淺談數(shù)形結(jié)合思想在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

張正秀

摘 要：文首先闡述了數(shù)形結(jié)合的三個(gè)原則，然后再結(jié)合一些具體例題對(duì)初中數(shù)學(xué)，高中數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行粗略的探討，以及在信息競(jìng)賽中的應(yīng)用。在教學(xué)中，老師借助多媒體技術(shù)輔助教學(xué)，能使“數(shù)”由“形”來描繪，“形”由“數(shù)”來表達(dá)，彌補(bǔ)傳統(tǒng)教學(xué)方式直觀性和立體感的不足，有利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和掌握，培養(yǎng)學(xué)生解決問題能力?！皵?shù)”和“形”二者珠聯(lián)璧合，借助圖形可將許多抽象的數(shù)量關(guān)系形象化，簡(jiǎn)單化，直觀化，從而使學(xué)生可以很好的掌握和理解數(shù)學(xué)知識(shí)，掌握數(shù)形結(jié)合的思想，可以起到事半功倍的效果。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；思想方法 ；抽象；直觀；事半功倍

第一章 前言

數(shù)與形是世界上萬(wàn)事萬(wàn)物共同存在的形式。 數(shù)與形這兩個(gè)基本概念是數(shù)學(xué)的兩塊基石。 二者珠聯(lián)璧合，借助圖形可將許多抽象的數(shù)量關(guān)系形象化，簡(jiǎn)單化，直觀化，將圖形轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題可獲得更加精確的結(jié)論。在教學(xué)中，老師借助多媒體技術(shù)輔助教學(xué)，能使“數(shù)”由“形”來描繪，“形”由“數(shù)”來表達(dá)，彌補(bǔ)傳統(tǒng)教學(xué)方式直觀性和立體感的不足，有利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和掌握，培養(yǎng)學(xué)生解決問題能力，起到事半功倍的作用。接著再循序漸進(jìn)，舉例說明數(shù)形結(jié)合在實(shí)際問題和信息競(jìng)賽中的應(yīng)用，把該數(shù)學(xué)思想應(yīng)用到實(shí)際生活中，發(fā)揮數(shù)學(xué)的巨大價(jià)值。

第二章數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

2.1數(shù)形結(jié)合的原則

2.1.1等價(jià)原則

等價(jià)原則是指“數(shù)”的代數(shù)性質(zhì)與“形”的幾何的轉(zhuǎn)化應(yīng)是對(duì)應(yīng)的，即對(duì)于所討論的問題形與數(shù)所反映的對(duì)應(yīng)關(guān)系應(yīng)具有一致性。

2.1.2雙向性原則

雙向性原則是指幾何形象直觀的分析，進(jìn)行代數(shù)計(jì)算的探索。

2.1.3簡(jiǎn)單性原則

簡(jiǎn)單性原則是指數(shù)形轉(zhuǎn)換時(shí)盡可能使構(gòu)圖簡(jiǎn)單合理，既使幾何形象優(yōu)美又使代數(shù)計(jì)算簡(jiǎn)單、明了。

2.2數(shù)形結(jié)合在小學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

2.2.1“以形助數(shù)”在直觀中理解數(shù)。

我們應(yīng)該意識(shí)到，算理就是計(jì)算方法的道理，學(xué)生不明白道理又怎么能更好的掌握計(jì)算方法呢？在教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)以清晰的理論指導(dǎo)學(xué)生理解算理，在理解算理的基礎(chǔ)上掌握計(jì)算方法，正所謂“知其然、知其所以然?！备鶕?jù)教學(xué)內(nèi)容的不同，引導(dǎo)學(xué)生理解算理的策略也是不同的，我認(rèn)為數(shù)形結(jié)合是幫助學(xué)生理解算理的一種很好的方式。

2.2.2“以數(shù)想形”幫助理解各種公式。

在教學(xué)有關(guān)的數(shù)學(xué)公式時(shí)，如果只是讓學(xué)生死記公式，這樣只會(huì)將知識(shí)學(xué)死。如果學(xué)生稍微碰到有變化的圖形問題，就不能靈活解決。所以教師在教學(xué)長(zhǎng)方形周長(zhǎng)公式的時(shí)候，就讓學(xué)生借助圖形充分理解公式的含義，求長(zhǎng)方形周長(zhǎng)大體有三種方法：①長(zhǎng)+寬+長(zhǎng)+寬，②長(zhǎng)×2+寬×2，③（長(zhǎng)+寬）×2，通過對(duì)學(xué)生的前測(cè)，教師會(huì)發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)于前兩種方法應(yīng)用的比較多，第三種應(yīng)用的比較少。

2.2.3“數(shù)形結(jié)合”借助表象發(fā)展空間觀念。

兒童的認(rèn)知規(guī)律，一般來說是從直接感知到表象，再到形成概念的過程。表象介于感知和形成概念之間，抓住這中間環(huán)節(jié)，促使學(xué)生多角度靈活思考，大膽想象，對(duì)知識(shí)的理解逐步深化，發(fā)展學(xué)生的空間觀念，具有十分重要的意義。

2.3數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

2.3.1代數(shù)問題用幾何方法解決.

