基于核心素養(yǎng)下高中學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力培養(yǎng)初探

許碧玉

【摘要】核心素養(yǎng)是學(xué)生在成長(zhǎng)發(fā)展過(guò)程中必須具備的一個(gè)重要元素，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)與發(fā)展至關(guān)重要。其中，數(shù)學(xué)中運(yùn)算能力是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一。然而，高中階段學(xué)生運(yùn)算能力低下是學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)和素養(yǎng)提升的瓶頸。現(xiàn)就教學(xué)中如何提升學(xué)生的運(yùn)算能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)等方面進(jìn)行論述。

【關(guān)鍵詞】高中;數(shù)學(xué)運(yùn)算;核心素養(yǎng)

《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)2017年版》（下稱(chēng)《課程標(biāo)準(zhǔn)》）對(duì)高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系進(jìn)行了新的定位和分類(lèi)，對(duì)課程的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了新劃分，取消了文理分科。但不管怎么改革，其中貫穿的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)依然不變。明確地給出了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的六個(gè)主要方面，即數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀(guān)想象和數(shù)據(jù)分析，并從概念的界定、及其在數(shù)學(xué)與生活中的作用和意義方面進(jìn)行了描述。

同時(shí)，《課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的解釋是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程。主要包括：理解運(yùn)算對(duì)象、掌握運(yùn)算法則、探究運(yùn)算方向、選擇運(yùn)算方法、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序、求得運(yùn)算結(jié)果等。

筆者所在的學(xué)校是一所完全中學(xué)，普遍學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性不高，學(xué)生的數(shù)學(xué)水平大概在全市40%的位置。筆者經(jīng)常思考50%-60%的學(xué)生該如何上好這數(shù)學(xué)課？因?yàn)楹芏鄬W(xué)生在課堂上，基本的概念和知識(shí)通過(guò)老師的引導(dǎo)和講解都能掌握，而在解題過(guò)程中既慢又經(jīng)常出錯(cuò)，數(shù)學(xué)運(yùn)算成為學(xué)生學(xué)習(xí)成績(jī)提升的瓶頸。

如，在習(xí)題課的講評(píng)中，老師除了要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)題目所涉及到的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行分析和梳理，還需要對(duì)題目中的運(yùn)算花大量時(shí)間去板演和講解。若把計(jì)算過(guò)程留給學(xué)生，既能讓學(xué)生訓(xùn)練又能節(jié)省課堂的時(shí)間，可是學(xué)生花在運(yùn)算上的時(shí)間是個(gè)無(wú)底洞，經(jīng)常學(xué)生沒(méi)能求得正確運(yùn)算結(jié)果，該節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容完成不了。幾節(jié)課下來(lái)，既要引導(dǎo)學(xué)生梳理知識(shí)點(diǎn)又要板演解題過(guò)程，學(xué)生也就真的是在“聽(tīng)課”了。這樣一來(lái)，學(xué)生的“瓶頸”解決不了，還可能越走越遠(yuǎn)。

那么，在教學(xué)中如何提升學(xué)生的運(yùn)算能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)呢？

一、掌握運(yùn)算法則，理解運(yùn)算對(duì)象

運(yùn)算能力的培養(yǎng)與發(fā)展是一個(gè)長(zhǎng)期的過(guò)程，應(yīng)伴隨著數(shù)學(xué)知識(shí)的積累和深化，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從具體到抽象，有層次的發(fā)展。只有掌握了運(yùn)算法則，理解運(yùn)算對(duì)象才能提升運(yùn)算的能力。

例如，高中數(shù)列求和方法中的“裂項(xiàng)相消”，在數(shù)列這一知識(shí)板塊中是比較基礎(chǔ)的，要求學(xué)生一定要熟練掌握。但是，當(dāng)課程結(jié)束后，過(guò)段時(shí)間進(jìn)行測(cè)試時(shí)，發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生不會(huì)運(yùn)用這個(gè)方法進(jìn)行解題。究其原因就是沒(méi)能掌握運(yùn)算法則，理解運(yùn)算對(duì)象。

