xué)生從生活中獲取大量感性材料之后，再進(jìn)行的一項(xiàng)高級(jí)的思維活動(dòng)。因此，在教學(xué)中，要重視實(shí)踐活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)常運(yùn)用圖形的特征去想象，解決生活中的各種實(shí)際問(wèn)題，鞏固學(xué)生的空間觀念。同時(shí)，基礎(chǔ)知識(shí)、空間觀念、建構(gòu)表象的能力和表象操作能力這四方面的培養(yǎng)是缺一不可的，應(yīng)同時(shí)進(jìn)行，不可割裂。只有培養(yǎng)好這四方面才能更好地培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力。