數(shù)與形在一定條件下是可以互相轉(zhuǎn)化的，借助幾何圖形可以使代數(shù)問題更簡(jiǎn)單，直觀化。

2.3.2數(shù)形結(jié)合可使復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化。

巧妙應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問題可起到事半功倍的效果。

2.4高中數(shù)學(xué)“數(shù)形結(jié)合”的應(yīng)用探究

2.4.1以形助數(shù)，借助于幾何直觀性揭示數(shù)與式的內(nèi)在規(guī)律

結(jié)合函數(shù)的圖象或方程的曲線，利用數(shù)式的幾何意義或已知圖形性質(zhì)，借助于幾何直觀性常常能幫助理解概念，揭示數(shù)式的內(nèi)在關(guān)系，有利于探求解題途徑，優(yōu)化解題過程，許多問題“以形助數(shù)”不僅能避免繁雜冗長(zhǎng)的計(jì)算與推理，而且對(duì)問題會(huì)有更深刻、更全面的認(rèn)識(shí)。

2.4.2以數(shù)輔形，用代數(shù)方法研究幾何問題

在某些幾何問題中，常常利用數(shù)量關(guān)系來揭示其幾何性質(zhì)，或借助數(shù)式的推演，使之量化，從而準(zhǔn)確揭示“形”的性質(zhì)，或試著從“數(shù)”的運(yùn)算角度輔助，并運(yùn)用有關(guān)代數(shù)公式與結(jié)論，獲得直接應(yīng)用幾何定理難以推證的結(jié)果。

2.4.3數(shù)形互助，在解題中串聯(lián)、結(jié)合使用

許多數(shù)學(xué)問題既要借助于“形”的直觀，同時(shí)又離不開“數(shù)”的刻劃，數(shù)形互助，在解題中串聯(lián)、結(jié)合使用是數(shù)形結(jié)合思想的主要表現(xiàn)形式，它充分體現(xiàn)了“數(shù)”與“形”之間相互聯(lián)系，互為轉(zhuǎn)化，相得益彰的那種辨證統(tǒng)一關(guān)系。

2.5借助多媒體技術(shù)有效運(yùn)用數(shù)形結(jié)合

2.5.1借助圖形演示，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感

教學(xué)中，教師如果采用多媒體技術(shù)進(jìn)行圖形演示，建立抽象的數(shù)學(xué)概念與形象的圖形之間的聯(lián)系，把數(shù)和形結(jié)合起來，可以豐富學(xué)習(xí)活動(dòng)的感性材料，有利于學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)。

2.5.2變靜態(tài)為動(dòng)態(tài)，幫助學(xué)生理解掌握

教材內(nèi)容是靜態(tài)呈現(xiàn)的，這對(duì)學(xué)生理解掌握知識(shí)帶來困難。因此，教師可以把圖片情境由靜態(tài)變?yōu)閯?dòng)態(tài)，把知識(shí)形成的過程淋漓盡致地顯現(xiàn)在學(xué)生的眼前。這樣，不僅能有效地激發(fā)學(xué)生探究新知識(shí)的興趣，還能使學(xué)生快速直觀地了解知識(shí)形成的動(dòng)態(tài)過程，從而幫助學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和掌握。

2.5.3積累感性材料，引導(dǎo)學(xué)生合理猜想

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，要實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，提高學(xué)習(xí)效率，可以利用多媒體技術(shù)提供感性材料，通過形象思維這個(gè)中間環(huán)節(jié)，提高學(xué)生抽象思維的能力，化難為易、化繁為簡(jiǎn)，加深學(xué)生對(duì)某些抽象關(guān)系的理解。

第三章數(shù)形結(jié)合在信息學(xué)競(jìng)賽中的應(yīng)用

例Raney引理的證明。

設(shè)整個(gè)序列A={Ai，i=1，2，......n}，且部分和Sk=A1+...+Ak，序列中所有數(shù)字的和Sn=1.

證明：在A的N個(gè)循環(huán)表示中，有且僅有一個(gè)序列B，滿足B的任意部分和Si均大于零。

目標(biāo)圖形化：周期性的推廣A序列，得到一個(gè)無(wú)窮序列，便于觀察其循環(huán)表示，得到：〈A1，A2，...，An，A1，A2，...，An，...〉

同時(shí)計(jì)算這個(gè)序列的部分和Si，因?yàn)檫@個(gè)序列是周期性的，因此對(duì)于所有的k>0，均有Sk+n=Sk+1。如果做出這個(gè)函數(shù)的圖形，就可以說明函數(shù)有一個(gè)“平均斜率”為1/N：每沿橫軸正方向走N個(gè)單位，函數(shù)值就增加1。于是可以做出圖像。證明就出來了。

第四章結(jié)束語(yǔ)

數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動(dòng)化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡(jiǎn)捷。本文首先闡述了數(shù)形結(jié)合的三個(gè)原則，大致了解了數(shù)形結(jié)合的原理。接著分別對(duì)數(shù)形結(jié)合思想在初等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，特別是現(xiàn)代科技的飛速發(fā)展，一些先進(jìn)的設(shè)備如多媒體的產(chǎn)生，使原本抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)可以立體的展現(xiàn)在學(xué)生的面前。以及它在實(shí)際生活中的應(yīng)用，在信息學(xué)競(jìng)賽中的應(yīng)用等各個(gè)方面進(jìn)行了詳細(xì)的探討，意在說明該思想在學(xué)習(xí)生活中的重要性，因此我們必須很好地掌握該思想，要理論聯(lián)系實(shí)際，解決學(xué)習(xí)、生活中的問題。運(yùn)用簡(jiǎn)單、直觀的方法，達(dá)到事半功倍的效果。

參考文獻(xiàn)

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