例：已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，求。

解：? ……①

……②

一部分學(xué)生在第一步向第二步化簡(jiǎn)的過(guò)程中不能解答。其實(shí)，該題只是利用初中的知識(shí)點(diǎn)“分母有理化”，將

很明顯，此類(lèi)題目特別要求學(xué)生對(duì)分母有理化方法的熟練掌握，并且形成如果通項(xiàng)公式的對(duì)象是分母為無(wú)理數(shù)時(shí)，首先應(yīng)考慮分母有理化，完成化簡(jiǎn)后自然就水到渠成了。

教學(xué)感悟：對(duì)于這樣的運(yùn)算，學(xué)生不能熟練運(yùn)用 “分母有理化”，那就成為解決這類(lèi)題型的一個(gè)瓶頸。但為了保證能夠完成教學(xué)任務(wù)，不可能花時(shí)間在這一方面的訓(xùn)練。所以，在初高銜接過(guò)程復(fù)習(xí)中，這一知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)就應(yīng)該讓學(xué)生做適量的有效的訓(xùn)練，使得學(xué)生在看到分母為無(wú)理數(shù)時(shí)就先考慮有理化成為一種“數(shù)感”，牢記在心。這樣才能在熟悉的數(shù)學(xué)情境中了解運(yùn)算對(duì)象，形成最合適的運(yùn)算思路，進(jìn)而解決實(shí)際問(wèn)題。

二、探究運(yùn)算方向，選擇運(yùn)算方法

在高中數(shù)學(xué)中，對(duì)學(xué)生的運(yùn)算教學(xué)已經(jīng)不是重點(diǎn)，但是不少題目的運(yùn)算量卻是挺大也難（如，解析幾何、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等），這好像相互矛盾。針對(duì)高中很少在課堂上重點(diǎn)講解運(yùn)算過(guò)程或是訓(xùn)練運(yùn)算，但是學(xué)生的運(yùn)算能力一直是考查的目標(biāo)之一。因此，筆者認(rèn)為，必須引導(dǎo)學(xué)生探究運(yùn)算方向，選擇好運(yùn)算方法，才能更好地提升學(xué)生的運(yùn)算能力，形成學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

例：（2015年高考全國(guó)卷1）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)與直線(xiàn)交于M，N兩點(diǎn).

（1）當(dāng)k=0時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線(xiàn)方程;

（2）問(wèn)：y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有？說(shuō)明理由.

解：（1）略.

（2）假設(shè)存在點(diǎn)P（0，p）使得命題成立，即有.設(shè)直線(xiàn)PM、PN的斜率分別為k1，k2則有k1+k2=0，設(shè)點(diǎn)， ， 同理可得? .

聯(lián)立方程： 消去y，可得

顯然當(dāng)a>0時(shí)，.

則由韋達(dá)定理可得：

，? .

=0.

. ……①

. ……②

. ……③

-8ak+（a-p）4k=0.

∴k（p+a）=0.

解得p=-a或k=0（顯然成立）.

∴存在點(diǎn)P（0，-a）使得命題成立.

以上題目，單獨(dú)從知識(shí)點(diǎn)來(lái)講，難度應(yīng)該是中檔略偏低，然而這類(lèi)題目的運(yùn)算往往成為不少學(xué)生的攔路虎，究其原因就是運(yùn)算過(guò)程中的步驟①②③。縱觀(guān)眾多學(xué)生的解答過(guò)程主要出現(xiàn)以下的問(wèn)題。

其一，未能真正理解解析幾何運(yùn)算的基本原則是盡量減少未知數(shù)的個(gè)數(shù)，不懂得將四個(gè)未知數(shù)減少成兩個(gè)未知數(shù)。即，未能將 ， 進(jìn)行變形，真正理解掌握“設(shè)而不求”。

其二，未能明確運(yùn)算方向，選擇恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)算方法。如在步驟②中，部分學(xué)生會(huì)全部展開(kāi)成： 未能明確運(yùn)算途徑應(yīng)該借助“韋達(dá)定理”。而且往往會(huì)這樣運(yùn)算的學(xué)生，他們是比較盲目地見(jiàn)括號(hào)去括號(hào)，為了計(jì)算而運(yùn)算，心中沒(méi)有明確的目標(biāo)，所以也就很難再想到提公因式法運(yùn)算至步驟③。

