非線性方程的拋物線性化二重迭代法

陳娟 何斯日古楞

1 引言

許多實際問題的數(shù)學模型常常歸結(jié)為求解非線性方程f（x）=0，最常用的辦法是迭代方法，其中Newton法[1]的每步迭代需要計算一次函數(shù)值和一次導數(shù)值，因此不便用于較復雜的函數(shù).不含導數(shù)項的經(jīng)典迭代法有弦截法[1]和拋物線法[1].弦截法用已知的兩步迭代值xk-1，xk求出新的迭代值xk+1，其收斂階為1.618.拋物線法則用已知的三步迭代值xk-2，xk-1，xk求出新的迭代值xk+1，其收斂階高于截法，但其計算較復雜，需要處理符號問題.為此，文[2-5]用不同的三點構(gòu)造拋物插值函數(shù)L（x）來近似代替f（x），再在xk處對拋物方程L（x）=0使用一次Newton公式，得到新的近似根xk+1.這種處理手段不需要直接求解二次方程L（x）=0，從而避免了符號處理問題.文獻[4]采用黃金分割思想，基于已知的兩步迭代值xk-1，xk及黃金分割點在內(nèi)的三點構(gòu)造拋物插值多項式，進而用xk點處切線的零點作為新的近似根，構(gòu)造了一種至少二階收斂的兩點迭代公式.在此基礎上，本文利用文獻[6]的二重弦截法的思想，構(gòu)造了一種二重拋物線性化迭代格式

用Matlab軟件進行了數(shù)值試驗，與Newton方法（NT）和文獻[6]的迭代格式（P.C.）進行了比較.本文所給格式需要兩個初始值x-1，x0，其中初始值x-1=x0-2×10-6，計算過程采用雙精度，停止準則采用|xk-xk-1|<10-6，計算結(jié)果見表1-表2.表中數(shù)值結(jié)果表明，在相同條件下本文所給格式的收斂性高于文獻[6]所給方法和Newton方法，符合理論分析結(jié)果.