教學(xué)感悟：正確的運(yùn)算方向應(yīng)該是借助“韋達(dá)定理”，保留x1+x2，，最后再利用韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)可得?？梢?jiàn)，培養(yǎng)學(xué)生明確各類(lèi)題型的運(yùn)算方向，就能夠針對(duì)運(yùn)算的問(wèn)題，選擇正確的運(yùn)算方法設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，從而解決問(wèn)題。

三、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果

《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出能夠用程序思想理解和表達(dá)問(wèn)題，理解程序思想與計(jì)算機(jī)解決問(wèn)題的聯(lián)系是核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算的最高水平。因此，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，自然要運(yùn)行程序框圖。

例，《九章算術(shù)》中的“兩鼠穿墻”問(wèn)題為“今有垣厚五尺，兩鼠對(duì)穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問(wèn)何日相逢？”可用下圖所示的程序框圖解決此類(lèi)問(wèn)題。

現(xiàn)執(zhí)行該程序框圖，輸入的d的值為130，則輸出的i的值為（? ? ）.

（A）5? ? （B）6? ? （C）7? ? （D）8

分析：從問(wèn)題的描述可知，這是一個(gè)“合作完成工程”問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為大鼠和小鼠兩鼠的“工作量”之和。程序框圖中變量x表示大鼠當(dāng)天的工作量，變量y表示小鼠當(dāng)天的工作量，變量S表示兩者工作量之和，顯然兩鼠工作量構(gòu)成等比數(shù)列。

變量x：

變量y：

變量S是兩個(gè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

∴S﹤130時(shí)，n的最大值為7，但還是進(jìn)入循環(huán)體一次，所以計(jì)算得到i=8。故選D。

但在實(shí)際解答中，不少學(xué)生選擇了C選項(xiàng)。主要原因是讀不懂程序框圖的意思，無(wú)法正確理解程序所表達(dá)的運(yùn)算。在數(shù)學(xué)運(yùn)算上思維不夠嚴(yán)密，對(duì)運(yùn)算的范圍不夠了解。

教學(xué)感悟：學(xué)生在設(shè)計(jì)或是閱讀程序過(guò)程中，能夠用程序思想理解和解釋問(wèn)題是解題的關(guān)鍵。

近年來(lái)，經(jīng)過(guò)教學(xué)實(shí)踐，筆者大膽嘗試運(yùn)用多方形式對(duì)學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)和訓(xùn)練，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中嘗到了樂(lè)趣，在競(jìng)爭(zhēng)中學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)得到提升，收到突出的教學(xué)效果。今年所帶高三文科數(shù)學(xué)，以文科班（7）班的數(shù)據(jù)為樣本統(tǒng)計(jì)如下：

總之，數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)活動(dòng)的基本形式，也是演繹推理的一種形式，是得到數(shù)學(xué)結(jié)果的重要手段。數(shù)學(xué)運(yùn)算之于計(jì)算機(jī)可以說(shuō)是CPU，數(shù)學(xué)運(yùn)算之于學(xué)生是解題過(guò)程的一個(gè)路徑，是決定學(xué)生能不能到達(dá)巔峰，決定學(xué)生在這一過(guò)程所用的時(shí)間及結(jié)果的正確性。事實(shí)證明，在高中數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)中，運(yùn)用多方形式對(duì)學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)和訓(xùn)練，讓學(xué)生能夠進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，有效地借助運(yùn)算方法解決實(shí)際問(wèn)題，通過(guò)數(shù)學(xué)運(yùn)算促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，養(yǎng)成程序化思考問(wèn)題的習(xí)慣，形成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神，這對(duì)于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展意義重大。

當(dāng)然，高中數(shù)教學(xué)中提升學(xué)生的運(yùn)算能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)是一個(gè)復(fù)雜而系統(tǒng)的工程，不是一朝一夕的事情，還需要在實(shí)踐中不斷探索、總結(jié)，才能取得更好的效果。

參考文獻(xiàn)：

[1]教育部.高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)2017年版[M].人民教育出版社.